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et la socoiide y- resterait indétcrminôo.

ol7. On peut se donner, dans la seconde figure, soit trois points A', B', C et une droite L', soit quatre droites L', pour correspondre dans le premier cas à trois points A, B, C et une droite L de la première figure, et dans le second cas à quatre droites L,

Mais les données ne peuvent pas être deux points A', B' et deux droites L', M', devant correspondre à deus points A, B et deux droites L, M ; car les deux droites L, M rencontrent la droite AB en deux points E, F, et les deux droites L', M' rencontrent la droite A'B' en deux points E', F' qui correspondent aux deux premiers. Donc les quatre points A', B', E', F' devraient avoir leur rapport anharmoniqoe égal à celui des quatre points A, B, E, F, ce qui n'aurait pas lieu si A', B', L' et M' étaient pris arbitrairement; et, dans le cas oit cette égalité aurait lieu, les données équivaudraient à quatre points, dont trois en ligne droite, savoir le point C, intersection des deux droites L', M', ctlcs trois points A', B', E'; ce qui est insuffisant.

MS. Puisque deux figures planes perspectives l'une de l'autre sont deux figures liomograpliiques (S10), on pourra, pour faire la perspective d'une figure, ne déterminer directement, en se servant de la position de l'œil, que quatre points en perspective, dont on se servira ensuite pour construire complètement la perspective de la figure, sans conserver aucune trace de la position de l'œil.

~ Développements relatifs aux propriétés métriques des figures hamographii^es. — Nouvelles définitions de ces figures.

S19. Les relations métriques ou de gi-andeur de deim figures homographiques dérivent de l'égalité des rapports anharmoniqnes

FIGURES HOMOGHAPIIlOUliS. 343

qui a Heu soil entre deux séries de quatre points corrospondanls, soit entre deux faisceaux de quatre droites correspondantes.

Remarquons d'abord que cette égalité donne lieu aux deux propositions suivantes, qui en sont des conséquences immédiates :

I ° Deux droites correspondantes dans les deux Jtgures sont divisées liornographiquement par leurs points correspondants.

a" Deux faisceaux correspondants dans les deux figures sont homographiques.

Cela résulte de la définition même des divisions homographiques et des faisceaux homographiqucs.

D'après la première de ces deux propositions, si l'on considère sur une même droite dans la première figure deux points fixes a, b et un point variable m, et dans la seconde figure les deux points fixes a' , b' et le point variable m' qui correspondent aux trois premiers, on aura la relation

dans laquelle X est une constante qui ne dépend que de la position des deux points a, b, c'est-à-dire que, ces deux points étant fixes ainsi que n' et b', si m et m' sont deux points correspondants

variables sur les deux droites ab et a'b', les deus rapports — et -——■ sont entre eux dans une raison constante (iSO).

S20. On sait que, dans l'équation ——^^1—-^, cbacun des

points fixes a, A, a', b' peut être pris à l'infini et que l'équation subsiste, comme si les segments comptés à partir de points situés à l'infini étaient égaux à l'unité (125).

Si donc le point b est pris à l'infini, on aura

' b'm' Si le point a' de la seconde figure est aussi à l'infini, il vient

E SDPEHIEURK. — CHAPITRE XXV.

, suivant notre notation habituelle,

c'est-à-dire quo : Dans deux Jigiircs homographiques , si l'on prend sur deux droites correspondantes les points i- et j' dont les homologues sont à l'infini, le produit des distances de deux points homologues quelconques de ces deux droites aux deux points i et y, respectivement, sera constant.

521. Concevons deux droites homologues (c'est-à-dire con-cspondantcs) L, L' passant respectivement parles deux points m, m' ;

le rapport — est égal au rapport des distances de la première

droite aux deux points a, h, et de môme -j-, — ; est égal au rapport des distances de la droite L' aux deux points a', b'. Par conséquent, on conclut de la relation générale r~^='^'Tr~7 cette propriété fort importante ;

Étant pris deux points fixes dans unejîgure et les deux points homologues dans la figure homo graphique , si l'on mène deiLX droites homologues quelconques, le rapport des distances de la première aux deux points fixes de la première figuie sera au rapport des distances de la seconde aux deux points fixes de la seconde figure dans une raison constante, quelles que soient ces deux droites.

522. Soient A, B deux droites iixes quelconques de la première figure et A', B' les deux droites homologues dans la seconde figure; si, autour du point d'intersection des deux premières, on fait tourner une droite M, et autour du point d'intersection des deux autres la droite homologue M', ces deux droites M et M' formeront deux faisceaux homo graphique s (M9), et par conséquent

FIGURES IIOIIOGRAPHIQUES, 345

on aura la relalion

sin(A.M) sm(AM\I') sin(B,M) sm[B',M')'

X étant une constante qui ne dépend que de la position des deux droites fixes A, H (U9).

Considérons sur les deux droites M, M' deux points homologues m, m'; le rapport des distances du premier aux deux

droites A, B est . ,..''(^j> et le rapport des distances du second

sont honiographiques, si l'on prend dans la première deux droites fixes et dans la seconde les deux droites correspondantes, les rapports des distances de deux points homologues quelconques h ces deux couples de droites, respectivement, seront entre eux dans une raison constante.

Ainsi, soient ;i, q les distances du point m aux dens droites A , [S, et p', q' les distances du point m' aux deux droites A', B'; on

/, étant une constante qui ne dépend que de la position des deux droites A, B.

523. Chacune des quatre droites peut être prise à l'infini, et la distance qui se rapporte à cette droite disparaît de l'équation, comme sî cette distance devenait égale à l'unité.

Ainsi, supposons que la droite B de la première figure soit à

En efl'ct, dans ce cas, l'homographie des deux faisceaux form par les deux droites M, M' s'exprime par l'équation

îie TBAITE DE GKOUK-TBIE SUPERIEURE. — ClliPlTIlE WV.

am étant le segment compris sur une transversale fixe entre les

deux, droites A et M (156). Or, si l'on considère siir les deux

droites M et M' deux points homologues m, m', la distance p du

premier à la droite A est proportionnelle au segment am, et le

rapport des distances du second aux deux droites A', B' est tou-

sin[A',M') , ' I 1 .■

jours -■: — p— -■ '7 ; de sorte qu on a la relation

On peut donc énoncer ce théorème :

Dans deux figures homographii/ues, la distance de chaijue point de l'une à une droite jixe A est au rapport des distances du point homologue de la seconde figure aux deux droites A', B', qui correspondent respectivement à la droite A et à l'infini de la première figure, dans une raison constante.

52i, On peut prendre la droite A' de la seconde figure à l'infini ; la distance p' disparaîtra de l'équation, et l'on aura

car, dans ce cas, les deux droites M, M' forment deux faisceaux de droites parallèles aux deux A et B' respectivement, L'homograpliie des deux faisceaux s'exprimera par celle des deux séries de points qu'ils marqueront sur deux transversales fixes quelcon-

qucs, et par conséquent par 1 équation ani::^^—;, am et b m

étant les segments compris sur ces deux, transversales entre les deux droites A et M d'une part et les deux droites B' et M' d'autre pari, puisque a et h' sont les points qui, dans les divisions homographjques faites sur les deux transversales, ont leurs homologues à l'infini. Or, si sur les deux droites M, M' on considère deux points homologues, leurs distances p, q' aux deux droites A et B' respectivement sont proportionnelles aux segments am, h'm' . On a donc l'équation

ce qui prouve que :

Etant données deux figures homographiques, si l'on prend dans la première la droite qui correspond à l'infini de la seconde et dans celle-ci la droite qui correspond à l'infini de la première, les distances de deux points homologues quelconques des deux figures à ces deux droites, respectivement, ont leur produit constant.

525. Toiites les relations précédentes dérivant de l'égalité de deux rapports anharmoniques dans les deux figures, et cette égalité ayant lieu dans une figure plane et sa perspective, on en conclut que toutes ces relations s'appliquent à deux figures perspectives t'une de l'autre.