NN' ^ WN" "^ N'^N

d'ou il resulte qu'au lieu d'un plan directeur, on pourrait assignor deux positions primitives A et A' de la droite mobile, puis exiger que celle-ci glissat sur B etB' de maniere a intercepter toujours des parties pwportionneUes wee MM' et NN'. Cette marcbe sera d'un usage fort commode pour Tex^cution en relief du paraboloide hyperbolique; car, apres avoir construit un quadrilat^re gauche^ tel que MNN''M'% dont les cot^s et les angles soient invariables, i) suffira de diviser les cotes opposes MM"^ et NN''' en un meme nombre de parties egales; puis, en joignant les divisions correspondadtes par des fits tendus en ligne droite^ on obtiendra une representation fiddle de cette surface. Pour y introduire en m^me temps les generatrices du systeme B, il n'y aura qu'a diviser aussi les deux autres cdtes MN et M'^'N'' en un meme nombre de parties Egales, et joindre les points de division cerrespondants par d'au<tres fils, qui devront alors s'appuyer d'eux-memes sur les premiers^ et ne fi(»rmer qu'une seule et meme surface, ou les deux modes de gen6ration se trouveront exprimte d'une maniere bien sensible {voyez n^ 566 et \^fig' i^« 556. Duplan tangent. {Pig. 1 1 5.) Lorsqui" le point de contact G sera demi fur

CHAPITBE II|. -^ DU Pi^RABOLOIDE PTPEIMIOLIQUE. ^3 f

une g^neratrice cani^ue AMGN^ il sulBrade construire seulement une seoonde generatrice A' du meme modet en employant le procede du n** 549, si le paraholoide est defii^i par un plan directeur P ; et^ s'i) T^tait par trois directrices B^ B', B'', paralleles k UQ meme plaa« on emploierait la marche du n'' 521. Quand une fois on conqaitra les deux generatrices A et A\ on les coupera par un plan mene du ppint G paraltblement aux directrices B et B', et la droite GH, qui reunira les points de section, sera situee (n^ 551) sur le paraboloide; done le systfeme des deux droites AG et GH, qui sont elles-memes leurs propres tangentes^ determinera le plan tangent de la surface pour le point donne G,

557. Si Ton assignait seulement la projection horizontale ^ du point de contact, sans donner la generatrice qui le contient, il faudrait chercher d'abord la seconde projection dp ce point. Pour cela, on ferait passer par ^un plan vertical quelconque dont on determinerait les intersections avec diverses generatrices, et la suite de ces points fournirait la projection verticale de la section faite dans la surface ; alors on projetterait le point g sur cette courbe, et, ayant ainsi les deux projections g et ^ du point de contact, il serait bien facile de mener la generatrice qui, passant par ce point, s'appuierait sur B et B' : de sorte que Ton serait ramen6 au cas precedent.

558. La surface gauche qui nous occupe est idemique avec le paraboloide hyper^ bolique que nous avons deer it au n^ 89. En effet, cette surface gauche est du second degrd; car, sans effectiier les calculs, il est facile de voir que les conditions par lesquelleson exprimerait que la droite mobile Aa toujours un point de commun avec B et avec B', et demeure parallele au point P choisi, si Ton vent, pour un des plans coordonnes, condniraienl k une equation qui ne depasserait pas le second degre : et cette consequence s'aecorde avec la derniere remarque du n^ 554. Ensuite, cette surface gauche n'admet Oi^cune section plane qui soit une courbe fermi^e, comme npiia allons le demontrer (n^ 564); d'ailleurs, elle ne pent etre un cylindre k base hyperbolique au parabolique, attendu qu'elle est gauche : il faut done qu'elle coincide avec le parahelo'ide hyperbolique (n^ 89), puisque toutes les autres surfaces du second degre admettent, par leur generation meme, des sections elliptiques {v9yez Uvre JI, chapitre l^).

559. Sect^oihs PLANES du paraboloide hyperbolique. [P^S* i i5.) On obtiendra la courhe d' intersection de eette surface avec un plan donne ;r, en construisant les pointer oil c^ plan coupe les diverses generatrices A, A', A'\---; et la tangente k cette eourbe ^ un point donne, resultera de Tinterseetion du plan ;: avec le plan tan« gent au paraboloide, pour le point en question, plan qui se construira comme au n^ 556. Quant k la nature de la section, on pent la prevoir d'avance par les regies auiyantds.

56iQ. P'aberdy si le plan secant n passe deja par une droite A du paraboloide^ Tautre k^fanch^ d' intersection sera encore rectiligne, puisque cette surface est du second degre : on Voibtiendra en cberchant seulement les points D' et D'', oil n va r^^ncontrer deux autres generatrices A' et A!\ du qieme mode que A; et la section

\ ^^2 LITBE Vlf. — DBS SmU^AGES GAITGHES.

totale se composera des deux droites A et DD'D", de sorte que le plan n se trouvera tangent en D, et secant partout ailleurs.

561 . Dans le cas, plus particulier encore, oil le plan tt, qui passe par A, se trouverait parallele au plan directeur P, qui correspond k cette g^n^ratrice, il ne couperait plus les autres generatrices du meme mode; de sorte que la seconde branche d'intersection qui 6tait tout k I'heure DD'D", s'eloignerait tout entiere k Tinfini. Done alors la section se reduirait k la droite unique A; mais le plan n devrait toujours ttre consider^ comme tangent au paraboloide dans le point infiniment eloign^ situe sur A, ou bien comme un plan asymptote de la surface.

562. Gen^ralementy soit n un plan quelconque qui n'est pas parallMe k Tintersection OX des deux plans directeurs; il coupera ceux-ci suiyant des droites d et (^» non paralleles k OX, et alors il existera dans chaque systeme une generatrice paral- IMe kTT. En efPet, conduisons par la directrice B un plan BCE parallele k la trace e^; ce plan coupera n^cessairement la directrice B' en un certain point N"", et en menant par ce point la droite N"M"A" parallele k d', elle ira rencontrer la directrice B, et sera evidemment une generatrice parallele au plan Tr.Si Ton op^re d'une manifere semblable pour la trace (^, en menant par la generatrice A un plan parallele k ^, il coupera une autre droite A' du meme systfeme en un point D', par lequel on pourra conduire une autre generatrice B'', qui sera parallele k (^ et au plan tt. De Ik on doit conclure que la section faite par ce plan n presentera deux branches ouvertes, qui convergeront vers les points infiniment eloignes oil tt irait rencontrer les deux generatrices A"" et B" ; ainsi cette section sera une hyperbole dont nous allons construire les asymptotes.

Menons par la generatrice A'^ un plan it' parallMe k P : ce plan v! sera tangent (n® 561) au paraboloide dans le point situe k I'infini sur A'^; done Tintersection de ce plan tangent avec le plan tt de la courbe, fournira Tasymptote de la branche qui converge vers A", et cette asymptote sera evidemment parallMe k cette generatrice. L'autre asymptote sera donnee semblablement, par Fintersection du plan tt avec un plan li* mene, suivant B'', parall^lement au second plan directeur Qt et elle sera parallele k B^

563. Enfin, supposons que le plan secant tt soit parallMe k Fintersection OX des deux plans directeurs, auquel cas ses deux traces (^ et (^ sur ces derniers se trouveront elles-memes paralleles k OX. Alors, si Fon veut essay er d^obtenir une generatrice parallele k tt, il faudra encore mener par B un plan BCE parallMe k i\ mais ici ce plan ne coupera plus aucune des generatrices B' et B'^,..., puisqu'il deviendra evidemment parallele k Q : done la generatrice parallele k ;r, dans le systeme A, est transportee tout entiere k une distance infinie. II en sera de meme de la generatrice qui, dans le systfeme B, serai t parallele k tt ; de sorte que la seetion faite par le plan n sera encore ouverte, puisqu'il y aura des generatrices de plus en plus eioignees qui approcheront indefiniment d'etre paralieies k n : mais cette coul'be iCaura plus d* asymptote. En effet, cette demiere ligne serait donnee, comme on Fa vu au numero precedent, par Fintersection du plan n avec un plan v^ ou i^'f paral-

CHAPITBB III. — DU PARABOLOIDE HTPERBOLIQUE, ^233

Ifele ^ P ou Q, et mene suivant la generatrice parallele a tt : or cette g^neratrice est ici transportee tout entiere a I'lnfini ; done aussi le plan tt' s'eloigne indefinimenty et ne fournit plus d'asymptote. Par consequent, la section relative au cas actuel est uneparahok.

564. En resumant cette discussion, on voit : i^ que totUplann^ parcdUle a r intersection OX des deux plans directeurs (*), donne une section parabouque; et 5t, en outre t n est parallele a Vun de ces plans directeurs, cette parabole serdduit a une droite unique (n^ 561).

2^ Si le plan sdccuit n n* est point parallele a I* intersection OX des deux plans direc-teurSf la section est UNG hyperbole; mais elle digenire en deux droites qui se gou- PENT, si le plan sdcant contient ddja une genSratrice de la surface (n° S60).

3° Dans aucun cas, la section faite par un plan quelconque n dans le paraboloide nepeut Stre une courbe fermiiE.

565. Observons aussi que les constructions indiqu^es au n® 562 serviront a r^soudre ce probleme : Trouver sur un paraboloide donrU une gdndratrice qui soit parallele a unplan connu n. II y aura deux solutions quand ce plan n ne sera point parallele a I'intersection des deux plans directeurs : et le probleme sera impossible, lorsque n se trouvera parallMe a cette intersection, k moins qu'il ne le soit en meme temps k I'un des plans directeurs, auquel cas il existera une infinite de solutions, fournies par toutes les generatrices parall^Ies a ce plan directeur.

PROBLEME. Representer un paraboloide engendrepar une droite mobile A qui glisse sur deux droites fixes B e^ B^, ^n demeurant paraUele a un plan directeur donndV; et construire le plan tangent de cette surface^ pour un point connu.

566. Afin de donner a notre epure toute la sym^trie qu'on devrait cbercher a obtenir dans la construction d'un modMe en relief, nous ferons observer qu'un plan Q, parallele aux droites donnees B et B^ , serait le plan directeur du second mode de generation (n^ 552) du paraboloide cherch6; et comme ce plan Q est ^vi* demment determine, au moins en direction, par les donnees actuelles du probleme, il nous sera toujours permis d'adopter les dispositions suivantes :

I® {Fig. I20.) Nous choisirons notre plan horizontal de projection, perpendicu^ laire aux deux plans directeurs P et Q, lesquels seront alors represent6s par leurs traces borizontales op eto^.

a"" Nous dirigeronsle plan vertical de projection, de maniere qu'il soit parallMe k la droite oy qui divise en parties egales Tangle poq ; puis, nous tracerons les projections (CD, CD') de la droite donnee B, et les projections (EF, C'F) dc Tautre^ directrice B,, en faisant attention que les deux projections horizontales CD et EF devront etre necessairement paralleles entre elles, d^aprbs la condition i®, puisqu'elles le seront a la trace oq du plan directeur Q.

(* ) On verra au n"" 572 que cette droite OX est Vaxe principal du paraboloide, ou du moins lui est parallele; car les deux plans directeurs ne sont pas d^termin^ quant k la position absolue, mais seulement quant k leur direction.

' G^meirie Lerojr* ^^

^34 LIYBE VII. — BES SVmPACBS fiAVCHES.

3^ Nous pouvons encore elever ou abaisser notre plan horizontal do telle sorte, que la ligne de terre VY' passe par le point C\ oil se croisent les deux projections Terticales des directrices B et B, ; et alors les traces horizontales C et E de ces droites se trouveront sur une mSme perpendiculaire GE a la ligne de terre.

4® Nous limiterons ces directrices aux deux points (D,-D'), (F, F') oil elles vont rencontrer le plan vertical DOF mene perpendiculairement sur le milieu de CE; de aorte que la figure CDEF sera un losange, dont le centre sera la projection de Vaxe du paraboloide, ainsi que nous le verrons plus loin (n** 572) , pourvu cependant que les directriees B et B, soient dgalement incUnSes sur le plan horizontal actuel. A la v^rit^, cette dernifere condition pourrait hi en ne pas Stre remplie par les directrices que la question assigne; mais nous admettrons quelle est vSrifiSe ich et, par suite, que les points (D, D'), (F, F), sent a la mfime hauteur, attendu que, dans tons les cas, nous saurons retrouver (n^ 572) parmi les generatrices du paraboloide deux droites qui seraient egalement inclin^es mr la verticale, et qui, d^s 'lors, pourraient dtre substitutes aux directrices denudes (CD, C D') , (EF, CF') , si ees derai^res ne remplissaieat pas cette condition.

567. [Fig. lao.) Cela pos^, la droite qui r6unira les points (D, D') et {E, C) sera ^videmment parall^le au plan directeur P, puisque sa projection horizontale DE se trouvera parallele k la trace op de ce plan vertical P, d'aprfes les conditions 2® et 4^ du numero pr^c^dent. Done (DE, D'C) est une position de la gen6ratrice mobile A; et comme il en sera de meme de la droite (CF, CP), on voit que, si Ton divise en un rnSme nombre de parties egales les deux direetrices donn^es (O), CD') , (EF, C'F'); puis, que Ton joigne les points de division o et 16, t et iS, a et 1 4* 3 et 1 3, . . . , on obtiendra ainsi les diverses generatrices du syst^me A, savoir :