I. ■ — De la Géométrie cliez les Grecs

La Géométrie a été la science de prédilection des Grecs. Ils la divisaient en trois parties distinctes : Li Géométrie élémentaire, qu'ils appelaient simplement les £'/cme»«; la Géométrie pratique ou Géodésie; et la Géométrie supérieure, qu'ils appelaient le Lieu résolu, et qui était un ensemble de question résolues d'avance el de théories où le géomètre trouvait les ressources nécessaires pour pi'océder à la démonstration des vérités et à la solution des

C'est cette partie, le Lieu résolu, que les modernes ont appelée YJnaljse géométrique des anciens.

Le peu de détails qui nous sont parvenus snr ce point extrêmement intéressant de l'histoire de la Science se trouvent diins les Cnltections mathéniiiliques de Pappus, géomètre qui vivait au iv* siècle (le noire ère. Ces Collections mathématiques étaient un ouvrage en huit Livres, dont six seulement nous ont été conservés. On y trouve, avec des détails qui nous font connaître sur plusieurs points l'étal des Mathématiques anciennes, une foule de propositions et de lemmes destinés à servir de commentiiires à divers ouvrages, dont la plupart ne sont pas ni'rivés jusqu'à nous. L'auteur était un géomètre éminent, que Descartes avait en grande estime. C'est dans Pappus et Diophante que ce grand philosophe remarquait des traces de cette lumière de raison qui, dans l'antiquité, était le caractère des Mathématiques vérUables [').

Kous trouvons, dans les CoUectiom de Pappus, la nomenclature des Traités qui, faisant suite aux Éléments, formaient le Lieu résolu ou, comme nous venons de le dire, la Géométrie supér-ieui-e. C'étaient ; un Livre des Données, d'Euclide; devxljivres delà Section de raison, d'Apollonius; deux Livres de la Section de l'espace; deux de la Section déterminée et deux des Attouchements [contacts des cercles), du même; trois Livres des Porismes, d'Euclide; encore d'Apollonius, deux Livres des Inclinaisons, deux des Lieux plans et huit des Sections coniques ; d'Aristée l'ancien, deux Livres des Lieu.v solides; d'Euclide encore, deux Livres des Lieux A la surface; enfin, d'Ératosthènes, deux Livres des Moyennes raisons.

Ces divers ouvrages formaient donc un corps de science, une Géométrie supérieure, que les anciens distinguaient essentiellement des Éléments,

Pappus ajoute que les géomètres, en appliquant les ressources que leur offraient ces ouvrages pour la démonstration des vérités géométriques et la

•I de resjiril {1,'Fès'e), t. XI Je

solution Jes (iroblèiiies, suivjiient deux méthodes ou plutôt deux iHaiiièica de procédei' |>iir le raisonnement, savoir la synthèse ou composition et Vanaljse ou résolution. Ces deus mots synthèse et analyse avaient alors, en Matliémaliqnes, un sens parfaitement défini. Maïs, comme aujourd'hui nous les employons communément dans une acception spéciale très différente, qui laisse ignorer ans jeunes géomètres ce qu'étaient les méthodes anciennes et surtout la méthode analytique, il ne paraîtra peut-être pas inutile de rappeler ici le sens précis que leur donne Pappus, le même qu'on trouve aussi dans Euclide (au treizième Livre des Éléments).

Par Ja synthèse, on part de vérités connues pour arriver, de consét|uence en conséquence, à la proposition que l'on veut démontrer ou à la solution du problème proposé.

Par Vanalyse, on regarde comme vraie la proposition que Ton veut démontrer ou comme résolu le problème proposé, et l'on marche de conséquence en conséquence jusqu'à ce qu'on arrive à quelque vérité connue, (jui autorise à conclure que la chose admise comme vraie l'est réellement, ou qui comporte la construction du problème ou son impossibilité ('),

(') Citons le texte tnûme de Pappiis, dans son sens ij Itéra) :

o Lo Lieu résolu est une mntière à l'usage de cgui qui, posséUatit les Elémeiiti, veulent acquérir en Géométrie l'art de résoudre les problèmes : c'est là son utilité. Cette partie des Mathématiques nous a été transmise par Euclide, l'auteur des ÉUmeiits, Apollonius et Ariatée l'ancien. On y procède par voie de résolution et de

• La résolution est nue méthode par laquelle, en partant de la chose que l'on cherche et que l'on suppose déjà connue, on arrive, par une suite de conséquences, à Hue conclusion sur laquelle on s'appuie pour remonter, par voie de composition, à la chose cherchée. En effet, dans la résolution, nous regardons comme fait ce que nous cherchons, et nous examinons ce qui découle de ce point de départ, et mûme ce qui peut en être l'antécëd n q a lo qu n pHr lo raisonnement à

quelque vérité déjà conn a sa ji mb dp p Cette marche conslitoe

le procédé qu'on appell A ^ mm q d n sens inverse.

a Au contraire, dans p u p ton d vérité à laquelle nous

dans le raisonnement n h n rs p 'esl-à-dîre en prenant

toujours pour antécéde q dan p m onséf(ueut, et récipro-

quement, nous parvenu h. h se h h C irche constitue le pro-

cédé qu'on nomme sjiilh

0 L'Analyse s'emploi d d d d h h i pour démonti'cr une vérité théorique, ou pour résoudre un problème proposé.

1 Dans le premier cas, admettant comme vraie la proposition qu'il faut démontrer, nous regardons aussi comme vraies les conséqnences qui en découlent, jusqu'à ce que nous arrivions à quelque conclusion connue. Si cette conclusion est une proposition

55s DISCOURS.

Ces deux manières de procéder en Mathematitjues ne répondent nullement à la signification actuelle des deux termes analyse et synthèse, dont ie premier caractérise l'emploi du calcul algébrique, et le second, la considération seule des propriétés des figures, au moyen du raisonnement

Les deux méthodes anciennes ne diifëraient au fond que dans le point de départ, les diverses opératicns de raisonnement étant les mêmes dans l'une et dans l'autre, mais dans un ordi'e inverse. On caractérisera brièvement ces deux roe'thodes en appelant, avec Kanl, la synthèse, méthotie progressive, fXV analyse, méthode régressive (').

n est essentiel de remarquer ici que l'usage de {'analyse, chez les anciens, suppose nécessairement une proposition déjà connue et dont on cherche la dc'monstratîon, ou un problème proposé; de sorte que, hors ces deux cas, il n'y a point lieu, d'après la définition précise de Pappus, d'employer la méthode analytique.

Il faut observer encore que, bien que l'esprit de la méthode soit le même dans les deux cas, néanmoins elle y a un caractère différent ; car, dans le premier, cù il s'agit de démontrer une proposition, l'analyse n'est point autre chose qu'une méthode expérimentale de vérification a posteriori, tandis que dans le second, où il s'agit de résoudre un problème, elle forme une méthode d'invention a priori, puisqu'on se propose de trouver la solution ou construction du problème ou de démontrer son impossibilité, ce qui constituera la découverte d'une vérité mathématique actuellement

C'est est la m,

dans ce s.

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qu'on peut

dire que

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ce cas de la solution d'u à découvrir, et pour cet

n problème objet c'est

;, Vaiialyse n'a point de vé . la synthèse seule qui consti

fausse, la . Dons

; prise <in :

n que nous nvioii ■,3.s, où il 9'aBit d

nis, si uotra conclusion e résouilre un problème

tormo u

zii

connu ce qu'il faut trouver, et nous en lirons quelque conclusion. Si cette conclusion •?st une construction possible ou rentrant dans re que les raatliéinaticiens appellent les données, le problème proposé sera aussi possible; et la démonstration répondra k V Analyse en sens contraire. Mais, si la conclusion il laquelle nous arrivons est une chose impossible, le problème le sera aussi.

B On appelle diorisme ïe!te partie du raisonnement où l'on délermine les conditions pour qu'un preblènie soit possible, elle nombre de ses solutions, n Toilà ce que nous avons à dire de la résolution et de la composition. • ( ■ ] Nous n'entendons pas faire allusion ici â la distinction fondamentale posée, par l'illuatre philosophe, entre les jugements synihétiques et ai/aljliques, bien, toutefois, que cette distinction dérive des acceptions anciennes de Vanalyse et de !a synthèse.

la méthode d'invention par laquelle on forme et Von accroît une science. Cette rcmnrque nous suffît dans ce moment, où nous n'avons pas à reclierclier quelles sont les méthodes d'invenlion en Matlie'matiqiies, maïs seulement h définir ce qu'ont été les deux méthodes appelées par les anciens analyse et synthèse, et à en marquer les usages et le caractère distinctif.

Dans les sciences en général, c'est par la méthode synthétique qu'on en expose les principes ou les éléments : c'est ainsi que sont écrits les Eléments d'EucIide. Toutefois, on trouve aussi dans cet Ouvrage des exemples de la méthode analytique, telle que la méthode ajipelée rédaction à Fabsurde, quoique dans ce mode de démonstration ce ne soit qu'indirectement, ou par esclusion, qu'on introduit dans le raisonnement la proposition que l'on veut démontrer. On part, comme on sait, de pro^Kisilions contraires à celle-là, et, en les combinant logiquement avec des propositions connues, on arrive, de conséquence en conséquence, à un rc'sultat faux ou absM-de, d'où l'on conclut que la première est bien la proposition vraie.

Archimède et Apollonius nous offrent de nombreux exemples de Varia- Ijse : c'est presque toujours par celte voie qu'ils résolvent les problèmes. Ainsi, quand Aichimède se propose, dans son Traité de la sphère et ila cylindre (prop. 8), de couper une sphère par un plan de façon que les deux segments soient entre eux dans un rapport donné, il raisonne sur la grandeur inconnue comme sur celles qni sont données, et il parvient à une proposition qui renferme l'expression de la grandeur cherchée,

Diophante, dans son ouvrage d'Algèbre qui porte le nom â'Aiithmétique, fait usage continuellement de la méthode analytique ; car il représente les inconnues de la question et ses puissances par des signes ou des mots, et il les introduit dans le raisonnement pour foi-mer, entre ces inconnues et les quantités connues, des égalités d'où il tire la valeur des in-

On conçoit que Vanalyse et la synthèse ont dû être employées concurremment, dans tous les temps, depuis l'origine des Sciences mathématiques: aussi, quand Proclus et Diogène Laërce font honneur à Platon de l'invention de la méthode analytique, il faut croire qu'ils voulaient par là désigner Platon comme ayant le premier distingué ces deux manières différentes de procéder dans la recherche et la démonstration des vérités mathématiques.

Nous venons de préciser ce qu'il faut entendre par la synihèse et Vanalyse dans la Géométrie des anciens; nous n'aurions que peu de mots à ajouter pour dire comment ces termes ont pris chez les modernes des acceptions tiès différentes; mais n'anticipons pas sur la marche de la science : l'crigine du nouveau sens des deux mois, en Mathématiques, se

rattache à lii giiinde conception de Viète, dont nous aurons bientôt à faite

mention.

De ces Ouvrages qui, d'après Pappus, formaient comme les éicmenis d'une Géométrie supérieure et oUraient les ressources nécessaires pour se livrer aux rechei-clies géométriques, trois seulement nous sont parvenus : ce sont les Données d'Euclide, les sept premiers Livres des Coniques d'Apollonius, et le Traité de la Section de raison, qui s'est retrouvé en langue arabe. La plupart des autres ont été rétablis par divers géomètres, dans le style de la Géométrie ancienne, d'après le peu de détails que nous en a laissés Pappus,

Cependant on n'est pas fixé sur le sujet du Livre des Lieux à la surface, d'Euclide. L'anteur y considérait des courbes tracées sur des surfaces courbes. Mais quelle était la nature de ces surfaces? Les courbes qu'on y traçait étaient-elles nécessairement planes? La bi'ièveté de Pappus nous laisse dans l'incertitude. Je dirai toutefois qtie quelques indices peuvent poi-ter à croire que, dans le Livre des Lieu.c à la surface, Euclide traitait des conoïdes, appelés aujourd'hui su/faces du second degré de lé'olution, et des sections faites par des plans dans ces surfaces, comme dans le cône.

Mais il est un autre ouvrage d'Euclitle bien plus digne de fixer noti'e attention et qui a présenté pendant longtemps une énigme indéchiffrable à laquelle se sont attachés, dans les deux derniers sièules, plusieurs des géomètres les plus célèbres : je veux parler du Traité des Porismes, A« dire de Pappus, cet Ouvrage, où brillait le génie pénétrant d'Euclide, était éminemment utile pour la résolution des problèmes les plus compliqués ; c'était, en quelque sorte, l'instrument indispensable des géomètres dans leurs recherches.

Jusque vers le milieu du siècle dernier, cette question des porismes n'a présenté qu'une obscurité profonde dans toutes ses parties. Alors seulement . R. Simson fît les pi emiet s pis vei a 1 1 dei,ou^ ei du sens c iche des idées de l'auteui tint en letiLliasant la défimtion du teime /JorjjiKe et surtout la forme pu ticuhere des énonces des piopositions imsi appelées quen donnant 1 explication de sis ou sept, sui une tientaine, des énonces de porismes que Pippus nous i transmis en tei mes laconiques et obscuis Cette dmnJtion \ fait beaucoup d honncui i R Simson Depuis plusieuis géomèties ont continue de tiaitet ce sujet st digne d intérêt

Cependmt un voile ep us couvre encoie cette doctiine de^î poiisnies eu indépendamment des vmgt-quatte énonces de Pappus, dont on na pas donné le sens, il faudrait connaîti'e en outre la Ciiuse de la forme inusitée de ces propositions, la pensée qui les a conçues, leur nature ou caractère mathématique, ta raison de leur éminenle utilité dans l'art du géomètre, la transformation que cette doctrine a probahlemenC subie pour pénétrer, à

Discouns. 555

notre insa , dons nos méthodes modernes. Ces questions mériteront de trouver place dans un enseignement de haute Géométrie, d'autant plus que les théories snr lesquelles semblent rouler ces pi-o positions obscures se rattachent à celles de la Géométrie moderne. Peut-être alors pourrons -non s répandre quelque lumière sur celte grande énigme que nous a léguée l'anti<iutté,

A défaut des ouvrages originaux des Grecs, qui sont presque tous perdus, c'est dans les Collections mathématiques de Pappus, dans cette foule de propositions eparses et sans ordre, parce qu'elles se rattachent à des ouvrages différents auxquels elles doivent sei-vir de commentaires, que nous trouverons les premiers éléments d'une Géométrie su(>érieure.

On y dislingue notimment quelques-unes de ces propositions simples qui sont bien réellement le fondement de la science, car on les retrouve dans les Traités célèbres de Pascal et de Desargues sur les Coniques, et, plus tard, dans l'ingénieuse et féconde Théorie îles transversales de Carnot ; ouvrages qui se rapportent essentiellement à une partie des méthodes qui feront la base de notre enseignement.

Nous ne faisons pas ici l'analyse de toutes les ressources que peuvent offrir les Collections mathématiques de Pappus; disons cependant que nous aurons à y emprunter quelques beaux exemples de cette manière de démontrer de simples propositions de Géométrie plane par la contemplation des figures à trois dimensions, qui rentre dans certains pi-océdés dont les géomèti-es de nos jours ont fait un heureux usage. Par exemple, c'est en considérant une surface héliçoîde que Pappus décrit la spirale d'Archiinèdc et la (paadratrice de Dinostrate, comme projection de certaines courbes à double courbure tracées sur la surface.

Ce n'est pas sans surprise et admiration i|u'on rencontre dans le Livre de Pappus ces spéculations qu'on ci-oirait sorties de l'école de Monge; nous y trouverons même certaines questions qui prouvent que les Grecs avaient des procédés de Géométrie descriptive analogues et parfois identi<|ues à nos méthodes actuelles. Telle est cette question : « Connaissant les projections horizontales et les hauteurs verticales de Crois points, déterminer la trace et l'inclinaison du plan qui passe par ces points. »

Nous n'avons point eu it citer jusqu'ici les Traités d'Arehicnède, où se trouvent cependant des découvertes capitales qui toutes ont été utiles à la science. Eu voici la raison. Les ouvrages d'Archimède se peuvent distinguer en trois classes ;

1° Les Traités géoméu-îques, qui sont : la mesure ilii cercle, et les Livres (le la sphère et du cylindre, des canoîiles et des sphéroïdes, de la quadrature de la parabole, des hélices et des lernmcs;

2" Les Livres de l'équilibre des plans et des corps portes sur un Jliddc,

qui contiennent les principes tîe la Statique et df l'Hydrostatiriue, mais où

domine encoi-e le génie géoniétri<|ue;

3° Le Livre De numéro aiencB, où se trouvent des connaissances trèsdiverses d'Astronomie et d'Aritlimétique notamment, et qui suffirait seul pour attacher au nom d'Archimède le sceau de l'immortalité.

Les Traités géome'ti'iqnes contiennent des résultats admirables qui ont crée ou établi sur leurs bases véritables plusieurs parties des sciences; mats ces résultats, par leur nature, ne sont pas d'une application aussi fréquente, dans les spéculations géométriques, que diverses autres théories dont l'usage est, pour ainsi dire, journalier. C'est pourquoi Pappus ne les a pas compris dans sa nomenclature des Traités propres a guider dans les recherches géométriques.

Si, dans la marche suivie par Archimède pour arriver à ses belles découvertes, on peut voir le germe ou des applications d'une méthode spéciale susceptible d'extension, c'est surtout dans la méthode A'e.rkaustwn (c'est-àdire d'^/)Hije»!e/«), Par cette méUiode on considère une grandeur, une courbe par exemple, comme une limite de laquelle s'approchent de plus en plus des polygones inscrits et circonscrits, dont on multiplie le nombre des côtés, de mimière que la différence, qu'on épuise en quelque soile, devienne plus petite qu'une quantité donnée. Les propriétés des polygones, par exemple l'expression de leur périmètre ou de leur surface, indiquent, par la loi de continuité, les propriétés de la courbe, et l'on démontre ensuite celles-ci en toute rigueur par le raisonnement à l'absurde.

On peut voir ici le germe des méthodes infinitésimales, ou du moins l'idée fondamentale sur laquelle elles reposent, surtout dans les conceptions de Mevrton et d'Euler, Ces doctrines, soit celle des premières et dernières raisons, soit celle des limites, qui au fond est la même, ont établi sur un principe d'une rigueur incontestable les méthodes générales et élémentaires qui remplacent celles d'Archimède dans toutes les questions traitées par ce grand géomètre. On conçoit donc que, dans les principes de ta Géométrie supérieure que nous avons ici en vue, de même que dans un aptrçu sur l'origine et sur le développement des méthodes qui se rattachent à ces principes, les beaux théorèmes d'Archimède n'occupent pas la place que leur grande renommée semblerait au premier abord leur assigner.

Quelques développements vont faire comprendre plus complètement notre pensée sur cette partie de la Géométrie qui doit représenter l'Analyse géométrique des anciens et constituer les éléments de la Géométrie supé-

La Géométrie se déûnit la science qui a pour objet la mesure et les propriétés de l'éienilue figurée. Cette définition indique deux divisions principales de la science. Aussi les divers travaux des géomètres diffèrent jiar

DiscofHS, 5:17

leur nature et doiiiienï lieu d'eux-mêmes à cette distiiietion. Les uns se rapportent à la mesure, c'est-à-dire à l'expression de la longueur des lignes, de l'étendue des surfaces, du volume des corps. La determinatioD des centres de gravité et beaucoup d'autres questions qui se présentent dans les sciences physico-niaihématiques sont du m^me genre. C'est ù de telles questions que se rapporte spécialement la Géométrie d'Archimède. Ce sont ces questions, comme nous venons de le dire, qu'on traite aujourd'hui par les méthodes infinitésimales, parce qu'en effet elles impliquent toujours, sous une forme ou sous une autre, l'idée de Viiifin't (' ).

Les autres recherches mathématiques ont pour objet les propriétés résultantes des formes et des positions relatives des figures, propriétés qui comprennent aussi des relations de grandeur, mais qui sont, en généi-al, simplement des relations de segments rectilignes ou d'angles et qui n'esigent pas l'emploi du calcul infinitésimal. C'est à cette partie de la Géoméirie que se rapportent les ouvrages d'Apollonius, tels que son grand Traité des coniques, et en général, les Traités sur le Lieu, résolu ou Analyse géométrique des anciens. Cette partie est vaste; c'est celle qui doit aujourd'hui constituer spécialement la Géométrie considérée dans l'ensemble des méthodes qui lui sont propres.

Quant à la première partie, qui a pour objet le calcul des g:randeurs curvilignes, ce sont les méthodes infinitésimales qui lui conviennent; ce serait rétrograder que de revenir à celles d'Archimède ou aus méthodes intermédiaires et de transition de Cavalieri, de Pascal, de Gregoire de Saint- Vincent, de Wailis, quelque puissantes qu'elles aient été entre les mains de ces gi'ands géomètres. Et, d'ailleurs, l'emploi des méthodes infinitésimales n'implique pas raband<in des méthodes géométriques pour le calcul algébrique des modernes; loin de lu, ce sont précisément les questions de Géométrie qui ont donné naissance à ces méthodes dans les travaux de Fermât, comme dans ceux de I^ibnitz et de Newton.

Hais il ne faut pas croire que, par la distinction que nous venons d'établir, nous scindions la Géométrie en deux partiesjpour n'en attribuer qu'une à la Géométrie moderne, et diminuer ainsi le domaine de la science que les Grecs nous ont transmise. Au contraire, celte Géométrie des propriétés des figures est d'une application nécessaire et constante dans la Géométrie des es. Celle-ci ne saurait procéder seule; il est aisé de le c

( ' ) Leibiiilï puise dans iIks considén de son analjsâ inrinitésituale dans ta dit: 0 Cette analyse est proprement sl

558 Discouns.

y décomiiose les figures (lignes, surfaces ou volumes) dans leurs parlies élémentaires qu'on appelle infiniment petites, et ce sont ces éléments dont on considère les i)i-o|)rictès, soit jioiir les comparer entre eux, soit pour en faire la sommation. Or, de même (ju'en Analyse le succès, dans les questions de cette nature, dépend du choix des variables, il dépend ici de la forme et des projii'iélés des éléments, c'esl-à-dire de la manière dont on a décomposé la figure : c'est ce mode de décomposition qui constitue la question géométrique; et il exige essentiellement la connaissance des propriétés de la figure, et souvent des propriétés les plus intimes et les plus cacliées [' ). On l'etombe donc sur cette partie de la Géomctrie qui forme Y Analyse géométrique des anciens et qui doit dtre la base de noire Géométi'ie supé-

Ainsi, par exemple, dans le célèbre problème de l'attraction des ellipsoïdea snr des points extérieui's, que les métliodes fondées sur le calcul ont été pendant longtemps impuissantes à resoudte li difficulté ^eomttnque consistait seulement dans la découverte de quelques piopiteles qui fissent connaître le mode convenable de décomposition de 1 ellips ide en ses éléments ; ce sont ces propriétés que Hachuiin eut le bonheui di d co mir, du moins pour cei'tains cas de la quest on

On conçoit donc bien comment cette pu lie de h Geometue qui se t apporte plus spécialement aux propriétés des figuies est aussi celle qui doit conduire aux calculs de leurs mesui-es, et 1 on comprenl que bien qu il y ait lieu de dislingiier ces deux genres de questions elles a en lentient pas moins, les unes et les autres, dans le dom me d une science unique qui constitue la Géométrie générale.

Ces considérations montrent combien est incompkte et dénuée de justesse cette définition qu'on trouve dans quelques ouvrages, savoir que ta Géométrie est la science qui a pour objet la mesube de t 'étendue. On serait tenté de croire que cette définition nous vient de quelques arpenteurs romains, si ell<! ne i-emonte pas aux Égyptiens, qui, selon la tradition historique ou fabuleuse, auraient créé cette science irour retrouver l'étendue primitive de leurs terres après les inondations du Kil. Toutefois, l'origine (le la distinction que nous venons d'établir se peut apercevoir dans Aristotc, qui regarde les Mathématiques comme ayant pour objet adéquat Vonbeet la proportion. C'est aussi l'idée de Descartes, et l'on n'est pas smpris d'avoir à citer, à la suite de ces deux grands jibilosophes de l'anliquité et des temps

) C'est ce qui a fnit dii* à WalUs : " Cjcbidîa sic lu parlea su»5 resoliilioneui, adum ip^ius Anatomîam veratn, ostendj.... Sic ego diatribuo semï-cycloidcm, ut Laaiiis, sed nt AiialomisM, in scmi-circulum et figuram Brcuum; qaibus ^pa< a meas mathodos adliibeo. • ( Opéra miirhemacica, t III, p Q^l\ el Q',b).

modernes, le célèbre auteur de la doctrine des couples, que ses reclierclies sur la théorie des nombres ont conduit à celte définition d'un sens philosophique si profond.

Un des beaux monuments de ïa Géométrie des anciens, l'une de ses plus magnifiques .ipplica lions, est le grand Traité d'Astronomie de Ptolémée, ap|Jelé par l'auteur Syntaxe mathématique, expression forl juste, que les Arabes, dans leur admiration, ont remplacée par celle d'yimtrgcstE (le trèsgrand). On a souvent cité, dans cet Ouvrage, les principes et les applications de la Ti-igonoraétrie plane et sphérique; la construction des cordes des arcs de cercle ; quelques théorèmes qui chez les modernes ont fait la base de la théorie des transversales; la détermination du lieu des stations des planètes, l'une des plus belles questions de la Géométrie ancienne, que Ptolémée aSli'ibue k Apollonius; mais, considéré sous un point de vue plus générai, l'Almageste constitue dans son ensemble la solution d'un grand problème de Géométrie, à savoir de représenter jjar une combinaison de mouvements circulaires et de mouvements uniformes tous les phénomènes du mouvement des corps célestes. Ce fut Platon qui posa ce principe des mouvements célestes, adopté par Aristote et par tous les philosophes grecs, dont il flattait l'esprit de système et de généi-a Usât ion.

L'Astionomie orientJile, mère de l'Astronomie grecque, semble prouver, [jar les différences essentielles qu'elle présente avec celle-ci, que c'est ce grand problème qui marque le véritable but des efforts d'Hipparque et de Ptolémée et qui fait le caractère |)ropre de leur Astronomie.

Les Tables du mouvement d q 1 G du cevoir des

Chaldéens avec leurs observât d d n f 1 tifs, étaient

fondées, si je ne m'abuse, sur d j '"Il "' es aux for-

mules qui ont été longtemps h z 1 d n quand Pto-

lémée dit qu'Hipparque a re| »! n i y ' ^ vement du

Soleil et la première inégalité d 1 L m q se ff ont échoué

à l'égard de la seconde inégal ^ 1 d 1 j I 1 ne doit pas

signifier qu'il n'existait point 1 T bl du S 1 d H j p que et que

ce grand astronome n'a connu ni k loi numeiique de 1 cvection lunaire ni celle du mouvement des planètes. Non, ce ne peut être là ce qu'a voulu dire Ptolémée; cette interprétation fait naître trop de difficultés dans l'histoire de l'Astronomie. Mais il a voulu dire qu'Hipparque ù'avait fait que les premiers pas dans le grand problème posé par Platon, et que lui, Ptolémée, a surmonté les difficultés géométriques c[ui avaient arrêté ses devan-

Si le princi|ie ou ]>lLitût le preja^'é des Grecs sur les mouvements célestes, après avoir régné vingt siècles et imposé une loi inflexible a CoperDÎc lui-même, a été mis au néant par les immortels ti'avaux deKe|>ler, le grand Ouvrage de Ptolémée n'en conserve pas moins son intérêt au point de vue géométrique. Mais c'est un de ces ouvrages d'une lecture longue et pénible, dont il serait bien utile (|ii'o!i élit des analyses precises et philo sopliiques, qui iieut-être sont trop rares aujourd'hui. Les jeunes géomètres préfèrent naturellement les recherches de découvertes aux. recherches rétrospectives; cellea-là seules assurent les progrès et le développement de la Science. Cependant, que mes jeunes auditeurs de l'École Normale me permettent de leur dii-e, dès ce moment, que, parmi les ouvrages du passé, il peut en être dont l'apprécialion intelligente les conduirait à des travaux dignes de prendre rang dans les fastes de la Science.

J'ose espérer qu'on ne regardera pas comme une digression étrangère à mon sujet ces conàdérations sur l'Almageste de Ptolémée, si elles monti'cnt sous quel rapport cette belle composition nous présente une ceuvre de pure Géométrie, et surtout quand nous aurons vu bientôt l'analogie qu'elle nous offre, à cet égard, avec le grand Ouvrage de Newton, qui est aussi une œavre de pure Ge'omctrie.

p;irt, quelques emprunts fulls k l'Astronomie clialdéenne, que j'ai élé conduit à émettre l'opiuioD, contraire aui idée» reçues, que les Clialdéens ont en, outre leurs périodes bien cannuoa, des Tables astronomiques. (Voir Comptes rendus dei séances de l'Académie des Scie/icei, t. XXJII, p. 8.15-8JJ.) C est celle opinion que j'ai reproduite ici, en indiquant le caractère qui me paraissait distinguer l'Astronomie chaldéeune de celle des Grecs, savoir, que dans la ppemière la position dea planètes se déterminait au moyen de formules empiriques, c'est-à-dire par des lois eipmnéjs en nombres et impliquant les principales inégalités de leurs mouveaients, lundis que les Grecs aTOieut tout représeiité par des mouvements effectifs sur des cci-cles.

Ces conjectureB, auxquelles J'étais amené nalurellcmenl par leïaraan des Tables Kharismiennes, composées chez les Arabes au i^* siècle, dans le système astronomique des Indiens, ont été, depuis, pleinement justifiées, si je ne m'abuse, par la publication du Traité d'Astronomie de Théon de Smjrne. En effst, dans cet Ouvrage, édité dans son texte grec, avec une traduction latine, par M. Tb. H. Martin, doyen de la Faculté d38 Lettres de Rennes, se trouve un passage où Théon dit que les Babyloniens, les Cbaldéens et les Égyptiens avaient des Tables astronomiques, antérieure mont aux Grecs, et que les Cbaldéens construisaient leurs Tables par des calculs arithmétiques et les Égyptiens par des procédés graphiques. ( Theoais Smyraœi Platoaici Liber de Astronomia cum Sereai fragmeiuo. Texium primas edîdil, latine Tiertic, descriptionibus geomeiricis, dissertacioiie et notis Ulustraeit Th. S. Martin, Faeuliatis Lîtierarum in Academia Rhedonensi decanns. Parisiis, 1849; '""S"- '''"> P- =73-)

M. Siot a (ait mention de ce pas:^ge curieu: dans une i^nlics inlircssunte sur l'Ouïraje de Théon. (Voir Jsunialdcs Sananis, annâe i85o, p. 197.)