II. — De la Géométrie au moyen âge et chez les modernes

Dans l'état actuel de nos connaissances historiques, nous jjourrions passer rapidement de la Géométrie des Grecs aux temps modernes. Toutefois, nous devons payer un juste tribut de reconnaissance aux Arabes, qui, après le déclin de l'école d'Alexandrie et quand l'Occident était plongé pour longtemps encore dans la barbarie et l'ignorance, ont recueilli avec ardeur et inielligence les débris des sciences grecques et les connaissances orientales, qu'ils nous ont transmises vers le xii' siècle. Leurs ouvrages ont été le modèle de tous les ouvrages européens depuis cette époque et longtemps encore après le xv^ siècle, qui marque la renaissance des lettres et de la civilisation en Europe.

Mais ce n'est pas toujours dans leur état de pureté et d'abstraction que les Mathématiques grecques nous ont été transmises par les Arabes. Ceux-ci n'avaient point recueilli les seuls ouvrages grecs; ils avaient puisé à un autre foyer de lumières, a la source orientale ; leurs connaissances ont été un mélange des connaissances grecques et des connaissances hindoues, qui avaient leur caractère particulier. Les Grecs étaient surtout géomètres; ce n'est que très tard que l'on trouve chez eux le Traité d'Algèbre de Dioplianie. Leur Géométrie était pure, sans mélange de calcul, et leur goût pour cette partie fondamentale des sciences mathématiques se manifeste non-seulement dans les ouvrages d'Euclide, d'Archimède, d'Apollonius, mais encore, comme je l'ai dit ci-dessus, dans leurs ouvrages d'Astronomie; car tout y est géométrique, et les Tables des mouvements célestes ne sont elles-mêmes que l'expression numérique de constructions géométriques. Chez les Hindous, au contraire, et chez les Persans, l'Algèbre paraît être la science la plus cultivée; les théories algébriques s'y trouvent dans une perfection surprenante qui les distingue des méthodes de Diopbante; enfin le génie du calcul se trouve même dans leur Géométrie ('), et je crois pouvoir dire aussi dans leur Astronomie. Les Arabes ont recueilli avec le même soin et la même avidité toutes ces connaissances d'origine différente, et leurs Ouvrages ont porté l'empreinte de ces éléments divers, qui, en réagissant les uns sur les autres, enlevaient aux différentes parties de la Science leur pureté naturelle.

C'est dans cet état que les Arabes nous ont transmis leurs connaissances; aussi ne trouve-t-on pas dans nos ouvrages du svi° siècle la distinction que les Grecs avaient établie entre les différentes parties des Mathéma-

56 î DISCOURS.

tiques ; au contraire, toutes sont remues el confondues, pelé me!e pour ainsi dire, dans le même livre; l'Algèbre en est li piitie pimcipalc et y fait une sorte d'introduction à la Géométrie. Dans celle ci, la paitie pratique, que les Grecs appelaient la Géodésie, se tiouve melee aux Eléments et y tient la plus grande place. Enfin les propositions de Geometiie n'ont plus le caractère abstrait de la Géométrie grecque c est presque toujoiu-s sur des données numériques qu'elles sont demontiees

Que l'on ne croie pas que mes obseivations impliquent m la moindre critique : les Arabes ont fait ce que, dans leur bnll mie mais trop courte carrière scientifique, on pouvait ligitimement attendre deux, et nous n'avons qu'un regret à exprimer : cest que leuis ou\i ij^es ne nous soient encore connus que ti-ès imparfaitement Au xii" siècle ce sont les ouvrages élémentaires dans chaque partie que les [laducteuis nous ont transmis : plusieurs raisons expliquent ce choix ntturel Depuis, cet amour désintéressé des sciences qui avait conduit chez les Musulmans Adelard de Bath, aodolphe de Bruges, Gérard de Crémone Leonaid da Pise s'est éteint, et les modernes, confiants sans doute dans leui s propies foi ces et leurs grandes découvertes, ont négligé d'explorer les sources arabes, bien qu'on pût espérer d'y trouver tout à la fois d'utiles documents sur des ouvrages grecs qui ne nous sont point parvenus et sur les anciennes connaissances orientales, telles que l'Astronomie indienne et chaldéenne, dont l'histoire est encore si obscure. Il faut espérer que ces sources ai-abes, si riches et aujourd'hui faciles à explorer, même sans aller au loin, ne lai-deront pas ;i piquer vivement la curiosité et à esciter le zèîe des érudits et des orientalistes. Déjà ce sujet de recherches a fixé l'attention de M. le Ministre de l'Instruction publique; l'Europe savante lui saura gré de cette sollicitude éclairée.

A l'état de confusion qui caractérise les ouvrages du xvi' siècle, a bientôt succédé une rénovation générale des sciences mathématiques, qui leur a donné, avec le caractèie d'abstraction et de généralité qui leur convient, des ressources puissantes dont les Grecs n'avaient point eu l'idée, Viète, Descartes et Fermât sont les premiers et les principaux auteurs de cette grande révolution,

L'Algèbre, avons-nous dit, était fort cultivée à l'imitation des Arabes; plusieurs géomètres itahens, Scipiou Ferro, Cai-dan, Tartalea, Eervari y firent même des progrès notables en résolvant les équations du ti'oisième et du quatrième degré; mais la constitution de cet art le rendait peu susceptible de plus grands développements et d'applications bien importantes. En effet, les opérations alors ne s'y faisaient que sur des nombres; l'inconnue seule et ses puissances étaient représentées par des signes ( des mots ou des lettres), comme dans Diophante et chez les Arabes; on ne figurait point

d'op (.'ration s sur ces signes eux-iiiÈnies : le produit de (!eu\ (juini 1 s ex-pii raées par des lettres était i-epresenté par une ti-oisième lettie

On conçoit que cet état restreint et d'imperfection ne constituait p is la science algébrique de nos jours, dont la puissance réside dans res combi naisons des signes eux-mêmes, qui suppléent au raisonnement d intuition et conduisent par une voie mystérieuse aux résultats désii es

Ce fut Viète qui créa cette science des symboles ei appiit à les soumeltie à toutes les opérations que l'on était accoutumé d'exécutei sur des nombies C'est cette idée féconde qui a fait de l'Algèbre un instrament univeisel des Mathématiques. Viète avait appelé cette science, qu'il cieiit, logistique spécieuse ou calcul des sfinbolen [species], par opposition ■y U Iigistique numérique , et il la regardait comme l'introduction i 1 art iinah tique des anciens, c'est-à-dire i l'art de résoudre les problèmes niillun non problema soleere. En effet, elle facilitait merveilleusement la misi. en pri tique de la méthode analytique de Platon, puisqu'elle [leimettut de faire indistinctement, sur les quantités connues et inconnues, les mêmes optntions arithmétiques, et d'introduire toutes ces quantités lu mcme titre dans les équations et dans le raisonnement (').

Mais, par la raison que cette algèbre ou logistique spéi.ieuse di venait l'instrument propre à la marche analytique, les géomètres fnt fini pu lap peler elle-même analyse. Voilà comment ce terme analyse i clnnge de sens et signifie aujourd'hui l'emploi du calcul algébrique

Pli une conséquence natuielle et sins avon egird t h distinction des deux méthodes obseivees pai les Giecs, on i appelé exclusivement ij nthcse h GeometiiP cultivée à h maniète des anciens patce qu on y laisonne diiectement sui les piopiietes des lijuieo sins fane usage des notations ei dea ti insfjimitions il(,ebiiques

Cependint le teime analyse s emploie encoie en Mathématiques, dans un lutre sens qui tout en se rittichint, comme 1 analyse de Victe, à la signification primitive de ce mot, est piecisement I opposé de cette analyse moderne ou logistique spécieuse Je veux parlei de 1 acception C' sa\oir que 1 analyse est la resolution ou decomposil on d'une chose e parties elemcntaiies et u3nstitutives opeiaiion qui implique un exame tentif de la chose consideiee en elle-même et de toutes ses propriétés (■

( j ^ ir ( o / re e d des ei ces lei Aia l t / t. XIII, p. 487-54 ot eoi-626; anuée i84i.

(') o C'est dana l'atleiilion que l'on fait a ce qu'il y que l'on veut résoudrai que consiste piincipalemeiit Van de cet examen beaucoup de vérités qu i nous puissent ir que nous cherehons. » (Armiuld, tonique ds Port-Umnl

Prise Jans cette acception générale, Vanaljse, unie à la synthèse, forme la méthode de recherche et d'invention dans toutes les branches des connaissances humaines, en Mathématiques comme dans les sciences physiques et philosophiques.

Tel est le sens que M. Poinsot, dont les pensées sont toujours d'une justesse et d'une lucidité parfaites, attache au mol analyse en Mathématiques. Après avoir dit que c'est improprement qu'on appelle analyse la méthode du pur calcul, ce célèbre géomètre ajoute : a La vraie analyse est dans l'esamen attenlîf du problème à résoudre et dans ces premiers raisonnements qu'on fait pour le mettre en équations. Transformer ensuite ces équations, c'est-à-dire les combiner ensemble, ou en poser d'auli-es évidentes que l'on combine avec elles, n'est au fond que de la synthèse; à moins que l'idée de chaque transformation ne nous soit donne'e par quelque vue nouvelle de l'esprit ou quelque nouveau raisonnement, ce qui nous fait rentrer dans la véritable analyse. Hors de cette voie lumineuse il n'y a donc plus A'analyse, mais une obscure synthèse de formules algébriques, que l'on pose, pour ainsi dire, l'une sur l'autre et sans trop prévoir ce que pourra donner cette combinaison. Voilà les idées nettes qu'il faut attacher aux mots, et c'est an fond ce que tout le monde parait sentir, puisqu'on dit très-bien une heureuse transformation, et qu'on ne dit point un licuivu.r. raisonnement ni «ne heureuse analyse ( ' ) . "

Cette méthode analytique est celle que prescrit Descartes dans plusieurs passages de ses Œuvres, comme quand il dit : " Il faut ramener graduellement tes propositions embarrassées et obscures à fie plus simples, et ensuite partir de l'intuition de ces dernières pour arrifer, par les mêmes degi-és, à

(') Voir Théorie nowelU Je la Rotadoa des corps, pti^e l'i. On lit encore dans cet Ouvrage ai remnrquable ;

« ... Ce n'est donc point dnns le calcul que réside cet nrt qui nous fnil découvrii', mais dans cette considération attentive des choses, où l'esprit cherclie svant tout à s'en faire une idée, en essayant, par l'analyse proprement dite, de les décomposer en d'antres plus simples, afin de les revoir ensuite comme si elles étaient formées par la réunion do cas choses simples dont il a une pleine connaissance. Ce n'est pas que les choses soient composées de celte manière, mais c'est notre seule manière de les voir, do nous en faire une Idée, et partant de les connaître. Ainsi notre vraie méthode n'est que cet heureux mélange de l'analyse et de la sj-nikèse, où le calcul n'est employé que comme un instrument : instrument précieux et nécessaire sans douta, parce qu'il ussure et facilite notre marche, mais qui n'a par lui-même aucune vertu propre, qui ne dirige point l'esprit, mais que l'esprit doit diriger comme tout autre instrument. » (P. 78.)

(') Règles pour la direction de l'esprit. Règle cinquième.

Descartes ajoute à l'énoncé de Cette règle des développements qui en montrent la grande imporlanee.

■ C'est en ce seul point, dit-il, que consiste la pcrfectiin delà méthode, et celte

Dans les ouvrages des anciens, en {jéiiéral, les théorèmes sont pai'faîtement distincts et l'énoncé de chacun précède sa démonstration, de sorte qu'il reste peu de traces de la marche d'invention que l'autewr a suivie dans la recherche et la découverte de ses propositions; les fils qui primitivemenl ont uni ces différentes propositions dans leur ordre naturel de déduction sont l'ompus. C'est ainsi que sont composés les ouvrages d'Euclide, d'Archimède, d'Apollonius et, chez les modernes, le grand ouvrage des Principes de Newton. Pur cette raison, on a pensé parfois que ce mode d'exposition était plus conforme à l'esprit de la méthode synthêtique, qu'il la constituait même, et l'on en a conclu réciproquement qu'un ouvrage où les propositions sont exposées suivant l'ordre des déductions rationnelles qui y ont conduit l'auteur n'est ]iai synthétique, mais bien analytique [').

On peut dire que l'ouvrage est analytique, en donnant à ce mot sa significatbn commune; mais il est essentiellement synthétique aussi, puisque c'est par la combinaison de propositions déjà connues qu'on arrive successivement à des propositions nouvelles.

L'équivoque qui peut résulter de ces acceptions diverses des termes synthèse et analyse, en Mathématiques, cause souvent de l'embarras et de l'obscurité dans le langage. Il est à regretter que l'expression de logistique, employée si convenablement par Yiète et longtemps après lui, n'ait pas été

Il n'est nullement besoin de dire qu'il ne faut pas confondre VJnalyse géométrique âes anciens avec la Géométrie analytique des modernes; la première est pi-écisément ce que l'on appelle aujourd'hui synthèse, par opposition à la Géométrie analytique.

Cette Géométrie analytique, dont i! n'existe point de traces chez, les an-

rf-gle doit êtro gardée par celui qui veut entrer dans la Science, aussi fidèlement que le lîl de Thésée par calui qui voudrait pénétrer dans le labyrinthe. Biais ]jeaHCOU|i de gens au ne réiléchisscnt pas à ce qu'elle enseigne, ou l'ignoroitt cani platement, ou présumepl qu'ils u'eu ont pas besoin; Ht souvent ils ai p

diiTicilesuvec si peu d'ordre, qu'ils resseniblent ii celu d d

le faite d'un édifice élevé, soit en néBliBoant les deg q se

s'apercevant pas qu'ils esisfenl. Ainsi font tous les g q

espèrent pouvoir

les elTeU. Ainsi foj

la Mécanique sai

is savoir la Phys

ique et fabriquent

et la plupart d<

3S philosophes.

qui, négligeant Te

sortirs de leur ci

jFveau comme M

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(■) CaoDîAs: .

On a donné le i

nom de mélliode al,

gnant, l'ordre m

,«me de l'invent

ion; et la méthode

ciens, est la grande conception de Descartes; elle a bientôt changé lu face des Sciences mathématiques et peut être regardée encore aujourd'hui comme l'invention qui a !e plus contj-ibué à leurs progrès. C'est l'art de représenter les lignes et les surfaces courbes par des équations algeTjriques : application magnifique de l'instrument analytique que Viète venait de créer, et qui ne doit pas être confondue avec le simple usage de l'Algèbre dans quelques questions de Géométrie.

Descartes intitula simplement Lu Géométrie le Livre où il exposa cette grande idée, dont il montra succinctement et avec clarté les conséquences.

Dans le développement de cette méthode se trouvent plusieurs inventions algébiiques, telles que la méthode si féconde des coefficients indéterminés et cette célèbre règle des signes de Descartes, ainsi qu'on l'appelle. Dans les inventions géométriques, on distingue le problème de mener les tangentes à toutes les courbes géométriques. Les anciens n'avaient mené les Umgentes qu'à quelques courbes et, pour chacune, par des considérations ])articu Hères qui ne pouvaient foire naître l'idée d'une solution générale applicable à toutes les courbes. Descartes donna de deux manières celte solution générale, du moins pour les courbes qu'il considéi'ait dans sa Géométrie, celles qu'on appelle indistinctement courbes géoméc/iques ou algé-

IjCs langenles forment l'élément dont la connaissance est le plus indis- |>ensable dans la théorie des courbes et celui qui devait conduire au calcul infinitésimal. Aussi Descartes, inspiré par son sens ]>rofondément mathématique, dit, dans un passage de ses Lettres, que c'est le problème « qu'il a le plus désiré de connaître ".

On sait que la Géométrie, le Traité des météores et la Dioptrique parurent ensemble, en 163^, à la suite du Discours de la méthode, et comme simples essais des règles que le grand philosophe venait de donnei' pour la recherche de la vérité.

Dans le même temps. Fermât, l'un des plus puissants génies que nous présente l'histoire des productions de l'esprit humain, i-ésolut aussi le problème général des tangentes. Sa solution, dont le principe s'étend aux courbes mécaniques ou transcendantes comme aux courbes géométriques de Descartes, reposait sur des considérations originales qui impliquaient le calcul de l'infini, et que les géomètres les plus illustres, d'Alemberl, Lagrange, Laplace, Fourier ('), ont regardées comme la véritable origine des méthodes infinitésimales, qui, un demi-siècle plus Lird, dans les mains de Leibnitz et de Newton, ont complété la grande œuvre de Descartes (').

(') Voir Jperçii histoiique,yi. G3.

(') On peut dim que Leibnilz lut-uiËtne n'eiU point contredit fej(igemeut,eai' on lit,

Discorns. 567

Fermât cultiva aussi Vanalyse géométrique et laissa, entre autres, un livre des Lieux plans, à l'instar d'Apollonius, un Traité du Contact des sphères, une courte Notice sur les Porismes, dont il promettait de rétablir la doctrine. Malheureusement, Fermât se bornait il communiquer à ses amis ses découvertes, sans vouloir les publier, et elles ne nous sont point toutes parvenues. Ce n'est pas ici le lieu de parler de ses admirables recherches sur la théorie des nombres, qui ont occupé depuis les plus grands géomètres,

Roherval, le rival de Descartes et l'émule de Fermât en plusieurs points, donna aussi une méthode générale des tangentes, fondée sur la composition des mouvements : principe excellent, mais dont l'application n'était point aussi commune que celle des méthodes de Descartes et de Fermât, parce que la manière dont on considère, en général, la génération des courbes ne s'y prétait pas. Rober val donna, sous le titre de Traité des Indivisibles, une méthode généi'ale pour le calcul des grandeurs curvilignes, la détermination des centres de gravité, etc., méthode qu'il dit avoir puisée dans une lecture attentive des œuvres d'Archimèdc et qui était un acheminement naturel vers les nouveaux calculs. Car, il faut le remarquer, la métaphysique de ces méthodes de transition était la même que dans les méthodes infinitésimales proprement dites; le grand avantage de celles-ci lut dans l'algorithme imaginé par Leibnitz, Roberval, ayant tardé h publier sa métlwde, dont il faisait usage en secret dans les luttes difficiles et passionnées oà il se trouvait engagé, se laissa devancer par Cavalieri, dont la Méthode des Indivisibles eut une grande célébrité et d'illustres sectateurs, Pascal, Torricelli, Schooten, etc.

On a de Cavalieri divers autres ouvrages, notamment ses E^ercitationes geomeCriccE, en six livres, dont le dernier contient de nombreuses ques-

dansune de sos Lettres it Wallis, ce passage où respire la sincérité qui eoayenuit k son t;rand esiirit, a sa noble intelligence: QuodCalcutum differentialem allinel, fateor multa eieue communia cura iis qiUEat Tibi etYEiwyiK) aliisqiie,imojamipsi Archlmedl erant

juœ antea etiam lummis Geoinetris clausavidebantiir, Hugenio ipso id tignoscente [*). — Wallis lui répond : Qitod tiius Cakuliis iUJerentiaUs multa kn-bel cuira aliorum semis commania, etiam ipsius Archimedis ; tu {pro candore tuo) libère profiteris ; non lameii est iode minus tescimandus, Nam multa siiiit, quorum prima fundamenta fuerint Yeieribas non. igiiota; ita tamcn intricata et diffieultatis pleita, ut siiit ea {nostra œtate) reddita mullo dilueidiora et usibus epiiora {'*).

lions sur cette autre partie de lu Géométrie que nous avons appelée ï'A/in-

lyse géométrique des anciens.

Pascal, dont le génie géométrique est proverbial, enrichît, dans sa tiiip courte carrière, toutes les parties des Mathématiques. La pénétration avec laquelle il appliqua la méthode des indivisibles aux questions les plus difficiles le fît toucher de près au Calcul intégral. Il sut découvrir de nombreuses propriétés de la cyclolde, cette courbe merveilleuse qui occupait alors tous les esprits.

Sa supériorité ne fut pas moindre dans cette autre partie qu'on pourrait appeler la Géométrie d'JpoUortius. La généralité de vues qu'il y apportait ne se ti-ouvait encore que dans les conceptions analytiques de Vièie et de Descartes, dont il n'eut pas besoin de se servir.

Malheureusement il ne nous reste que quelques indications bien restreintes sur cette partie de ses travaux.

Le plus important, celui qui du moins a eu le plus de retentissement, fut son Traité des Coniques, dans lequel il avait suivi une méthode nouvelle, d'une facilité et d'une fécondité alors inconnues, et telles, comme nous l'apprend le P. Mersenne, qu'un seul théorème se prétait à quatre cents corollaires.

Cet ouvrage et ceux de Desargues, qui l'ont précédé de très-peu de temps, donnaient a l'Analyse géométrique des anciens une marche plus rapide et plus hardie; ils marquent l'origine d'une partie de nos méthodes du XIX* siècle : je vais donc m'y arrêter quelques instants.

Les anciens avaient considéré les sections coniques dans le cône ou dans le solide, suivant leur expression, c'est-à-dire qu'ils avaient connu ces courbes en coupant par un plan un cône à base circulaire. Des propriétés du cercle qui forme celte base ils avaient conclu une propriété des sections coniques, savoir que l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre l'abscisse comptée à partir d'un sommet de la courbe et l'ordonnée d'une certaine droite fixe menée par l'autre sommet. De cette relation, peu. différente de celle que nous appelons, en Géométrie analytique, Y équation de la courbe, ils déduisaient, par la seule force du raisonnement, les propriétés des sections coniques, sans se servir davantage du cône dans lequel ils avaient d'abord considéré ces courbes.

Desargues, géomètre actif et pénétrant, qui cultivait toutes les parties des Sciences et y apportait un esprit de généralisation rare, conçut l'idée d'appliquer aux coniques les propriétés mêmes du cercle qui servait de hase au cône, et de simplifier par là la recherche et la démonstration de ces propriétés, souvent pénibles dans l'ouvrage d'Apollonius. Il reconnut aussi que par ce moyen les démonstrations relatives à l'une des trois courbes s'appliquent d'elles-mêmes aux deux autres, malgré leurs différences de figures :

DiîcorRS. 569

idée profonde et heureuse, car les anciens distinguaient essentiellement les trois courbes et employaient des démonstrations différentes. Enfin il découvrit, entre autres, une Itelle et féconde propriété de ces courbes, celle qu'il appela Involation de sis: points, ]iroposiiion susceptible de prendre un grand développement dans certaines théories de la Géométrie moderne.

C'est la méthode de Desargues que Pascal a suivie dans plusieurs de ses recherches, notamment dans son Traité des Coniques^ Il ne nous est parvenu, de ce célèbre Traité, qu'une notice tvès-succincte de Leibnitz, qui nous fait connaître les titres des sis parties qui le composaient. Mais cet ouvrage avait été précédé d'un premier jet, sous le litre d'Essai pour les coniques, qui fait partie des deux volumes consacrés, dans l'édition de Bossut, aux recherches mathématiques de Pascal. C'est dans cet Essai que se trouve le fameux théorème sur l'hexagone inscrit, que Pascal appelait licxo gramme mystique. Ce théorème exprime une proiiricté simple et fort belle de six points quelconques pris sur une conique. Cinq points suffisent pour déterminer la courbe : on conçoit dès lors que cette propriété, relative à un sixième point, servait à décrire la courbe et la définissait complètement, qu'elle devait donc avoir des conséquences innombrables comme Vëquation dans le système de Descartes.

Dans cet opuscule, Pascal reconnaît ce qu'il doit à Desargues ; il dit, au sujet du théorème de l'involution de six points ; « Sous démontrerons la propriété suivante, dont le premier inventeur est M, Desargues, Lyonnais, un des grands esprits de ce temps et des plus versés aux Mathématiques, et entre autres aux coniques, dont les écrits sur cette matière, quoique en jielit nombre, en ont donné un ample témoignage à ceux qui auront voulu en recevoir l'intelligence. Je veux bien avouer que je dois le peu que j'ai trouvé sur cette matière à ses écrits et que j'ai tàclié d'imiter, autant qu'il m'a été possible, sa méthode sur ce sujet.,.. La propriété merveilleuse dont est question est telle.... »

Desargues ne se borna pas aux spéculations des Mathénntiquts puies, il traita de leurs applications aux arts. 11 écrivit sur la pei-spective, la gnomonique et la coupe des pierres; et, en apportant dans toutes ces parties la même supériorité de vues et les mêmes principes de généralisation, il les traita par des méthodes rigoureuses et mathématiques. C'était une innovation véritable, car une partie des règles ou des pratiques que l'on suivait dans ces arts étaient sans base réelle et souvent fautives. Aussi Desargues eut de nombreux détracteurs; la routine et l'ignorance disputèrent le terrain pied à pied, et il fut enjoint au célèbre graveur Bosse de cesser d'enseigner les pratiques de la perspective du sieur Desargues dans ses leçons à l'Académie de peinture. Pour la coupe des pierres, Desargues offrit de défendre la bonté de ses méthodes contre les attaques de l'architecte Cura-

Sjo DISCOURS.

belle par un prari de looooo livres ; le défi fui accejité pour loo pistoles; mais il n'eut pas de suite, parce qu'on ne put s'entendre sur le clioix des juges du débat. « Desargues, nous apprend Curabelle, voulait s'en rapporter au dire d'excellents géomètres el autres personnes savantes et désintéressées, et, en tant qu'il serait de besoin aussi, des jurés-maçoos de Paris : ce qui fait voir évidemment, ajoute Curabelle, que ledit Desargues n'a aucune vérité h déduire qui soit soutenable, puisqu'il ne veut pas des vrais experts pour les matières en conteste; il ne demande que des gens de sa cabale, comme des purs géomètres, lesquels n'ont jamais eu aucune expérience des règles des pratiques en question, et notamment de la coupe des pierres en l'arclii lecture, qui est la plus grande partie des œuvres de question, et partant ils ne peuvent parler des subjections que les divers cas en-

J'ai cité ces détails, que j'extrais d'une brochure rare et peu connue, de Curabelle, [wrce que rien ne pourrait mieux faire apprécier quel était l'état des arts de construction il y a deux siècles, et qu'ils prouvent bien que ce fut Desargues qui eut le mérite d'introduire, notamment dans la coupe des pierres, les jirincipes rigoureux de la Géométrie à la place des pratiques empiriques qu'on y suivait alors.

DesargTjes, malgré divers passages des Lettres de Descartes et de Fermât, qui s'accordent à le montrer comme un géomètre d'un mérite rare ( ' ), a été fort négligé par les biographes et les historiens des Mathématiques. M. Poncelet, en signalant le premier l'esprit généralisateur qui domine dans toutes ses recherches et les services dont les méthodes de la Géométrie moderne et les arts de construction lui sont redevables, l'a appelé le Monge de son siccle ( ^ ) . Nous partageons pleinement l'opinion de ce juge si compétent ( M .

{ ') Voir aperçu historique, etc., p. 74-88 et 33i-33i,

(') Traité des propriétés projectiles des figures. Introduction, p. 'sxsviii.

(.') L'éci'it de Curabelle, dont noua avons élirait quelques détails ci-dessiis, est intitulé : faiblesse piiorable du S' G. Desargues employée contre VEramen fait de ses OEiii-res, par I. Curabelle. Imprimé à Paris, ce i6 juin 1644 ; 9 pages in-4".

Cet écrit faisait suite, comme le titre l'indique, a une publication du même Curabelle, intitulée Examen des OEuvres du S* Desargues, pur I. Curabelle ; à Paris, 1644, 81 pages in-4'>, lequel Examen se rapporte aux écrits de Desargues sur la coupe des pierres, la perspective et les quadrants. L'auteur, quoiqne juge peu compétent en fait de questions mathématiques, ne manquait pas cependant d'instruction à d'nutres égards.

Un examen critique du Livre des quadrants avait déjà paru en 164I' L'auteur, praticien, probablement, comme Curabelle, compare Desai^es h ces • demi-safants, profiiiciaux, contemplatifs, non praticiens et peu communicables 0.

Si l'on considère qu'au coiilraiie Deacarles, Fermât, Pascal s'accordoient it regarder

Je SUIS obljpP de pisset loi sous silence les tnviiix de dneis },eoiiieties (jiii tiennent une plice distinguée dans 1 histoire de la Science car ce xvii' siccle a etc peut-elre le plus fécond en m tliematiciens et, Lien que l'Analyse de Viete et h Géométrie de Descaites lient enleie de nombieux disciple aiit anciennes meth «les ce s ècle marque une époque des plus glorieuses poui cette pirtie même des Alathemitiques

Il me suffira de citer ke] 1er, Huygens et Mewtoii, d mt les ti ■* jq^ J rairables ( nt eleve le plus 1 el édifice dont t. honoie 1 espiit humain

Kej 1er donna une e\tension consideiable aux belles spécula I lo ns d Aitl mède en calculant les volumes d'un grand nombre de solides dont les sphéroïdes et les cnnoïdes du ge'omèti'e grec n'étaient que des cas particuliers. Sa méthode, fondée sur l'idée de l'infini, ouvrait un nouveau champ de recherches et conduisit bientôt à celle des indivisibles.

Avec les seules ressources mathématiques dont se servait Ptole'niée, et à force de méditations et de calculs longtemps infructueux, Kepler parvint à la connaissance des véritables lois du mouvement des corps célestes, découvertes sublimes qui inspirent pour le génie de l'auteur une admiration égale à l'étendue de leurs conséquences.

Huygens, quoiqu'il sût à fond la méthode de Descartes, resta fidèle à celle des anciens, où son génie sut triompher des plus grandes difficultés, et, parfois même, de celles que Leibnitz et Jacques Bernoulli avaient pu croire être réservées aux méthodes infinitésimales.

Aussi Newton, qui lui donnait le surnom de grand, ie proclamait « le plus excellent imitateur des anciens, admirables, suivant lui, par leur goût et j)ar la forme de leurs démonstrations >• . Le sentiment de Leibnilz, exprimé dans plusieurs passages de ses œuvres, n'est pas moins explicite. Qu'il nous suffise de citer ces simples paroles : Hugeniiis nulli mathematicorum noslri sceeuli secundus,...

Nous ne rappellerons pas ici tous les résultats importants qu'on doit à la sagacité d'Huygens; ils s'étendent sur toutes les parties des Mathématiques et sur les sciences naturelles qui en dépendent ; la Physique, l'Astronomie, la-Mécanique. Bornons-nous à rappeler que, dans le seul Traité De horologio oscillatoiio, composé par Huygens quand il résidait en France, se trouvent cette théorie des développées, l'une des plus belles découvertes de la Géométrie moderne, et les lois de la force centrifuge, deux choses dont la con-

Desarguoa oommo iin Béomètro d'un esprit oriisinni et d'un ïr-ii mer

d'hui In valeur des pratiques que lui indiquait ia iiaie théorie es)

comprendra juBqa'à quel point peuvent différer, dans leurs jugements sur les choses

qui tiennent n la Science, ceux qui l'ont étudiée au point de vue de ses applications

pratiques, atceuï qui la cultivent elen ont une connaissance appiofondie.

5;^ piscotns.

naissaQce était nécessaire à Newton pour e ni reprendre son grand Ouvrage

des Principes mathématiques de la philosophie naturelle.

C'est dans ce Livre impérissable que Newton a posé le principe de la gravitation universelle, qui comprend dans ses conséquences les lois de Kepler et toute la dynamique des corps célestes.

Toutefois, quelque éclat que cette grande découverte ait répandu dans le monde sur le nom de Newton, ce n'est pas cette découverte elle-même que les géomètres ont le plus admirée, et qui atteste le plus le génie mathématique de l'auteur. L'idée d'une attraction mutuelle des corps était alors dans tous les esprits; Kepler, Bacon, Fermât, Roberval, Hevelius, Hook l'avaient émise et en avaient entrevu les conséquences. La loi relative ans distances était inconnue, il est vrai, et fut la première de'couverte de Newton; mais elle ne pouvait rester longtemps cachée. Aussi, ce qu'il y a de plus digne d'admiration dans Newton et ce qni eût pu rester longtemps à faire dans d'autres mains, ce sont les développements m a thématiques qu'il a su donner à ce principe pour en tirer la connaissance des lois dynamiques et géométi'iques du monvemeni des corps célestes ; son plus beau titre de gloire, c'est d'avoir élevé ce beau monument de son génie par les méthodes et avec les seules ressources de la Géométrie des anciens,

Ptoléraée, avons-nous dit, avait fondé une théorie astronomique sur le principe unique de mouvements circulaires et uniformes, mais sans faire acception des causes de ces mouvements ou des forces qui les produisent.

L'Ouvrage de Newton était fondé aussi sur na principe unique, mais ce principe était vrai et fécond ; il comprenait tout. Les conséquences qu'il s'agissait d'en tirer embrassaient et les mouvements des corps célesles et les forces qui les animent.

Toutefois, le Livre de Newton et l'AliDageste ont quelque chose de commun : c'est la méthode, qui est la même dans les deux ouvrages, car Newton, malgré ses brillantes découvertes dans les nouveaux calculs, avait conservé une telle estime pour la Géométrie des anciens, qu'il la suivit dans tout le cours de sou grand ouvrage, opposant ainsi aux futurs incrédules des l>reuves incontestables des ressources que cette Géométrie pouvait ofiVir dans les spécubitions les plus relevées. On peut croire que Newton eût craint de rester au-dessous d'Huygens, dont il admirait tant le génie géométrique, s'il n'eût pas montré qu'il savait, comme lui, se servir de cette méthode naturelle et lumineuse des Mathématiques anciennes [ ' ),

Non-seulement le Livre des Principes atteste toute l'estime de Newton pour cette méthode, mais l'illustre auteur ne négligeait aucune occasion de

(M Cttte rcOexion o été faite par M. lu baron Maurice, dans une esccllente Notice

manifester h ce sujet ses sentiments. Pemberton, qui vécut dans son intimité, nous rapporte qu'il se reprochait de n'avoir point encore assez cultivé cette Géométrie de l'école grecque ; qu'il approuvait l'entreprise de Hugue de Omérique de rétablir l'ancienne analyse, et qu'on l'entendait souvent faire de grands éloges du Traité De sectione ralioiiis, qui, suivant lui, développait mieux la nature de cette analyse qu'aucun autre ouvrage de l'antiquite

On ne peut pailei du ^nût de ^ewton pcui h Geimetiie des iniiens vins nommer aussitôt Halley et Maciiurm, pifmoteui'^ eo ments de tes belles méthodes Hallev, qui joigmit 1 h science et a i haoïleté du {,rand istionome une érudition piofonde et li connaissance des Matheniitiquts anciennes contiibm puiawmment à en repindie le goût et a en montier lusigeparli leproduition dans de m isnifiqnes éditions giecqucs tt latines des ouvi iges anciens, et pii ses propres tiavaux

Il suffit, pour appieciei I enthousiasme que !ui inspii ait la beauté de ces méthodes et la foi qu'il avait dans leur puissance et leur utilité, de se souvenir que son désir ardent de connaître le Traité de la Section de raison, qu'il venait de découvrir dans les manuscrits de la bibliothèque Bodléienne, le porta aussitôt, malgré ses grandes occupations astronomiques, à étudier l'arabe pour traduire et commenter bientôt Je livre précieux qui lui a dû le jour chez les modernes. C'est aussi après une révision sur un texte hébreu qu'il donna une nouvelle édition des Sphériques de Ménélaus.

Les recherches origiaales du grand astronome; sa méthode pour calculer les éléments paraboliques des comètes, méthode dont l'heureux usage lui permit de prédire pour la première fois le retour d'un de ces astres errants, et de les rattacher comme les planètes à noire système solaire ; le procédé qu'il indiqua pour faire servir les passages de Vénus à une détermination de la parallaxe du Soleil, plus exacte et plus sûre que celles qu'on avait obtenues jusqu'alors; ces recherches, dis-je, oïfi'ent, ainsi que le grand ouvrage de Newton, la preuve manifeste des ressources que renferment les méthodes de la pure Géométrie. Elles démontrent l'erreur où l'on est tombé quand, l'imagination remplie des merveilleux résultats de l'Analyse dans ses premiers développements, on a pensé que ces méthodes avaient peu de portée et qu'elles n'avaient plus de valeur que comme aliment offert à la curiosité et à l'esprit inquiet de l'antiquaire et de l'érudit. Kos spéculations actuelles se raient- elles d'un ordre plus relevé que celles de Kepler, de Huygens, de Newton, de Halley? Personne ne le dira. Il faut donc croire que la Géométrie, considérée dans ses développements et ses applications, sera, dans tous les temps, un noble et utile exercice de l'esprit.

Ah! combien est juste cette réflexion d'un homme éminent dont les lalents ont su faire servir tout à la fois les armes et

iï la défense de la patrie : « Lorsqu'on pense que c'est cette Géométrie qui fut si féconde entre les mains des Archimùde, des Hipiiarque, des Apollonius; qne c'est la seule qui fut connue des Neper, des Viète, des Fermât, des Descartes, des Galilée, des Pascal, des Iluygens, des Roberviil; que les Wewton, les Halley, les Muclaurin la cultivèrent avec une sovte de prédilection, on peut croire que cette Géométrie a ses avantages ( ' ) - »

Maclaurin fut un digue continuateur de Newton el par la nature des questions de pliilosophie naturelle qu'il traita, et en l'estant fidèle à la Géométrie des anciens.

Dans la célèbre question de l'attraction des ellipsoïdes, qui avait pris niissince dans le Livre des Principe' mais dont ïïewton n'avait traité que le

le 1 1 s s pie M cl n pa v nt j les seules essou ces de ce te m. tl ode à des résulta s j e 1 Analyse elle eme a ion^ten [ 1 u- s C e t [ our le i e n de ce te jues on q e M claurm cous de le [ m er ces ell pso des homof c ux j d nné 1 eu i 1 ne des j lus n [ n antes

theo e de 1 G on e e moder e qu en br sse les I ^nes de co bu e comme 1 1 j,f es ^eodés que de ces su faces et ont olfe t a 1 An ly e uq l uissant p nci] e de tr nsforn a ions

lUaclaur n cuit va uss I tl eo e des co bes pi 1 me I ode de De c tes dons Geo n t e o ^a j e et \ laG omet e pu e d ns son T te de cou bes lu i o e e o / e ou il fit co tr i ou la p emicie fo s de fo l belles i ro^ tes de ces courbes Ce deus. eme ou ^e ou la facilité el la brièveté des démonstrations s'unissent à la beauté des i-esultats, se rattache essentiellement aus méthodes de la Géométrie moderne, et y forme la base d'une théorie qui a déjà fixé l'attention de quelques géomètres et qui doit prendre une grande extension,

Après Maclaurin, on trouve encore Mathieu Stewart, qui essaya de traiter par la seule Géométrie quelques-unes des grandes questions du système du monde, telles que la distance du Soleil à la Terre, le problème des trois corps, etc.; mais les succès rapides de l'Analyse dans Jesraains des Bemoulii, de Clairaut, d'Eulej-, de d'Alembert, ôtaient toute opportunité à ces recherches, qui ne parurent plus offrir de chances de succès. Mathieu Stewart s'adonna aussi à YAnalfse géométrique des anciens, dans le but spéci;d d'en accroître les ressources. Dans le siècle précédent, les géomètres s'étiiient occupés plus particulièrement de rétablir les Traités sur lesquels Pappus nous avait laissé quelques données. Mathieu Stewart entra dans une voie nouvelle et fit un pas de plus; i! composa deux ouvrages qui n'étaient point l'iraitiition d'ouvrages grecs. L'un, intitulé Quelques théoi-èmes gêné-

raiix d'un grand usage dans les hautes Mathématiijues, l'enferme Ji! beaux théorèmes, dont une partie n'a pas encore été démontrée.

Dans le même temps, Robert Simson composait son eélèbre Traité des porismcs et restituait les Lieux plans et les deux livres de la Section déterminée d'Apollonins. Ce géomètre avait prépare une édition des Collections mathématiques de Pappus; il est à regretter qu'il ne l'ait pas mise au jour (■).

DeiJuis, c'est surtout en s'occupant de la doctrine des Porismes que les géomètres anglais ont suivi la forte impulsion que Newton et Haclaurin avaient donnée à la culture des méthodes anciennes.

L'un des derniers ouvrages de ce genre est un Mémoire de haute Géométrie, qu'on trouve dans les Transactions p/iilosopliiqiies de la Société royale de Londres, de 1 598. Le nom de l'aiuteur ne se lit peut-être pas sans quelque étonnement : c'est celui d'un illustre contemporain (lord Brougham), que des travaux fort différents ont porté depuis aux plus hautes dignités de l'Étal et à la première magistrature du parlement- Mais pendant ce temps, en France et en Allemagne, on cultivait rAaalyse de Descartes et le Calcul de Leibnilz, et l'on appliquait les ressources merveilleuses de ces puissantes méthodes à une foule de problètues nouveaux, et principalement au développement des grandes (piestions qu'avait posées ou fait naître l'ouvrage de Newton.

Cependant la Géométrie, cultivée h. la manière de Descartes, suivit le cours de ses progrès naturels. Après que Clairaut, à l'âge de seize ans, avait appliqué l'analyse infinitésimale aux ligues à double courbure, Euler créa la belle et importante théorie de la courbure des surfaces, qui prit bientôt une grande extension dans les ouvrages de Monge et de l'un de ses plus illustres disciples.

Euler, dont l'esprit éminemment fécond s'appliqua à toutes les parties des Mathématiques, enrichit les Éléments de la Géométrie du théorème qui établit une relation entre les nombres des faces, des sommets et des arêtes d'un polyèdre.

Ce théorème d'Euler et la belle théorie des polyèdres d'un ordre supérieur, de M. Poinsot, avaient conduit un jeune géomètre à deux Mémoires remarquables (^), qu'on ne peut se rappeler sans éprouver le regret que,

(') On BBitqiioM. Peyrard,à qui nous devons la Leilo édition des £/c;ne«» d'Euclide et des Œuvres d'Archimède, mnit prépai'é de pareilles traductions de plasieura .autres ouvrages anciens, notamment du grand Traité des ssctioni coniques d'Apollonius, Dinis que la mort l'a surpris avant qu'il edt achevé l'impression de cet ouvrage.

(') Rechercltes sur les polyèdres. Mémoires présentés à la première Classe de l'iiiblitut en iSii at iSia par M. Cauïby. (Voir Journal de VÉcole Poix technique, XVI- Cahier, p. eS-gS.)

i/6 »i SCO uns.

depuis, l'illustre auteur ait cons.ici'é exclusivement à l'Annlyse les

de son génie mathématique.

Nous ne devons point omettre) avant de clore cet aperçu des travaux qui ont précédé le six* siècle, V Introduction à l'analjie des lignes courbes, tle Cramer, qui a souvent servi de guiJe dans les apjilications de l'Analyse à cette vaste théorie des lignes courbes.

I!I. — De la Géométrie au xix.' siècle.

t du siècle présent, ont eu une lieuleuse influence sur la marche et les proyi-ès de la Géométrie sont, ù des titi'es différenls, ceux de Monge et de Carnot : cle Monge, la Géométrie descriptive et le Traité de V application de l' Analyse h la Géométrie; de Caniot, la Géométrie de position et la Théorie des transversales.

Ces ouvrages, en agrandissant les idées, en inspirant aux jeunes mathématiciens le goût des recherches de honne Géométrie, leur offraient des mélhodea et des ressources nouvelles.

La Géométrie descriptive a pour objet de représenter sur un plan, surf.ice à deux dimensions, les corps qui en ont trois, ou, en d'autres termes, de réunir dans une ligure plane tous les éléments nécessaires pour faire connaître la forme et la position, dans l'espace, d'une figure à ti'ois dimen-

Due conséquence de cette lepiesentition, c est que Ion exécutera sur cette figure plane elie-mème les opérations gcometi iques tepondant à celles que l'on aurait à faire sur la lijjUie i tiois dimensions

Sous ce point de vue généi tl on eoncc it que 1 1 Geo eli e descriptive a dû exister dans tous les temps Et en eifei c est pai des dessuis sur une aire plane que les appareilleui s et les charpentiei-s ont, dans t >us les temps, déterminé et indiqué les formes des coips a tiois dimensions quUs avaient à construire.

On possédait même plusieuis Tnites et de bons de Philibett Deloime de Mathuiin Jousse, du P, Denn deDeliiue sui 1 ut du trait appliqui. i h coupe des pierres et à 1 clnipente Desugues iviit f it un pas de plus en niontranl l'analogie qui existait entre des procèdes diveis et en lattach<ml ceux-ci à des principes communs En deiniei heu Fuziei, officiel du génie, qui appréciait le mente des ccnceptitns de Desargues, avait donne suite b. ses idées de genei disation et dabstiaction mi thématique, dans sjn Traité de Stéréotom e, ouvii^e ou se trouvent w^c les apphcations d 11 coupe des pierres, plusieurs questions sous une loi me abslraite, telles que le développement des suifices conques et cylindriques; la

théorie de riutersection do ces surfaces entre elles et a.vec la sphère; la manière de représenter une ligne ii double courbure par ses projections sur des plans, etc.

Toutefois, on n'avait pas songé à rattacher toutes ces questions à un petit nombre d'opérations abstraites et élémentaires, et surtout à présenter cellesci dans un traité spécial et sous un titre particulier qui leur donniÀt un caractère de doctrine indépendant des pratiques d'où il avait suffi de les faire sortir. C'est là ce que Monge a conçn et ce qu'il a exécuté avec im

C'est par deux projections des corps sur deux plans rectangulaires, dont on abat l'un sur l'autre pour ne former qu'une aire plane, que Monge a représenté mathématiquement les formes de l'étendue à trois dimensions, et c'est ce procédé qu'il a appelé Géométrie descripiice.

Les principes en sont très-simples et n'exigent guère que la connaissance du livre des plins de la Géométrie ordinaire.

Un petit nombre d'opérations faciles suffisent pour les applications de cette méthode à tous les arts de construction, de même, en quelque sorle, que les quatre règles de l'Arithmétique suffisent pour tous les calculs auxquels dcmnenl lieu les sciences mathématiques dans leurs applications.

Et, en effet, un procédé graphique, destiné au simple ouvrier comme à l'ingénieur, devait se réduire à un petit nombre de préceptes d'une application immédiate et toujours facile.

Auparavant on employait di's procédés divers, et, si l'on se servait aussi de projections, ce n'ét;iit pas dune minière unifiime les plans de pio jection étaient différents, et le dessin ne se piêtait pis \ une lectuie iacile et sûre, comme les épures de Mongf,

La Géométrie descriptive simplifiait dtno les opeiations graphiques ne cessaires aux constructeurs, elle en ficilitait 1 étude quelle mettait h h portée de tous, tandis que les ouvrages savants de Dclarue, de Fréziei', etc., aujcquels manquait cette base première, n'étaient accessibles qu'aux géomèlres et aux ingénieurs.

Mais une cause plus efficace sans doute que ces avantages réels, pour assurer le prompt succès du livre de Monge, fut ce décret puissant de la Convention, qui, "en créant, sous le nom A'Écoles Noi-mules, le grand établissement où vinrent se réunir douze cents jeunes gens, les plus capables, choisis sur tous les points de la France, ordonna que la Géométrie descriptive y fût enseignée, et en confia renseignement à l'enthousiasme et au patriotisme actif de Monge,

Voilà comment Monge n'eut point à éprouver les difficultés et les procès en parlement que la routine, l'ignorance et les intérêts lésés avaient suscités à Desargues, un siècle et demi auparavant.

CuASLES.-fleom, Sip. ^1

La Gi'omt'iiie desi.nptivf, in tiumeiit crcc pimcipil lient pour le besoin des artistes et des ingénieurs, de^iit Être utile aus'ii lux géomètres : elle formait un com]ilémenl de leur Géométrie pritn^ue , elle pouvait faciliter leiii's recherches tliéoiiiines, en leur donnant le moyen de représenter par une figure plane les corps qu'ils avaient i consideiei enfin, en familiari- Simt avec les f()rmes de certaines familles de surfaces, elle habituait l'esprit à les concevoir intellectuellement et développait l'intelligence. Aussi est-ce avec raison que, depuis quelques années, l'élude des principes de la Géométrie descriptive fait partie des cours de Matliématiques dans l'instruction secondaire.

Quant aux applications sjjéciales et les plus fréquentes de cet art, ce sont la perspective, la construclion des reliefs, l<) détermination des ombres, la gnomonique, la coujie des pieri'cs et la cliarpento.

Une foule d'autres travaux, tels que le ])ercement des routes et des canaux dans des pays accidentés, les constructions navales, la direction des mines souterraines, le défilement dans la science des fortifications, etc., sont encore du domaine de la Géométrie descriptive ( ' ).

Mais il ne faut pas perdre de vue que, dans toutes ces questions, la Géométrie descriptive n'es! toujouis qu'un instrument dont l'ingénieur se sert pour traduire sa jiensée et exécuter sur le papier les opérations que la science, je veux dire la Gcométiie générale, lui indique. La Géométrie descriptive exécute, mais elle ne crée pas. Si elle montre aux yeux Li courbe d 'in tel-section de deux surfaces, elle n'en fait point connaître les propriétés; elle ne saurait même indiquer, mathématiquement parlant, si cette courbe est plane ou à double courbure. Elle n'a point de méthodes pour ces recherches, qui sont exclusiverae7U du domaine de In Géométrie rationnelle (')-

('] Toutefois il couviiiiit d'iijoulur qu'il existe d'autres inclliodcs géiiéi'ulus, on petit (lira d'outros procodés dn Géométrie deserîpl'wc, dans lesquels on se sert d'ima seule ]irojoction, oHliogonato (lu prrBpGOlivc, et de quelque outre dojinde qui Eupplùe il I» secoudc projsclian. Lesofliciors du Qiiule, par ctomple, ia servent le plus souvent de la méthode des plans cotés, qui leur permet d'osécuter les mêmes opérations que par celle de Aloncfe, et qui leur oDi'e quelques avantages particuliers, à raison de In na-

( ') Ce passage a Ole le sujet do réfleiions epitiqucs de la part d'un géomètre qui a beaucoup écrit sur la Géomélrie descri|jtiïe. Dans iin de ses ouvrages, où il résont la question de recoiinaître si la courbe d'incerseetion de deux sur/aces esc plane ou à double courbure, il ajonte ces paroles ! o Les savants qui s'occupent de Géométrie pure disent que l'niia/jie peut seule résoudre imo semblable question et que la Géométrie descriptive n'a pas de métliodes pour des questions de ce genre ; ce qui précède leur prouvera, j'espère, qu'ils sont dans l'erreur. »

Je fais celte réflexion parce qu'on trouve, dans le livre do Moiifje, quelques passages qui ne sont pas de la Gvométrie descripthe et qui pouiTaienl induire en erreur les jeunes géomètres sur la destination et le caractère scientifique de cette méthode graphique.

Ainsi, Monge démonti'e deux propositions de Géométrie pliine qui resultent naturellement de la coosidératioa de figures h trois dimensions, savoir la propriété andenne des coniques, sur laquelle repose la théorie des polaires [ '), puis ce beau the'orème de d'Akmbert, que les tangentes communes à trois cercles, pris deux à deux, ont leure points de concours situés, trois à trois, en ligne droite. Ces exemptes, on le conçoit, ne constituent point de Lt Géométrie descripthe; on n'y fait pas mcnic usage des projections : ils rentrent dans la Géométrie rationnelle.

Il en est de même des propriétés générales de l'étendue, relatives aux lignes à double courbure et aux lignes de courbure des surfaces cotirbes, que Monge a placées à la suite de sa Géométrie descriplii-e, en faveur « des professeurs, qui doivent être exercés à des considérations d'une généralité plus grande que celles qui forment l'objet ordinaire des études ». Ces ]>ropriétés fort belles des lignes et des surfaces courbes, placées dans un livre destiné à être très-répandu, ont contribué à développer le goût de ces spéculations d'un ordre supérieur, et, sous ce rapport, le livre de Monge a

pas rélléohE en écrivant dans son discours d'oiivertura la phposo suivante : La Géométrie descriptive... ne saurait indiquer, mathématiquement parlant, si cette coarbe (eoarbe intersection do deui aurfacos ) est plane ou à double courbure. Elle n'a point de méthodes pour ces rechere/ies, qui sont exclusivement du domaine de la Géométrie

Or, qu'on lise la solution de l'auteur, on i-econnatt aussitôt qu'ollo n'est pas aulre chose que la traduction, en Géomélrie descriptive, du procédé même qu'emploierait un ouvrier qui voudrait vérifier si TarètH tive qu'il vient de construii'o est plane ou a double courbure. Ca constructeur appliquerait tout simplement le plat de sa règle sur la courbe et verrait s'il y a partout coiticidence. Pour traduire ce procédé en Géométrie descriptive, on mène un plan par trois points de la courbei puis on projette cette courbe sur un plan perpendiculaire à celui-là, et l'on véi f pa l j la

projection coïncide avec la ligna de terre ou s'en écarte.

C'est précisément la le procédé que l'auteur indique dans son ou ^

Cet esampla d'une solution par la Géométrie descriptive mont e p l t ment que les usages de cette méthode graphique sont tels qua je l'ai dit, et j t fle a t 1 était besoin, toutes mes paroles.

(') Quand le sommet d'un angle circonscrit à une conique glUse ne d fixe,

la corde qui joint les deux points de contact des côtés de l' angle passe toujours par un même point fixe.

Ce Ihéorèma n'est pas dû à Monge, comme on l'écrit qualquefois. Il se trouve, avec d'autres propositions sur le même sujet, dans les ouvrages de la Hire, et postérieurement dans plusieurs autres Traités des Sections coniques. ( Voir Jjiercn historique, etc.,

encore atteint le but de l'illustre auteur. Mais elles n'ont rien de c avec les principes de la Géométrie descriptive, et elles rentrent exclusivement dans le domaine de la Géométrie générale.

Le grand Traité de \' Application de l'Analyse à la Géométrie a le même objet que la Géométrie de Descartes; il en est la continuation ; celle-ci roulait sur l'analyse des quantités finies, el le livre de Monge sur l'analyse des quanlite's infinitésimales. Euler avait déjà traité plusieurs de ces questions et donné son beau théorème sur les rayons de courbure des surfaces courbes. Monge les traita avec beaucoup plus d'extension et sous de nouveaux points de vue. Les rapports qu'O établit entre les équations aux différences partielles et certaines familles de surfaces offrent des exemples magnifiques des secours mutuels que peuvent et doivent se prêter la Géométrie et l'Analyse.

Les ouvrages de Carnot ont pour objet spécial l'extension de la Géométrie des anciens. lis font suite aux ouvrages de Robert Simson, Stewait, etc. ; mais ils sont empreints de cet espiit de facilite et de généralité que nous offrent les ouvrages de Pascal el de Desaigues, et ce caractère, qui leur est propre, a été dans l'intention de leur illustre auteur.

Dans le siècle dernier, R. Simson et Stevrart donnaient, à l'instar des anciens, autant de de'monstrations d'une pioposition que la figure i laquelle elle se rapportait présentait de formes différentes, à raison des positions relatives de ses diverses parties. Carnot s'attacha à prouver qu'une seule démonstration appliquée à un état assez général de la lîgure devait sufSre pour tous les autres cas, et il montra comment, par des changements de signes des termes dans les fomiutes démontrées par une figure, ces formules s'appliquaient à une autre figure ne différant de la première, comme nous l'avons dit, que par les positions relatives de certaines parties ( ' ) ! c'est ce qu'il appela le principe (le corrélation des figures.

Généralement on ne parvenait, en Géométrie pure, à la démonstration d'une proposition importante, qu'en s'élevant successivement des cas les plus simples à de plus composés. Les recherches de Vîète et de Fermai smles contacis des cercles et des sphères, le Traité des sections coniques de R. Simson et les ouvrages de Stevrart (') sont des exemples de cette marche lente et pénible. Dans le contact des sphères de Fermât, par

(') On voit qu'il ne s'agit pas ici du cas où certaines parties d'une figura qui ont servi pour la démonstration deTiennont imaginaires, auquel cas cette démonstration n'a plus lieu. Celle question des imaginaires est celle que M. Poncelet a rat' iBcliée au principe de conlinaiié, comme il a été dit dans la Pi'ofaec, p. xlï et sui-

{') Yoir j^perea historique, p. j

exemple, on ne parvient à déterminer une sphère tangente à quatre ;tutres qu'après avoir résolu qualorze questions préliiiiinaircs, dont la plnpurt sont des cas particuliers de la question principale. Carnot, au contraire, traite directement les questions dans leur sens le plus gen'éral, et la science gagne en facilité et en force, en même temps qu'en brièveté et en généralité.

Cette manière d'écrire la Géométrie fait le caractère de la Géométrie moderne, et ce sont les ouvrages de Caniot qui ont le plus contribué à la répandre {'),

Quant aux résultats qu'on y trouve, ils sont extrêmement nombreux. Une |Dartie roule sur diverses propriétés des sections coniques qu'on a reproduites souvent depuis, et que l'autcuv démonlre avec une facilité extrême.

On y distingue une belle propnété des courbes géométriques concernant les segments qu'une courbe de celle espèce fait sur les côtés d'un polygone quelconque, propriété qui est une extension d'un théorème de Newton et dont les géomètres ont fait depuis de nombreuses applications, notamment à la détermination générale des tangentes et des cercles oscillateurs de ces courbes géométriques.

Ces belles recherches se rapportent à une partie de l'ouvriige où Carnot propose divers systèmes de coordonnées, autres que celui de Descartes, pour représenter les courbes, et établit les relations qui ont lieu entre ces coordonnées, de manière à passer d'un système à un autre. On transforme ainsi les équations des courbes, et, comme l'équation dans chaque système exprime une propriété différente de la courbe, ces recherches facilitent et ont pour objet, au fond, l'étude des pi^opriétés des courbes. Elles nous paraissent rentrer essentiellement dans la doctrine des porismes d'Euclide.

On trouve dans la Géométrie de position des idées sur une science qui, selon Carnot, devrait tenir le milieu entre la Géométi'ie et la Mécanique, savoir celle des mouvements géométriques. Il appelle ainsi les déplacements que peuvent subir plusieurs corps sans se déformer par leur contact et en conservant entre eux des conditions prescrites, conditions géométriques et indépendantes des règles de la communicaiion des mouvements et de toutes considérations de forces et de Mécanique proprement dite. On voit que

( ' ) a La Géométrie de Posilion de Carnot n'aurait pna, sous le rapport de la métaphysique do la Science, le haut mérite que je lui ai attribué, qu'elle n'en serait pas moins l'arigino et la base des progrès que la Géométrie, cultivée à la manière des anciens, a faits depuis trente ans en France et en Allemagne. > (Arago, Biographie de Lazare-Nicoîas-MarguerUe Carsot, lue a Vlnsiitut en 1837. Paris, i85o, in-4=. Voir

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1806, pa

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célèbre a

été

omc M. Schumacher.

la Géomi

itried.,,.

c'est celte science que M. Ampère a proposée aussi sous le nom de Cinéma tique dans son Es^ai sur la philosophie des sciences. Carnot avait déjà émis ces idées en 1783, dans son Essai sur les machines.

Le temps ne me permet pas de pousser plus loin œtte étude du livre de Carnot; je me bornerai à dire que son titre, Géométrie de position, serai>portait au principe de la con-élation des figures, fondé sur la doctrine des quantités positives et négatives en Géométrie ( ' ) , et non à quelque méthode spéciale, telle que la Géométrie des indivisibles, la Géométrie analytique, la Géométrie descriptive, etc., ni à une partie restreinte de la science, comme 1j Géométrie de la règle, la Géométrie du compas, etc. La Géométrie de position n'était point autre chose que de la Géométrie générale traitée par les procédés ordinaires, mais avec talent et par des considérations faciles et fécondes.

La Théorie des transversales est un ensemble de propositions qui ex- ])riment toutes des rap|M>rts entre les segments que fait, sur un système de lignes droites, une ligne droite on courbe qu'on appelle transversale. Ces l'apports, exprimés en général par des équations à deux termes, jouissent de cette propriété qu'ils se conservent dans les projections, perspectives ou orthogonales, de la figure. I^es mêmes relations ont lieu aussi entre les sinus des angles des droites projetantes. Ce sont ces propriétés importantes qui font le caractère des prO])ositions que Carnot a réunies sous le titre de Théorie des transversales. Ces propositions peuvent être d'un usage très fréquent pour la démonstration d'une foule de théorèmes, particulièrement dans la théorie des sections coniques. Elles n'ont pas été inconnues des anciens ; on en trouve des traces éparses dans Pappus et chez quelques auteurs modernes ['); mais c'est Carnot qui a reconnu qu'elles étaient propres à former une véritable méthode de démonstration, et cette théorie, en effet, a pris de l'extension et est devenue d'un grand usage dans la Géométrie moderne.

Je me suis étendu sur les ouvrages de Monge et de Carnot, parce que je les regai-de comme ayant ranimé en France l'esprit des méthodes géométriques et ins|)iré les jeunes mathématiciens qui bientôt sont entrés dans

A leur tête se présentent MM. Ch. Dupin et Poucelet, d^nt les remarquables travaux attestent cette heureuse impulsion.

M. le baron Dupin, dans ses Développements de Géométrie, qu'il considère romme faisant suite aus ouvrages de Monge, a traité, par les seules res-

(') Foir laPréraee, p. vin.

('} Voir Aperçu histori(^ue, elc, p. SS-Sg et SDC-ag'i.

sources de la Géométrie ; la courbure des surfaces, iju'à l'Analyse. C'est dai théorie de* indicatrices.

i bien que par l'Analyse, la tb^orie générale de ; l'on avait supposée jusque-là n'être accessible 2 bel Ouvrage qu'on trouve cette importante n'est pas moins féconde en Géométrie ration-

nelle qu'en Géométrie descriptive. Ce volume et celui des Applications de Géométrie et de Mécanique ont servi utilement la Science, et par les belles théories qui s'y irouvent, et comme ayant donné aux jeunes géomètres une juste confiance dans les ressources que peuvent offrir ces méthodes.

La théorie des transversales est le principal fondement du grand Traité des propriétés projectives de M. Poncelet, où l'on trouve, avec une foule de résultats du plus haut intérÈt, cette méthode merveilleuse de la théorie des polaires, et le mode de déformation des figures à trois dimensions, analogue aux proce'dés de la perspective pour les figures planes ; méthodes qui, en donnant le moyen de créer à volonté, d'une manière en quelque sorte mécanique, des théorèmes fort divers et pourtant dérivés d'un seul, forment les sonrces les plus fécondes de la Géométrie moderne.

Les transformations sont le propre de l'Algèbre; on conçoit donc combien des procédés analogues en Géométrie doivent apporter de facilité et

C'est dans le sein de l'Ecole Polytechnique surtout que les ouvrages de Monge et de Carnot ont porté leurs fruits. Le goût des sciences, implanté dans ce grand établissement par les hommes illustres qui l'ont fondé, s'y est conservé, grâce à son organisation judicieuse et puissante, et a contribué, comme les services miUiiùres et civils, à la gloire et à la grande renommée

succédé « présenaurons ï et les lue(').

sciences avaient reçue en Belgique, ait cessé de paraître. Hous aurons à consulter les onze Volumes de cette intéressoute collection et les divers Recueils périodiques qui offrent chaque jour aux géomètres les aïaulages d'une facile et prompte publication : \e Journal de Mathématiques de M. Crelle; celui de M. Lioutille; les Nouvelles Annales de M. Terquem; ie Journal mathématique de Cambridge et de Dublin, édité par M. Thomson ; les annales des Sciences mathématiques et physiques de M. Tortolini; les Archives de Mathématiques et de Physique de M. Gruneil.

584 DiscouBS.

Nous ne négligerons point non plus !es Mémoires importants publiés de nos jours en Allemiigne, en Angleterre, en Italie, où !a Géométrie est cultivée avec un grand succès et souvent avec éclat (').

Les théories et les méthodes dont l'usage doit se présenter le plus fréquemment formeront naturellement la base de ce Cours. Mais les queslions spéciales d'un ordre plus relevé qui seront propres soit à ouvrir de nouvelles voies, soit à offrir de belles applications de la Science, entreront aussi nécessairement dans le cadre que nous nous sommes tracé. Si nous n'avons pas à analyser des ouvrages de l'importance du livre des Principes de Newton, il en est cependant qui nous offriront des exemples non moins remarquables de la puissance d'invention que l'esprit ge'ométrîque développe, et de la richesse des résultats qu'il peut procurer dans les questions les plus difficiles. Rien de plus beau que ces considérations directes ei lucides, pittoresques, s'il est permis de s'exprimer ainsi, par lesquelles un grand géomètre, en transportant l'ingénieuse doctrine des couples dxms la Dynamique, nous a dévoilé toutes les circonstances géométriques et dynamiques du double mouvement d'un corps pesant qui a reçu une impulsion ( ^ ) . Cette importante et difficile question avait été résolue analytiquement par Euler et d'Alembert, à peu près dans le même temps, puis avec plus d'ordi'e et d'élégance par Lagrange. Mais dans ces solutions, dont le but final est la détermination de la position du corps à un instant donné par des formules de quadrature, on ne voit que des calculs qui, s ils donnent la solution numérique de la question, c'est-à-dire la position ictuelle du corps, ne font nullement connaître comment il y est arrive, comment se modifie à chaque instant l'effet de l'action permanente de l impulsion primitive P ir les seules ressources du raisonnement géométrique H Poinsot lend p\lpables et semble peindre aux yeux toutes les circonstances du mouvement du corps. A l'instar des forces accélératrices que les géomètres sont accoutumés à considérer, il considère dans le mouvement du cor]js un couple accélérateur qui, en se combinant avec la rotation, de même qu'une force accélératrice se combine a vec une force d'impulsion, change à chaque instant la grandeur de cette rotation et la direction de l'axe autour duquel elle s'effectue, et ce double effet se suit pour ainsi dire de l'œil, en même temps que l'esprit en voit les causes.

On reconnaît ici quels sont les avantages propres de l'Analyse et de la Géométtie. La première, par le mécanisme merveilleux de ses transformations, passe rapidement dn point de départ au but proposé, mais souvent

( ■ ) Voir, par eiemple, les Ouvrages di (■) Voir Théorie noui-elle de la rolal,

sans coniiiiitrû ni le chemin qu'elle u fait ni la signification des nombreuses formules qu'elle a employées.

La Géométrie, au contraire, qui ne puise ses inspirations que dans la considéra lion attentive des choses et dans l'cncliaînemenl des idées, est obligée de découvrir naturellement les propositions que l'Analyse a pu négliger et igno q ' f uent le lien le plus immédiat entre les deux

termes extrême» C I e peut paraître parfois difficile, mais elle est

au fond la plus pl P 1 'elle est la plus directe ; elle est aussi la plus 1 umineuse et L pi f nd

L'Analyse du U une vérité ; que la Géométrie en cherche la

démonstration p P p loyens : soyez sûi's que dans cette recherche

elle rencontrera et fera conntître diverses autres propiietes qui se i ittachent au sujet, l'éclairent et le complètent

L'Analyse et la Géometiie, au pomt de vue philosophique, sont deux, branches d'une science unique qui i poui objet 1j lei-herche des ventes naturelles; elles sont destinées \si,claiiei mutuellement, t se piètei un secours réciproque : toutes deui sont des mstiuments aiijouid hui mdis-

Cultivons donc simultanément 1 Amlyse et la Geometiie, et que 1 une et l'auli-e trouvent également leut place dan» l'enstignement.

C'est la pensée que le chef éminent qui préside à l'instruction publique a cherché à réaliser en fondant la chaire de Géométrie supérieure.

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SLLS. ■IVaite de Goomgtric gup&:

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'Jraite de Géoiuéli-ic supci-iciiro