I. — Coiistiiiclion générale ilei figures homugraphiques

511. Etant pris un triangle ABC [Jig- ii4) dans le plan d'une figure, si de ses sommets A, B on mène à chaque point m de la figure deux droites qui forment sur les côtés opposés les deux

rapports fie segments — ^ — ~ ; puis, quon prenne un second

triangle quelconque A!W C et deux constantes^, fjt, et qu'on détermine dans ce triangle un point m' tel, que les rapports des seg~ menls faits par les droites A'm', B'm' sur las côtes opposés aient, awec les premiers rapports, les relations

E supuniEUftE.

le point ni' appartiendra à une figure homographique à la proposée.

C'esl-à-dire que ; i** quand des points m de la première figuro seront en ligne droite, les points m' de la seconde figure seront aussi en ligne droite; 2" quand des droites de la première figure passeront par un môme point, les droites correspondantes de la seconde ligure passeront aussi par un même point; 3" quatre points en ligne droite dans la seeonde figure auront leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points de la première figure; et 4° quatre droites passant par un même point dans la seconde figure auront leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites de la première figure.

Démonstration. — i" Je dis que des points m en ligne droite donnent lieu à des points m' également en ligne droite.

En effet, puisque le point m décrit une droite, on a entre les

deux rapports ■ — ■ et y-^ une relation du premier degré {430).

Donc il existe aussi, en vertu des équations (a), une relation du

premier degré entre les deux rapports -7—,) jt^—- JUone le point hi

décrit une droite.

2" Quand des droites passent par un même point dans la première figure, les droites correspondantes dans la seconde figure passent aussi par un même point. Cela est évident, car chacune de ces droites passe par le point correspondant au point d'intersection commun aux droites de la première figure.

3" Quatre points m pris en ligne droite dans la première figure ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points m' de la seconde figure , car les quatre points m ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points a, et les quatre points m' ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points a'.

Mais, d'après la relation — --■ ^= X -ttt» les quatre points a' ont leur

rapport anharmonique égal à celui des quatre points a (120). Donc les quatre points m' ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points m.

4° Enfin quatre droites L' de la seconde figure passant par un même point ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites L de la première figure.

VlGirOES HOUOCRAPIIIQUES. 33()

En effet, une droite L de la première figure rencontre les deux côtés AC, BC en deux points a, b, et l'on détermine la droite

correspondante L' dans la seconde figure en prenant les points a', h' liés k a, h par les relations (a). Or les quatre droites L passent par un même point, et par conséquent leur rapport anliarmoniquo est égal à celui des quatre points a; celui-ei est égal à celui des quatre points a', en vertu des équations [a), cl ce dernier est égal à celui des quatre droites L', parce qu'elles passent par un même point. Donc, etc.

Ainsi le théorème est démontré.

Si2. ^ux points d'une Jigure situés à l'infini correspondent dans la figure komographique des points situés en ligne droite.

Car, quand un point m de la première figure se meut à l'infini, les deux rajons parallèles menés des deux sommets A, B à ce point forment deux faisceaux homograpliîques et par conséquent déterminent sur les deux côtés opposés BC, ÂC deux rapports de

.quels a lieu la relation du premier

segmenls ^, ïj entre

lesqu

degré ï^ + || = . (480,7-

dans la seconde figure a

pour

tion

Donc le point correspondant m' eu la droite représentée par l'équa-

Ainsi, à l'infini d'une figure correspond une ligne droite dans la figure homographique, de même que dans la perspective des figures planes,

513. Appelons I la droite de la première ligure qui cori'cspond à l'infini de la seconde, et J' la droite de la seconde figure qui correspond à l'infini de la première. Tout point de la droite I a son homologue à l'infini dans la seconde figure, de sorte qu'à deux droites parallèles dans la seconde figure correspondent dans la première deux droites concourantes en un point de la droite I.

34o TBAITE DK GEOilKTlIli: SUPÉRIEDRE. — CIUPITEIE XXV.

Il s'ensuit que : Le point situé à l'infini sur ta droite J' de In seconde figui'e a pour homologue le point situé à l'infini sur la droite 1 de la première. Car ce point situé à l'infini sur J' est ;i l'intersection de deux droites, J' et l'infini ; donc son homologue dans ]a première figure est à l'intersection des deux droites correspondantes, qui sont l'infini et I; donc c'est le point de cette droite I situé à l'infini.

Il suit de là que : Une droite parallèle à la droite I dans la première figure a pour homologue dans la seconde une droite parallèle à la droite J'.

Ces deux droites homologues, parallèles respectivement au\ deuxl et J', jouissent de cette propriété qu'elles sont divisées semhlablement, c'est-à-dire en parties proportionnelles, par leurs points homologues. Gela résulte (124) de ce qnc leurs points ;'i l'infini sont deux points homologues.

Nous verrons plus loin (S79) qu'il existe toujours un système de deux droites homologues qui sont divisées en parties égales par leurs points homologues.

m. — Oliseri'aitons relatives à la construction de'Jîguies hnmographiques .

Sl'i. Dans les relations (a), chaque rapport sert à déterminer I position d'une droite issue d'un des points fixes A, B, A', B'. L

rapport y— > par exemple, détermine la direction de la droite A»

On peut encore déterminer cette direction par un rapport de sinu:

savoir V- — 75% el prendre, au lieu de la relation

celle-ci

Cela est évident; car cette équation exprime que les deux droites Kb et h!b' forment deux faisceaux homographiques, de même que la première; de sorte que les deux équations sont équivalentes.

Chacun des autres rapports de segments pourra semblablenicnl être remplacé par un rapport de sinus.

FrGUBLS liOMOGnAniiQUES. 341

Cette remarque permellra de supposer que l'une des droites CA, GB ou C'A', C'R' soit à l'infini.

Les formules (a) s'appliquent d'elles-mêmes au cas où l'une des deux bases AB, A'B', ou toutes deux seraient à l'infini, ainsi qu'au cas où l'un des sommets dans chaque triangle serait à l'infini.

SIS. Ces formules ne s'appliquent pas explicitement à deux points correspondants c, c', situes sur les deux bases AB, A'B' {fig- 1 15) ; mais on en déduit la relation qui a lieu entre ces deux points, laquelle est

En effel, que par les points c, logues quelconques ca, c'a'-, on

c' on mène deux droites liomoa dans les deux triangles les rela-

^A //C bB

7W 7ÂJ ¥Z'~~''

d'oi'i l'on conclut, en ayant égard e qu'il s'agit de démontrer.

-, (rt), la relation

S16. Après avoir pris arbitrairement les trois points A', B', C qui doivent correspondre, dans la seconde figure, aux trois points A, B, C de la première, on peut prendre arbitrairement un quatrième point D' pour correspondre à un point D de la première figure ; ce sera la position de ce point D' qui déterminera les valeurs des deux constantes X et f*, parles relations

Ainsi ; Pour former une figure honiographique à une figure. donnée, on peut prendre arbitrairement les quatre points qui correspondront à quatre points désignés de la figure donnée.

Toutefois, il faut que des quatre points désignés il n'y en ail pas trois en ligne droite; car, si les points D, D' étaient sur les droites AC, A'C respectivement ils feraient connaître la seulp

34* TRAITÉ DE fiÉOMlîTRIE SUPÉRIEURE. ~ (IIIAPITBE XXV.

constante 1, par la relation

DG , Tt'C