CHAPITRE II
RAPPORT AHHARIIIONIQIIE DE QUATRE POiHTS, DE QUATRE DROITES ET DE QUATRE PLANS.
g I. ^ Premières notions.
7. Quatre points «, h, c, d, situés en ligne droite, étant pris deux à deux, donnent lieu à six segments; l'expression telle que
—,'•-]— i'' formée de quatre des six segments, est ce qne nous appelons rapport ankarmonique des quatre points; c'est le rapport des distançais de l'un des points à deux des autres, divisé par le rapport des distances du (juatrième point à ces deux-là.
Nous donnons à cette fonction le nom- de rapport ànharmonique, parce que, dans le cas particulier où elle est égale à — i, on dit que les quatre points sont en relation ou en rapport /(«/■monicjue, expression employée par les Grecs et en usage de nos i„.r.(.).
Quand quatre droites A, B, C, D, situées dans un même plan,
passent par un môme point, nous appellerons rapport anharmo-
, , - „ -Il sm(A,C) sinfB.C)
nique des quatre droites 1 expression telle que- . ,..-,('■■ uni'
sin(A,UJ sin(B,lJ)
formée des sinus de quatre des six angles que ces droites font
deux à deux.
Quand les quatre droites sont parallèles, on prend pour leur
rapport anharnio nique celui des quatre points d'intersection de
ces droites par une cinquième.
C) Voir Collections mathématiques de Papjjus, livre 111, propositions 9, 10, L'expression rapport aiibarmoiiigiie, quo j'ai employée dnns mon Aperçu his,
sur l'origine et le dé^loppemeat des méthodes en Géométrie, Bruxelles," 1837,
a été adoptée depuis par tous les géoraètres.
Enfin, quand quatre plans A, B, C, D passent par une mijme
, . ,, . „ sinfA.C) sin(B,C) , „ ,
droite, 1 expression telle que - , . .„ : — ■-, . ■■ ■ s appelle le rap- ' ' sin(A, D) sin [U, D) ' ' '
port anharmoniqiie des quatre plans.
Et quand quatre pians sont parallèles, leur rapport anharmo-
nique est celui des quatre points de rencontre de ees plans par
une droite transversale.
8. Nous donnerons un signe au rapport anliarmonique de quatre points. Ce signe peut se déterminer de deux manières, soit par la règle générale des signes, appliquée aux segments qui entrent dans cette fonction, soit par la considération suivante. Chacun des deux
ments qui ont une extrémité commune; chaque rapport aura le signe -1- ou — , suivant que ses deux segments seront comptés dans le même sens ou en sens contraires à partir de leur extrémité commune , et le signe de la fonction anharmonique dépendra des signes des deux rapports qui y entrent, d'après la règle de la division algébrique, c'est-à-dire qu'il sera -h ou — -, selon que les deux rapports auront le même signe ou des signes dilFé-
Ces deux manières de déterminer le signe d'un rapport anliarmonique sont identiques quant au résultat; elles donnent toutes deux le même signe, quel que soit même le sens dans lequel on compte les segments positifs, quand on applique la règle générale. Aussi, quand nous n'aurons à considérer que des rapports anharmoniques, nous déterminerons leurs signes de la seconde manière, qui est plus expéditive; mais quand, avec ces rapports, nous aurons à considérer d'autres segments, nous devrons observer la règle générale des signes.
Ce que nous disons du rapport anharmonique de quatre points doit s'entendre du rapport anharmonique de quatre droites ou de quatre plans.
9, Quatre points a, h, c, d donnent lieu à six rapports anharmoniques. Mais on peut n'en considérer que trois, parce que les trois autres seront les valeurs inverses de ces trois premiers. Nous
prendrons les trois rapports
ac J^ adçd iih^dh^ ad' bit ab'cli eic ilc
Le même point a, dans ces trois rapports, est associé ou conjugué successivement avec les trois suivants b,c,d. C'estponr cela qu'on ne peut former que trois rapports distincts et leurs trois inverses, qui sont
ml Jul ^.^ (^</c
^'ï^' ^;*I7/' ld>' m'
Quand nous parlerons des trois rapports anharmonîques de quatre points, il sera toujours question des trois rapports formés, comme ci-dessus, par la combinaison successive d'un même point avec les trois autres.
10. Quel que soit l'ordre de position de quatre points a, b, c, d, deux de leurs trois rapports anharmoniques sont toujours positifs et le troisième négatif.
Cela est facile à vérifier. Ainsi, par exemple, supposons les quatre points dans l'ordre a, b, c, d; le premier rapport sera positif, le deuxième négatif et le troisième positif.
La considération des trois rapports nous sera utile quand nous traiterons des propriétés relatives à deux systèmes de quatre points qui ont leurs rapports anharmoniques égaux; mais le plus souvent nous n'aurons besoin de considérer qu'un seul rapport.
11. Connaissant le rapport anharmonique ^ de quatre points dont trois sont donnés de position, construire le quatrième.
Soient a, h, c, d. [fig. i) les quatre points dont le rapport anharmonique —^''-f^ 6st une quantité donnée X, positive ou négative. Trois des quatre points étant donnés, on demande de déterminer le quatrième.
Soit b le point inconnu. Par le point a on mène une droite quelconque sur laquelle on porte deux segments aa, act' qui soient entre eux dans le rapport ï, ces deux segments étant pris du
même côté du point a si À est positif et de eôtcs opposés s'il est
On mène les deux droites ac, âd, et, par leur point d'intersection S, une parallèle à la droite a«; cette parallèle détermine le point h. En effet, on a dans les deux triangles semblables ««c,
Sic, j- ;= -T^i et dans les deux triangles semblables a!ad, Sbd, — =r — ^ ; ces deux équations, divisées uiembre à membre, don-
ce qui prouve que le point i ainsi détermine est le point demande et que la question n'admet qu'une solution. Cette construction sert aussi pour déterminer l'un des deux points c et d, car, pour déterminer le point c, par exemple, on mènera par le point b la parallèle à la droite aa, laquelle rencontre la droite «.'d en un point ê, et la droite aê donne le point c.
Si c'est le point « qu'il faut déterminer, on écrira l'expression du rapport anharmonique ainsi :
et l'on fera la construction comme précédemment, en substituant, bien entendu, le point è an point a, c'est-à-dire qu'on portera sur une droite menée par le point b deux segments dans le rapport X, etc.
Si i, au lieu d'être un nombre positif ou négatif, est le rapport de deux droites données de longueur, on pourra porter ces deux droites elles-mêmes de « en a et en a', du même eêtc du point a ou de côtés différents, selon que le rapport des deux droites sera positif ou négatif,
12. Quelle que soit la valeur, positive ou négative, de la quantité }., la construction est toujours possible. Toutefois, ii y a trois cas particuliers où le point cherché coïncide avec l'un des trois points donnés. Soient a, b, c ceux-ci et d le point cherche.
i" Si X esl nul, on a ac.bd :^o,etlepoinL(f coïncide avec le point b.
2" Si \ esl Infini, on ^ ad.bc:= o, et le point d coïncide avec le point a.
3° Enfin, si X = -4- 1 , le rapport —. doit être égal à — et de
même signe, ce qui exige que le point d coïncide avec le point c.
D'après 'cela, nous dirons que le rapport anharmonù/ue de
guatre points distincts ne peut pas être égal ^4-1, ni être injini
ou nul, mais qu'il peut avoir toute autre valeur positive ou né-
Quand le rapport anharmonique est égal à — i , on dit que les quatre points sont en rapport harmonique. Il existe alors entre les quatre points diverses relations dont plusieurs sont d'un grand usage en Géométrie, Nous les ferons connaître dans un des Cliapitres suivants.
g II. — Propriétés géométriques du rapport anharmonique.
13. Si par quatre points en ligne droite on mène quatre droites concourantes en un même point, le rapport anharmonique de ces quatre droites sera égal à celui des quatre points et aura le même signe.
C'est-à-dire que, a, b, c, d étant les quatre points et A, B, C, D les quatre droites, lesquelles concourent en un même point O, on aura
5in{A,C) . sinfB.C) ^ , ^
sin [ A, D ) ' sin ( B, D ) ~ cd " Od
En effet, on a dans les deux triangles aOc, aOd (fig. 2) sin/tOc ac sin«0(/ ml
On a pareillement
smhOc bc s\abQd~ Od'
3 GEOIIETRIE
.naOd't
aùOd ad' hd
Cela démontre que les deux fondions anharmoniqiies ont la
même valeur numérique, mais sans impliquer l'identité de leurs
signes. En effet, le rapport de deux côtés d'un triangle n'a pas de
signe, puisque ces côtés ne sont pas sur une même droite , et il en
est de même du rapport des sinus des deux angles opposés. Par
conséquent, l'égalité de ces deux rapports ne comporte aucune
considération de signes , et, par suite, notre équation finale exprime
seulement l'égalité numérique des deux fonctions anharmoniques
en question. Il reste donc à prouver que ces deux fonctions ont
le même signe. Pour cela, il suffit d'observer que les deux rap-
SUlrtOc ne r ■ 1 1 5 ■ ic\\ j
ports ■■ — — - et —, ont évidemment le même signe o , et de
' lannClil nd \ i '
d'où il résulte que les deux
nhOc
hc
même les deux rapports
fonctions ont le même signe. Donc, etc.
14. Quand deux transversales rencontrent un fc f/aatre droites en des points a, b, c, d ef. a', b', c', d', y anharmonii/ue des quatre premlars points est égal à t/uatre autres et de même signe.
Ainsi l'on a
rapport :elui des
Cela résulte immédiatement de la proposition précédente.
Il est évident que cette égalité a lieu à l'égard de quatre droites parallèles ou concourantes à l'infini.
15. ConoLLAiKE. — Les transversales ont des dÎJ'ectio/is quelconques; chacune d'elles peut être parallèle à une des quatre droites : alors chacun des rapports anharmoniques se re'duit au simple rapport de deux segments.
Ainsi, supposons la première transversale parallèle à la droite B ;
bc le point b est à l'infini, et le rapport j-^ est égal à l'unité ; le rap-
RAPPORT AlfHARUONlQUE. l3
port anharmonique des quatre points a, b, c, d a pour expression — -) et l'on a l'éqiiation
Pareillement, si la seconde transversale est parallèle à la droite D, le rapport anharmonique des quatre points (/, b', c' , d', dont le
dernier est à l'infin
16. Le théorème ('l-i) peut s'énoncer ainsi ; Qumid i/uaire points sont en ligne droite, si l'on en fait la pei-spective sur un plan, les quatre points en perspective auront leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points proposés.
C'est ce qu'on exprimera plus brièvement en disant que ; Quand on fait la perspective de quatre points en ligne droite, leur l'apport anharmonique ne change pas.
Il est clair que la perspective peut être une projection par des droites parallèles.
17, Quand quatre plans A, B, C, 1) passent par une même droite, un plan transversal les coupe suivant quatre droites dont le rapport anharmonique en toujours égal à celui des quatre plans.
En effet, un second plan transversal coupe les quatre plans suivant quatre droites a', h' , d , d' qui rencontrent respectivement les quatre premières a, b, c, d en quatre points </., £, y, ô en lig^ie droite. Le rapport anharmonique de ces quatre points est égal à celui des quatre droites a, &, c, li et à celui des quatre droites d, b', d , à' (13). Donc ceux-ci sont égaux entre eux.
Supposons que le deuxième plan transversal soit perpendiculaire à la droite d'intersection des quatre plans : les quatre droites d , b'f d , d' feront entre eUcs des angles égaux précisément aux angles des quatre plans ; donc le rapport anharmonique des quatre droites, et conséquemment celui des quatre premières droites
li THAITÉ CE C.KOMETRIE SUPKBICURE. — CIIAPITHE II.
a, h, c, d sera égal à celui des quatre plans. Le théorème est donc démontré.
18. Quand quatre plans passent par ima mémo droite, une transversale tjuelconque les rencontre eji quatre points dont le rapport anharnionique est égal à celui des quatre plans.
En effet, si par la transversale on mène un plan, il coupera les quatre plans suivant quatre droites dont le rapport anharmonique
sera ég-al, d'une part à celui des quatre points (13) et de l'autre à celui des quatre plans (17); donc celui-ci est égal à celui des quatre points. Donc, etc.
■19. On conclut du théorème (i7) que ; Quand quatre droites situées dans un plan concourent en un même point, si l'on enjait la perspective sur un plan, on a quatre autres droites dont le rapport anharmonique est égal à celui des quatre premières.
20. Usage des points situés a x-'ihfimi podr foumer dks iiappoRTs AHHAiiMOMiQUES. — Quand des segments pris sur une même droite ont entre eux une relation telle, que, en y introduisant des rapports de segments comptés à partir du point de cette droite situé à l'infini, on puisse faire en sorte que tous les termes ne présentent que des rapports anharmoniques et des coefficients constants, la même relation aura lieu entre les sinus des angles formés par des droites menées d'un même point quelconque à tous les points de la figure, y compris le point à l'infini.
Et la même relation aura lieu aussi entre les points provenant des intersections de ces droites par une même U-ansversale quelconque : au nombre de ces points se trouvera, à dislance finie, celui qui correspondra au point situé à l'infini sur la première droite.
Cette proposition générale est une conséquence évidente du théorème (13) sur le faisceau de quatre droites ( ' ).
(') M. Poneelet se sert aussi des points situés h l'infini pour rendre pro/eciiVej des relations de segments, mais par des considérations générales indépendantes de la notion du rapport anliarmoiiique. (Foi> le JHémoire sur les centres des moyennes liarmoniqaes, Note 3'; Tome lll du Journal de lHn.lhémaitques do M. Crelle; année i8a8.)
Par exemple, considérons trois points t entre lesquels a lieu la rclatipn idcntifjue
On amènera cette équation à ne contenir que dm moniques, en écrivant
■apports anhai
et en y introduisant le poi ports --m et -^—j sont éffau)
t d' situé à l'infini , car les dei V l'unité, et l'on peut écrire
Cette équation ne contenant que des rapports anharmoniques et des coefficients constants (qui sont égaux ici àTunilé), elle aura lieu entre les sinus des angles des quatre droites A, B, C, D menées d'un même point aux quatre a', b', c', d', et entre les segments compris entre les quatre points d'intersection a, b, c, d de ces quatre droites par une transversale quelconque.
Les deux théorèmes qui résultent de là devant élro d'un usage fréquent dans le cours de cet Ouvrage, nous allons en faire l'objet d'un paragraphe particulier et en donner une démonstration plus immédiate, quoique fondée sur les mêmes considérations qui précèdent.
§ III. — Propriétés de quatre points situés en ligne droite et d'un faisceau de quatre droites.
21 . Etant donnés quatre points a, b, c, d <?h ligna droite, on a toujours entre les six segments quo ces points déterminent deux à deux la relation
— No
i A traitei- ici cet
lie quesUoD des rela
tionE
i projecli
vi^s- elle se
pré-
harmo
» plus t usage, <
ioit de
tee les méthadc!
: quatre poinu, i étant la base a
soit de quatre u Vêlement de •
ation des figHrcs. Le rapport ces trniisforraalions.
rré-
dans laquelle on observe, relativement aux segments, la régie générale des signes.
En effet, divisant parat.cif, il vient
Que par un point O on mène les quatre droites Oa, Oh, Oc, 0(/, et qu'on les coupe par une transversale parallèle à la quatrième 0(/; soient a', V , c' les points d'înlerseetion des trois premières, on aura (15)
'^'db" '7b'' 7ï,'7b~ Vb''
L'équation à démontrer devient donc
équation identique (2). Donc, etc.
22. Pour former l'équation [a), on peut considérer à part les. trois points b, c, d, entre lesquels a lieu l'identité 6c + crf + rfi:=o, dont on multiplie les termes respectivement par les segments ady ab, ac.
Nous verrons plus loin (Oh. XVI) que l'on peut considérer l'expression sous un autre point de vue et comme se ratlacliant à une propriété générale d'un système de points en nombre quelconque.
23. Si de la forme abstraite du théorème on passe à son expression concrète, résultante de la position réelle des quatre points a, b, c, d, on voit que, des trois rectangles qui entrent dans l'équation, l'un est formé de deux .segments qui empiètent l'un sur l'autre, le deuxième de deux segments qui n'ont aucune partie commune, et le troisième de deux segments dont l'un est entièrement compris sur l'autre; et l'équation signifie que le premier
llAL>POnT ANHAIIMONIQtlE. i;
rectangle (formé des deux segments qui empiètent l'un siir l'autre) est égal, numérii/uement, à la somme des deux autres.
Ainsi, quand les trois points sont dans Tordre a, b, c, d, on a
ac.db=ab.cd^ad.bc.
Cela résulte, en effet, de l'équation générale («), car le terme ac.db y prend le signe — , provenant de la direction du segment db, ei les deux autres termes sont positifs,
24. L'équation («) donne, par un simple changement de notation, la suivante, relative à deux segments ab, a'b' situés sur une même droite :
(«") nb.a b'=^aa'.l>h' -^ab' .ba\
relation par laquelle se détermine la longueur d'une droite a'h' en fonction des distances de ses extrémités à deux points fixes a, b.
âS, Quand quatre droites A, B, C, D concourent en un même point, les six angles qu'elles forment deux à deux ont entre leurs sinus la même relation que les segments /ormes par quatre points en ligne droite, savoir :
( b ) sin (A, B) sin (C, D) -i- sin (A, C) sin (D, 3) -h sin (A, D) sin JB, G ) = o.
:elte équation s'écrit
sm(A,C).sin(D,C} s sin(A,B)'sin(D,B) s
in(A.Dl siLiiC.Dl in(A,B) ■sin(C,Ji)
et, si l'on mène une transversale qui rencontre les quatre droites en quatre points a, b, c. d, on aura entre ces points la relation [«') ei-dessus. Mais les deux premiers termes de cette équation sont égaux respectivement aux deux premiers termes de l'équation {b'), comme étant des rapports anharmoniques (13). Donc l'équation (è') est une conséquence du théorème précédent. Donc, etc. Il est clair que les signes des sinus se déterminent dans l'équation (b) d'après le sens de rotation des angles à partir de Jeurs origines respectives.
l8 TRAITE DE GliOltErHII! SUPERtEUnii. — ' CIIANTRi; JL.
26. L'équation {h) donne lieu aux deux suivantes : (c) cosABslnCD -+- cosAC sinDB -h cosADsînliC — o,
f J) cosABcosCD — cosACcosDB — siiiADsinBC =. o.
On obtient l'équation (c) eu mettant A' à la place de A dans l'équation (i), puis en considérant une nouvelle droite A perpendiculaire à A', de sorte que (A' A) ;= -t-go". L'équation [d) se conclut de (c) par la même considération, en substituant à D une autre droite D* qui lui soit perpendiculaire. II suffit de se rappeler, dans ces substilulions , que, si (E,F) ::= + 90°, on a
27. En changeant simplement la notation dans les. trois équations {&),(c),((/), on a les trois formules suivantes, relatives à deux angles (A,B),(A',B');:
sinAB siiTA'B' = sinAA' siuBB' - sinAB' sinBA',
cosABcosA'B' = cosAA'<:osBB'+SLnAE'siiiBA'.
Chacune de ces formules fait connaître l'angle des deux droites A', B' en fonction des angles que ces droites font avec deux axes fixes A, B.
1; IV. — Formules pour le changement d'origine de segments rectilignes ou d'angles.
28. Un point m d'une droûe âuinl dètorminé par le rapport de ses distances à deux points fixes a', b' de cette droite, on demande d'exprimer le rapport de ses distances à deux antres points a, h en/onclion du premier rapport.
Exprimons d'abord le rapport -r— en fonction du -i-- -■ 11 suffit
de prendre la relation qui a lieu entre les quatre poinisra, /', <i', m. savoir (21 )
d'où
' ' bm ha' a' ii bni
Maintenant on remplacera le rapport - — par ranl les quatre points a', b, b', m, qui donnent
d'où
/>?,' , a'h ,, la'm a'h\
Si l'on remplace dans le second membre de l'équation (i) hm pai cette expression, il vient
l/m bb' a-b
, en ayant égard à l'identité («"),
Ce qu'il fallait trouver.
Ou a , conîme on voit , entre les deux rapports - — et y;— i l'équation symétrique
(^' Jin 'ÏÏ7n~~bi',ïVÏ~17Tn W^TU^'^'
Ces formules nous seront utiles dans plusieurs queslii
lions.
29. Si d'un point O on mène des droites A, B, A', B', M aux cinq points a, h, a', b', m, on pourra substituer aux segments qui entrent dans les équations (i, 2 et 3) les sinus des angles des droites qui comprennent ces segments, de sorte que l'on aura les
E OÉOJIÉTHIE SUPÉHIEUnE. — C
si„(B,M)
i,i(D,A') sm(A',I!) sm(B,M
sin(V,M) sin(A.B') srn(A,A'
sin(A,M)
,in(B',M)sm(B,B'l >m(B,B')
sin(Ji, M]
sin(A',M) liiiJA'.B)
.ralA.H) .,i
i(A',M.] sinfA.M} sin(A',B)
i(B',M; sm(B,M) sin[B',B]
(A', M] sin{A,B') , sin(A,A')
§ V. — Propriétés de quatre points situés sur une circonférence de cercle. — Formules fondamentales de la Trigonométrie. ~ Propriétés du qiiadrilatére inscriptible an cercle.
30. Plaçant le sommet du faisceau de quatre droites au centre d'un cercle, et appelant a, b, c, d les points dans lesquels ces droites rencontrent la circonférence, on conclut des trois équations [b, c, d) celles-ci
&inab sin«/-Vsin«c mndb -j- siiiacl sii\ùc = o, cosab siii cd ~i- cosac siticlli +cosrtt/ sinic^o,
puis, plaçant le sommet du faisceau de quatre droites en un point de la circonférence, on conclut de la première des trois équations, qui a lieu entre les six sinus, celle-ci :
3] . Propriétés relatives à trois points pris sur une circonférence de cercle . — Si l'on suppose crf ^ -H 90" dans les équations (6' et t;'), elles deviennent
Celte dernière résulte encore de l'éqaation {d'), dans laquelle on ferait cd = o.
Ces deux équations forment des relations générales entre trois points quelconques de la circonférence d'un cercle.
Expression de sin(adz6),cos(a ±6). — - Ces expressions se déduisent immédialement des deux formules précédentes.
Il suffit de supposer que le point c soit situé sur l'arc ah ou sur son prolongement. Dans le premier cas, on a al/ ^= ac -h cb , el dans le second, ab =^ ne — bc; et, faisant ac = a, ac= S, on olitient les deux formules
sin ( « ± S ) — sin « cosS ± sin 6 cos«, cos[H±e) ^cosKCOsê^sin« sine.
Ainsi, ces formules fondamentales de la Trigonométrie se déduisent naturellement de l'identilé
qui a lieu entre trois points en ligne droite, par la propriété du rapport anharmojiique.
32. Soit un quadrilatère abcd {fig. 3) inscrit au cercle; on a entre les sinus des demi-arcs sous-tendus par les eôtcs et les diagonales l'équation {b") qui, appliquée à la figure, dans laquelle les deux arcs ac, hd empiètent l'un sur l'autre, devient
&\n^iic?,vc\'^db =i.-sin j<îfisin-^C(;4- ûn^adûa-bc;
mais ces sinus sont les demi-cordes ab, cd , ... ; l'équation n'est donc autre chose que celle-ci ;
ac .tlb ^ ab .cd -\- ad, bc;
c'est-à-dire que, dajis tout quadrilatère inscrit au cercle, le produit des deux diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.
33. Considérons un quadrilatère quelconque ABCD {^g. 4)t et menons d'un point O quatre droites à ses sommets; on aura entre les sinus des angles de ces droites, prises deux à deux, la re-
lation (23)
sinAOB sinCOD M-sinAOC sinDOB + sinAOD sinBOC = o.
Qu'on multiplie les deux membres par le produit des quatre lignes OA, OB, OC, OD divisé par 4. el que l'on observe que l'aire d'un triangle est égale au demi-produit de deux côtés multipliés par le sinus de l'angle compris, on aura
trAOB.trCOD-i-trA0C.trROD + ti-AOD.trBOG™o.
En déterminant les signes d'après le sens de rotation des angles AOB, etc., comme il a été dit, on reconnaît que, quand le quadrilatère est convexe, l'équation exprime que, Si un point pris dans le plan du quadrilatère est regardé comme le sommet commun de six triangles ayant pour bases les quatre côtés et les deux diagonales du quadrilatère, le produit des aires des triangles qui auront pour bases les deux diagonales sera égal à la somme ou à la différence des produits des aires des triangles qui auront pour hases les côtés opposés, selon que le point sera pris au dehors ou dans l' intérieur du quadrilatère i').
§ VI. — Relations entre les trois rapports anharmoniques d'un système de quatre points ou d'un faisceau de quatre droites.
Zi. Les trois rapports anharmoniques d'un système de quatre points en ligne droite a, b, e, d sont
ac bc ad cd oh ,lh^ l^l'Vi' ld)'W li^'l^'
Leur produit est égal à — i, ce qui se vérifie de soi-même, el ils ont, deux à deux, des relations très-simples, que l'on tii'C de l'équation
ah .'d -\- (ic.dli -\- ad. hc =; o,
!mc a été dÉmoiitré par Monce dons le Journal do V , lier, pago 86. L'nuleur le conclut d'une identité eiitrt ordonnées des qnntre sommets du quadrilatère et et nont les aires des triangles. Cette itlentîlé avait déjà un Mémoire d'Analyse de 17^8.
RAPPORT ANIliimOSIQUE, a3
qui a lieu entre les quatre points (21). II suffit de diviser cette équation successivement par ses trois termes. DivisEuit par«(f.ic, on a
ah cfc ac h-
ciil v/l ad ' bel
les trois relations
■r nipp.
^ rappoj-t,
rapport,
A-insi, un des trois rapports étant donné, ces équations fou naître les valeurs des deux autres. Les expressions du de et du troisième rapport en fonction du premier sont
nipp.
3S. Ce qui précède s'entend évidemment des rapports anharmouiques d'un faisceau de quatre droites, puisque ces rapports sont égaux à ceux des quatre points qu'une transversale quelconque détermine sur ces droites (13).
§ VII. — Nouvelles expressions du rapport anharmonique de quatre points, ou d'un faisceau de quatre droites.
36. Le rapport anliarmonique de quatre points peut se mettre sous une expression où entre un cinquième point pris arbitrairement sur la même droite que les premiers. Soient a, h, c, d les
2^ TllAlTÉ DE GliOMlCTItlE SUPEIIIEfnE. — RH.VPITRE II.
qualre points, et m le cinquième, on aura ''' 7^1 '■ ù7l ^ '^ ^'
En ofiet, on peut éerire
Or, on a entre les quatre points a, h, d, m la relation
ab.dm + ad.nib ■+• mn . bd =7 o, ou
dli.iiifi cib ,md
d„ . mb ~~ ' ~ ad.mb
Et pareillement, entre les quatre points a, h, c, m,
f,h.t„d ,nh ~ ad.md nb'
ce qui est l'expression cherchée.
Si, dans cette expression du rapport anharnionîquc des quatre points a, b, c, d, on suppose que le cinquième point m soit à l'infini, les rapports —j- et — r- seront égaux à Funité, et il viendra
w . bc f,b ad'' bd^ l
On obtient ainsi une nouvelle manière d'exprimer le rapport anharmonique de quatre points en fonction seulement des distances de. l'un d'eux aux trois autres.
Il A n MO NIQUE.
37. Aux segments mb, nie, nul on peut substituer, dans l'équation (i), les perpendiculaires abaissées des trois points b, c, d sur une droite quelconque. Car si Ton suppose que le point m soil à l'intersection de cette droite et de la droite ab, les trois perpendiculaires que je désigne par ê, y, 5 sont proportionnelles aux trois segments mb, me, md, et l'expression du rapport anharmonîque peut s'écrire
38. Quand les quatre points a, b, c, d sont déterminés par leurs distances a, S, y, S à une même origine O, de sorte que 0(ï:=a, Ob=^Ë, etc. , l'expression de leur rapport anliarmonîque
Cela est évident.
Quand les quatre points a, b, c, d sont déterminés par les rapports
de leurs distances à deux points fixes 0, 0', soit --— = a,
Oh , Oc Ofl ^ -,, . , , ,
777T=o, —-7=y, — — = (? 1 expression de leur rapport anliar-
moniquc est encore
En effet, on a
OU, d'après la formule ci-dessus (i).
0'</ O'i ii'tl
1& TRVITK BE GEOSŒrnlE SUPEfllEUIlK. — CIIAPITBE H.
39. Rapport anharmonique de quatre droites. — L'équation (i se met sous la forme
et, comme ii n'y entre plus que des rapports anliarmoniqiies, on en conclut qu'elle s'applique aux sinus des angles d'un faisceau de cinq droites A, B, C, D, M; de sorte que le rapport anharmoniqne de quatre drol tes A, B, C, D s'exprime ainsi :
«^) im^
n(JI,D)
!in(A.Bl .
jin(»l,B| >
la droite M étant tout à fait arbitraire.
Si cette droite est perpendiculaire à la droite A, on a
et de même des autres termes; de sorte que te rapport anliarmoniquc des quatre droites prend cette expression
^^' sin[A,D)'sin(It,D) cot(A,B] — col(A, C)
dans laquelle n'entrent que les ang-les que l'une des droites fait avec les trois autres.
40. Quand les quatre droites A, B, C, D sont déterminées de direction par les rapports des sinus des angles qu'elles font avec deux axes fixes O, CC, de sorte que l'on ait
sinfO.Al sin(O.B) sinfCC] sin(Q.D)
sin(0',A)^''' sin[0%B) ' sin(0',C) '''' siii(0',D)"
le rapport anharmonique des quatre droites a pour expression
nAC sinBC __«— 2 , S — y nAD ■ sinBU ^ a— S ' g — ^
r ANHABUOMIQUE. 37
Cette formule se démontre comme l'équalion (5) et peut d'ailleurs se conclure de celle-ci , parce que le second membre peut s'écrire de manière à ne renfermer que des rapports anharmoniques
1 — y : a l — y.f, 1 — J:«' I — iî;e'
Si les deux droites fixes O, O' sont rectangulaires,
K = tang(0,A], e = taL]g(0,lî}, ...,
de sorte que l'on a
siuAG ^ sinBC tans(0,A) — taiifi(0, C) . t;mg(O.B) — taug(0,C) '9' sinAD ■ sinBD ~ tang [O, A) — tang- {0,V) ' wng (O, B) — ta(ig(0,D)"
■: en: givOmetjke
