CHAPITRE PREMIER

AVERTISSEJIENT RELATIF A l'USAGE DES SIGNES + ET — POUR DÈTEBMINEH LA DIRECTION DES SEGMENTS BECTILIGNES OU DES ANGLES.

1 . Défibitiow . — Qaand le segment compris entre deux points a, b sera représenté par ah, nous dirons que le point a est son origine. S'il est représenté par ba, ce sera le point h qui sera regardé comme étant son origine.

Makière d'iîvdiqi^ër la diuection des segments. — Quand nous aurons à considérer sur une même droite plusieurs segments, nous indiquerons leur direction en regardant comme positifs tous ceux qui seront dirigés dans un même sens convenu, à partir de leurs origines, et comme négatifs tous ceux qui seront dirigés dans le sens contraire, c'est-à-dire que nous donnerons, dans le calcul, le signe -h aux premiers et le signe — aux autres.

D'après cela, si le segment compris entre deux points a, 6, étant représenté par ab, est positif, représenté par ha il sera négatif; de sorte que l'on dira que ah := — ha.

2 TR.MTli DE CEOIIETRIE SUPERIEIIKE. — CHAPITRE I.

Dans la pratique de ce principe de convention, nous ferons continuellement usage de la proposition suivante, relative à trois points en ligne droite.

2. ÏHÉOTIÈMË FONDÂMESTAL. — Elaiit pt'is tj'ois poÏTils 3, h, c, da/is un ordre tfuelconquc, sur une même droite, la somme des trois segments consécutifs ah, bc, ca est toujours nulle .

C'est-à-dire que l'on a toujours

en donnant aux segments les signes qui leur conviennent.

En effet, les trois points ne donnent lieu, quant à leur ordre respectif, qu'à trois cas différents; car, les deux a, h étant placés, l'ordre respectif des trois dépendra de la position qu'on donnera au troisième c, lequel ne peut prendre que trois positions différentes, savoir au delà du segment ah, à droite ou à gauche, ou bien sur le segment lui-même, ce qui donne lieu aux trois séries «, Ô, c ; c, «, b et a, c, b. Or on passe d'une série à une autre par la permutation de deux lettres, et l'équation

ne change pas par cette permutation ; il s'ensuit donc que le théorème sera vrai dans les trois cas s'il l'est dans un. Prenons les trois points dans l'ordre a, h, c de la première série; les trois segments flè, bc et ac sont de môme signe, et la somme des deux premiers est égale au troisième, savoir :

ab-^ bc = ac.

Mais ac ^ — ca; donc

a/i -\- lie -h ca=zo.

Ce qu'il fallait démontrer. Donc, etc.

Corollaire I. — Quand la position d'un point a est déterminée par sa distance à une origine O, si l'on veut le rapporter à une autre origine 0', on fait toujours, quel cjue soit l'ordre relatif des deux origines et du point a,

O'rt = — aO', cfîtle relalion ciérivo de celk-ci

Oa + nO'-hO'O^O,

qui a lieu entre les trois points O, O' et a, quelle que soit leur position respective.

Substituer ainsi une origine O' à une antre s'appelle changer l'origine des segments.

CoiiOLLAiEE II. — La différence de doux segments Oa, OL (jui ont une origine commune, savoir (Oa- — Ob), est toujours égale (i ba, quelles tjue soient les grandeurs et les directions des deux segments.

Car l'éqiiatioii

Oa — 0/, — hi> rlonne

Oa-hah-h- iOr=(>,

ce qui est la relation entre les trois points O, a, b.

On peut encore dire que la distance de deux points a, Il f exprime, en Jonction des distances de ces points à une origine com~ mune O, par la relation

ab=Ob— Oa.

3. Géwéralisatiok du théorème peécédekt. — La relation entre trois points a, b, c s'applique à un nombre quelconque de points rt, 6, o, (f , - - . , f\ quel {jue soit l'ordre respectif de ces points, on

ah -I- bf + crf + . . . +/« " o.

Nous allons prouver que, si la proposition est vraie pour /j points elle le sera pour (n + i). En effet, supposons que l'on ait pour n points a. b, c,. . ., e la relation

et considérons un point do pliisy'; on aura entre les trois poi e, f la relation

Ajoutant ces deux équations membre à membre et observât

fia et ae se détruisent, on a

o/, + ùc -h . . . + de -i- ef+fa = o.

Ainsi, si la proposition est vraie pour n points, il s'ensuit qu'elle l'est pour (n+ i) points ; mais nous l'avons démontrée pour trois points, elle a donc lieu pour quatre, puis pour cinq, etc.

4, Propriétés relatives a un ou deux segmehts et * leurs POINTS MILIEUX. — Les deux propositions suivantes, qui résultent immédiatement de la relation entre trois points, nous seront sonvent utiles.

Etant donnés deux points a, a' et leur point milieu a, et étantpris sur la même droite un point quelconque m, on a toujours

Car on a, entre les trois points ?«, a, n,

et pareillement, entre les trois points m, a, a',

Ajoutant ces deux équations membre à membre et observant [ue aa = — ««', puisque le point a est le milieu entre les deux

Puis, en multipliant les deux équations membre à membre et remplaçant ««' par — xa, on a

, Etant donnés doux sosments aa' et bb', dont les points r.

USVGE DES SIGSES -f- ET —, 5"

lieux sont, a, 6, on a toujours

En effet, prenant un point wiqiiclconcjue sur la même droite, on a

Or

done

et changeant b en b' et b' en i,

6. Des signes -+- et — pour kxprimeu le sems de kotation dak;

LEQUEL LES ANGLES SONT FOUMÉS A PAllTIlt DE LEtRS OlilGIKES.

Quand un angle est formé par deux droites A, B, nous lui supposerons une origine qui sera l'un de ses côtés; si l'angle est désigné par angle (A, B), le côté A sera regardé comme éianl son origine, et, si l'on écrit angle (B, A), ce sera le côté B qui sera Vorigine de l'angle.

Un angle construit sur un côté pris pour oi-igiiie peut être formé à droite ou à gauche de ce coté, la droite et la gauche étant estimées par un spectateur qui, ayant son œil au sommet de l'angle, dirigerait sa vue sur le cAté pris pour origine.

Tous les angles qui s'étendront, à partir de leurs origines respectives, dans un même sens de rotation déterminé (par exemple, de la gauche vers la droite) seront regardés comme positifs, et ceux qui s'étendront dans le sens de rotation contraire seront regardés comme négatifs. Les lignes trigonomé triques des uns et des autres (très-généralement leurs sinus, et parfois leurs tan-

6 TRAITE DE GKOMETfllE SUreillEURE. — CUAPITHE I.

gentes) auront les signes + et — , comme il csl d'usage dans la Trigonométrie.

Quand une droite tournera autour d'un point fixe, si l'on a à considérer des segments sur celte droite, leurs signes ne dépendront pas précisément de la direction de la droite; ils dépendront soit des relations existantes entre les segments, soit des expressions analytiques de ceux-ci, expressions dans lesquelles pourra entrer implicitement la direction de la droite.

Par exemple, si sur un rayon tournant autour d'un point fixe O on doit prendre un segment Oin dont la longueur est une fonction de l'angle a que ce rayon fait avec un axe fixe, on portera sur le rayon lui-même les segments dont les expressions auront le signe -{-, et sur le prolongement du rayon au delà du pôle fixe les segments dont les expressions auront le signe — -.