SA. SB S'A.S'B
Sa.S/'~ SVi.S'i '
Poiir que cette équation soit une des relalions d'involiitioii de six points, il faut que ]es deux membres soient de même signe. Or cela a lieu évidemment, parce que chacun des deux points S, S' est ou au dehors des deux courbes, ou dans l'intérieur des deux à la fois, de sorte que les deux produits SA, SB et Sa.Sb sont toujours de mènie signe; et pareillement des deux S'A.S'B et S'a.S'b.
722. Toute droite menée par le centre de similitude de deux cercles coupe leurs circonférences sous des angles égaux.
Cela est évident, car, d'une part, les deux angles en a' et «( dans le cercle O' {fig- i54} sont égaux, et, d'autre part, les deux angles ea i/ et a sont aussi égaux, puisque les deux figures sont semblables et scmblablement placées, et que le point S est leur centre de similitude.
n. — Corde commune ii Jeux cercles ou. are radical.
723. Nous appelons corde commune à deux cercles une droite dont les points d'intersection (réels ou imaginaires) avec les deux cercles sont les mêmes.
Le cas où les deux cercles ne se coupent pas donne lieu à «■ théorème :
Deux cercles ont toujours une corde commune.
En effet, que l'on mène une droite quelconque qui rencontrera les deux cercles en deux couples de points «, b et a', V [réels ou imaginaires}; il existera toujours sur cette droite un point m tel.
46o TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE S
que les produits jun.Tïii et mn' . mb' seront égaux (214). Que de ce point on abaisse une perpendiculaire sur la droite qui joint les centres des deux cercles; cette droite sera la corde commune aux deux cercles, c'csi>à-dire qu'elle les rencontrera aux deux mêmes points (réels ou imaginaires). En effet, les deux points sur cliacun des cercles auront le même point milieu, qui sera sur la ligne des centres des deux cercles (656); et le rectangle de leurs distances au point m sera aussi le même, car il sera égal à ma.mb dans l'un des cercles et à ma'.mb' dans l'auti'e (657).
CoROLLAiTiE. — Il résulte de là que, quand une transversale rencontre deux cercles en deux couples de points a, b et a' , b' , et leur corde commune en ni, on a toujours l'égalité ma.mb ^= ma'.mb'; et que réciproquement, quand cette égalité a lieu, le point m appai'tient à la corde commune aux deux cercles.
724. Les tangentes menées à deux cercles d'un même point de leur corde commune sont de même longueur.
Car on a {^g. i55) mt =me.mf, en appelant e, J les deux points d'intersection (réels ou imaginaires) des deux cercles -,61 de même mt' = me.mj. Donc mi ^^mt'.
Réciproquement : Si les tangentes menées d'un même point à deux cercles sont égales, ce point appartient nécessairement à la corde commune aux deux cercles.
En effet, la tangente au second cercle mt' rencontre le premier eu deuxpointseettf (réels ou imaginaires), et l'on a HiE. m o^/7U (6S7).
Mais, par hypothèse, mi^^m/f; donc mt.mr^^mt'. Donc le point Hi appartient à la corde commune aux deux cercles (723, coroU.).
A raison de cette propriété, et parce que la longueur de la tangente menée d'un point à un cercle s'exprime par un radical, on a appelé la corde commune à deux cercles axe radical [ ' ).
( ') Cette expression a été proposée par M. Gaultier (de Tours}, dniis iiii [Hémoiri sur les contacta des cercles {Journal de l'École Polytechnique, XVl* oaliîei-, aniici
PROrBIBTÉS RELATIVES A DErX CERCLES. 4<'I
725. L'axe radical de deux cercles est à égale distance des deux polaires de chaque centre de similitude.
En effet, si l'on conçoit une tangente commune aux deux cercles, le point où elle rencontre l'axe radical est, d'après le théorème précédent, à égale distance des points de contact; mais ces points sont sur les polaires du centre de similitude par lequel passe la tangente, et ces polaires sont parallèles à i'axe radical. Donc, etc.
726. Si par un point de l'axe radical de deux cercles on mène deux droites quelconques, les quatre points [léels ou imaginaires) dans lesquels elles rencontrent l'une un cercle et l'autre l'autre cercle sont sur un même cercle.
Car, soient m le point de l'axe radical, a, h les points de rencontre du premier cercle par l'une des transversales, a', h' les points de rencontre du second cercle par l'autre transversale et e, J les points communs aux deux cercles sur l'axe radical ; les deux rectangles ma.mh, ma' .mb' sont égaux à me.7/i/etpar conséquent égaux entre eux ; ce qui prouve que les quatre poînls a, b, a', b' sont sur une même circonférence de cercle (657).
727. La corde commune à deux cercles jouit de la propriété' que les polaires de chacun de ses points par rapport aux deux cercles se croisent sur cette droite.
En effet, les polaires d'un point de la corde commune passent par le point qui est, sur cette droite, le conjugué harmonique du premier par rapport aux deux points d'intersection (réels ou imaginaires) des deux cercles ((>84).
Réciproquement : Quand une droite est telle que les polaires de chacun de ses points par rapport à deux cercles se rencontrent sur cette droite^ cette droite est une corde commune aux deux cercles.
Eu effet, si deux systèmes de points sur une même droite L sont conjugués par rapport à chacun des deux cercles, les points d'intersection de l'un et de l'autre cercle par cette droite sont les mêmes (699).
yGoosle
728, Un point situé à l'infini a pour polaires dans deux cercles deux diamètres parallèles, lesquels se rencontrent à l'infini, de sorte que la droile située à V infini peut être considérée comme une corde commune aux deux cercles.
Ainsi l'on peut dire que deux cercles ont quatre points d'intersection situés deux à deux sur deux cordes communes toujours réelles; que sur l'une de ces droites, située à distance finie et appelée axe radical, les deux points sont réels ou imaginaires, et que sur l'autre, située à l'infini, les deux points sont toujours ima-
Dans le cas particulier où les deux cercles sont concentriques, leur axe radical est lui-même à l'infini et leurs deux cordes communes se confondent; on peut dire alors que les deux cercles ont un double contact imaginaire à l'infini, parce que leurs quatre points d'intersection coïncident deux à deux sur la droite située àrinfini('}.
