LIVRE VII. — DES SURFACES GAUCHES

tisferont au probleme, puisqu'ils seront langeDts quelque part a la surface (n*'545). D'ailleurs, comme le plan DMA renfermera evidemment la generatrice M'B', qui a un point M' dans ce plan, et qui necessairement rencontre MA, et que Tautre plan DMB contiendra semblablement la generatrice M'A% on voit que les points de contact a et 6 de ces plans tangents seront fournis immediatement par la rencontre de MA avec M'B', et de MB avec M' A',

591. U resulte de la que le probleme en question sera impossible, toutesles fois que la droite D ne rencontrera pas Thypei^boloide. Cependant, il ne faut pas comprendre dans cette exclusion le cas oil cette droite, venant a coincider avec une arSte du cone asymptote, se trouverait elle-meme asymptote de la surface : alors le plan tangent demande serait celui qui touche ce cone le long de la droite D.

592. Considerons enfin le cas oil le plan tangent cherche doit etre parallile a unplandonndn. Si la surface gauche S est quelconque, il faudra encore recourir a la marcbe generale du n^ 421 ; mais on pourra y substituer les methodes suivantes, lorsque la surface sera du second degre.

593. Pour un hyperboloide gauche, on cherchera, comme au n® 548, les generatrices A et B, A' et B', qui, dans les deux systfemes, se trouvent paralleles au plan 7r; on sait que les deux premieres seront paralleles entre elles, et que les deux autres ofTriront une relation semblable. Alors le plan conduit par les droites A et B', ainsi que celui qui passera par B et A', satisfera evidemment au probleme, puisqu'ils renfermeront chacun deux droites paralleles k tt et qui se coupent. D'ailleurs, les points de contact seront immediatement fournis par la rencontre des generatrices A et B', B et A'; et le problbme pourra admettre deux solutions, ou une seule, 6u aucune, suivant la discussion faite au n^ 547.

594. Pour un paraboloide gauche, on trouvera encore plus facilement par le n"* 565, les deux seules generatrices A et B qui, dans les deux syst^mes, sont paralleles au plan tt; et comme ces deux droites ne sauraient 6tre ici paralleles entre elles (n"" 554, 3^), le plan conduit suivant ces deux lignes sera bien parallele i ;r, et fournira la solution unique du probleme actuel. D'ailleurs, le point de contact de ceplan tangent sera donne immediatement par la rencontre des generatrices A etB.

On aurait pu se contenter de construire une seule A de ces generatrices, puis de mener par celle-ci un plan parallele ^ n; mais alors il resterait k trouver le point de contact de ce plan tangent, en cherchant la seconde branche de son intersection avec le paraboloide, laquelle serait precisement la generatrice B. Le problfeme peut etre impossible ou indetermine, selon ce que nous avons dit au n^ 565. ' 595. TBEOREME. {Fig. 1 18.) Dans toute surface gauche S, les diverses normcUes MN, M'N', M"N", . . . , menies par tous les points d'une mime generatrice G, Jorment toujours un paraboloide hyperbolique. ,

Si Ton designe par 2 la surface lieu de toutes ces normales, et qu'on lui fasse faire un quart de revolution autour de la droite G, chaque normale MN, qui est deja perpendiculaire k cet axe de rotation, decrira un plan et se rabattra suivant une droite MX, qui formera des angles droits avec GM et MN; par consequent, MT