III. — Des cercles considéré.-, coinmejîgures homologiques
729. Deux cercles sont deux figures homologiques dans lesf/uelles l'axe d'homologie est la corde commune ou axe radical des deux cercles, et le centre d'homologie est, l'un ou l'aui/e, indifféremment, des deux centres de similitude.
En effet, soient M et m {fig. i5t>) deux points homologues par rapport au centre de similitude S, et MP, tnp les distances de ces points aux polaires du point S relatives aux deux cercles. On a. en leriiT de la similitude des deux figures.
Soient tn, le second point du cercle o sur la droile S i) dislance de ce point à la polaire du point S; on a
(') Catle liolioii J'rnie corde conimiine à deux cercles située & l'îiifiiii et de dpux cercles ayant itn double contact iinagitiaire a été émise par Puncelet dnns son Traité des proprUUs (.rojactiv.., .Un fguros {yoi, p. ^8),
yGoosle
PBOPItlÉTÉS RELATIVES A DEUX C
De ces deux cqualions résulte celle-ci :
Cette équation prouve (S30) que les deux points M et m, appartiennent à deux figures liomo logique s dans lesquelles les polaires du point S sont deux droites homologues.
Deux figures homologîques rencontrent leur axe d'homologie dans les mêmes points; donc l'axe d'homologie des deux cercles est leur axe radical.
Le théorème est donc démontré.
730. Deux cordes hoinologùjiics, telles (/ue^ïN, m, n,, comprises entre deux droites issues d'un centi-e d'homologie, se coupent sur l'axe radical.
Cela résulte des propriétés des figures homologîques.
731. Pareillement: Les tangentes en deux points honiologiques M, m, se rencontrent sur l'axe radical.
Réciproquement : Si d'un point de l'axe radical on mène une tangente à chacuti des deux cercles, les deux points de contact sont en ligne droite avec l'un ou l'autre des deux centres de similitude.
Cela est évident, d'après ce qui précède.
732. Puisque deux cordes homologiques se croisent sur l'axe d'homologie, on en conclut que :
Deux couples de points homologiques sur deux cercles sont quatre points situés sur une même circonférence de cercle (726}.
733. Le rectangle des distances de deux poi/its homologiques de deux cercles au centre d'homologie est constant, quels que soient ces deux points.
Car, les quatre points M, N, m,, n, étant sur une même circonférence (732), on a
SM.Smi=SN.S«,.
sJOii TRAITÉ DE GÉOUÉTRIE SUPERIEURE. -
734. AuTitE MANIÈRE lîE démobtueh les théorèmes PRÉcÉuEnaa. — Ces divers ihéorèmes, que nous avons conclus naturellement des propriétés le.s plus simples des figures bomologiques, sedémontrenl aussi d'une manière directe fort simple, mais en suivant une marche
Les deux points M, m étant homologues par rapport au centre de similitude S, on dit que les deux M, m, sont anti-homologues, et l'on démontre d'abord notre dernière proposition, savoir, que le rectangle S^.Sm, est constant quels que soient les deux points anti-homologues M, m,. En efFet, on a [Jig. i5<>)
1^ = ^ et ,S™.S.,=:-.^^.d'oft
De là résulte que deux couples de points anti-homologues }>\ , m, (?( N, n, sont sur une même circonférence de cercle.
Conséquemment, ï étant le point de concours des deux cordes MN, wî,«,,ona
.>M.vN:=v/ni.v«,.
Donc les tangentes aux deux cercles menées par ie point y sont égales; donc ce point est sur l'axe radical (724) ; donc deux cordes anti-homologues se coupent sur l'axe radical.
En supposant que les deux cordes deviennent infiniment petites, on en conclut que les tangentes en deux points anti-homologues se coupent sur l'axe radical.
Cela résulte encore de ce que ces tangentes, qui font des angles égaux avec la droite qui joint les deux points de contact (722), sont de même longueur.
Enfin, les cordes anti-liomologues, telles que MN, m,rti, se coupant sur l'axe radical, on en peut conclure que les deux cercles sont deux figures hoinologiques dont le centre et l'axe d'homologie sont le centre de similitude S et l'axe radical {b^).
Ce que nous disons du centre de similitude S s'entend évidemment du second centre de similitude S'.
s RELATIVES A DEHS CERCLES. ^65
735. Le rapport d'hoinologie de deux cercles est égal, avec un signe contraire, à leur rapport de similitude.
Soit ^ le point où la droite S m, M [fig- iS^) rencontre i'axe radical ou axe d'homologie ; on a
La constante À est ce que nous avons appelé le coefficient o\\ rapport d'homologie des deux figures (530).
Soient E, eles points appartenant aux polaires du point S dans les deux cercles ; ces points sont homologues par rapport au centre de similitude S, et l'on a
