PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITION

L'Ouvrage que j'ai publié, il y a quinze ans, sous le titre d'aperçu historique sur l'origine et le dévelopjyemontdes méthodes en Ge'ométrie [' ) élait une préparation à la publication que je commence aujourd'hui. D'autres travaux m'avaient détourné de ce sujet. Mais une chaire de Géoine'trîe supérieure , réclamée depuis longtemps par la Faculté des Sciences et instituée en 1846» m'ajant été confiée, j'ai dû reprendre d'anciennes études et m'efforcer de lier entre eux, pour les ériger en corps de doctrine, des matériaux insérés en partie seulement dans les Notes de Vuiperçu historique.

Au lieu de l'Ouvrage que je mentionnais alors sous le nom de Compléments de Géométrie, et dans lequel je me proposais de réunir ees matériaux, je me suis trouvé naturellement conduit à faire, s'il m'était possible, un Traité méthodique; et j'ai dû l'intituler Géométrie supérieure, pour conserver le titre même de la chaire consacrée à l'enseignement de la Géométrie pure.

Nouveau par le litre, ce Xraité de Géométrie supérieure l'est aussi, àbeaucoup d'égards, parles matières, et principalement par la méthode de démonstration. Ce qui le caractérise essentiellement et détermine l'esprit dans lequel il a été conçu, c'est l'uniformité de cette méthode et la portée de ses applications.

Les principes, ou théories spéciales, sur lesquels reposent ces procédés uniformes de démonstration sont développés dans le Volume que je publie aujourd'hui. 11 contient, en outre, l'appli-

(.') J'oiV, plus loin, 1B

yGoosle

cation de ces principes aux propriéti!s des figures reclilignes et circulaires, et quelques théories générales, entre autres la théorie Ae& figures homographiques et celle àe& figures corrélatives, d'où dérivent, dans leur plus grande extension, les deus méthodes de transformation des figures en usage dans la Géométrie moderne.

On trouvera plus loin une indication sommaire de ces différentes Parties, et alors je dirai quelles sont les théories fondamentales sur lesquelles reposent les démonstrations que j'emploie, et je chercherai à expliquer d'où proviennent la facilité et la fréquence de leurs applications. Mais je dois indiquer d'abord les caractères généraux qui distinguent ces méthodes à d'antres égards, en cela surtout qu^elles participent aux avantages propres à l'analyse.

Je veux parler de la généralité dont sont empreints tous les résultats delà Géométrie analytique, où l'on ne fait acception ni des différences de positions relatives des diverses parties d'une iîgure, ni des circonstances de réalité ou AHmaginaritè des parties, qui, dans la construction générale de la figure, peuvent être indifféremment réelles ou imaginaires. Ce caractère spécifique de l'Analyse se trouve dans notre Géométrie,

Mais ces méthodes de pure Géométrie présentent un autre avantage essentiel, qui manque parfois à la Géométrie analytique: c'est qu'elles s'appliquent avec une égale facilité aux propositions qui concernent des droites comme à celles qui concernent des points, sans qu'on soit obligé de conclure les unes des autres par les méthodes de transformation, ainsi qu'on a coutume de le

Il y a donc, comme on voit, trois points de doctrine mathématique, qui donnent au Traité de Géométrie supérieure un caractère spécial et semblent marquer un progrès dans la culture de la science. Je vais entrer à ce sujet dans quelques développements.

Jusqu'à présent on n'a point introduit, d'une manière générale

et systématique, en Géométrie, le principe des signes, pour marquer la direction des segments ou des angles, excepté dans la Géométrie analytique et dans quelques questions particulières, telles que la théorie des centres des moyennes distances et des moyennes

PREFACE. vu

harmoniques, où l'on ne considère que des segments formés sur une seule droite.

On est tellement familiarisé, en Analyse, depuis Descartes, avec ce principe des signes, dont on apprécie l'immense ulilitt^, qu'on peut s'étonner que l'on n'en ait pas encore étendu l'usage général à la Géométrie pure. Je dirai plus loin les causes de cette lacune regrettable. Pour la constater ici, il suffira de citer la relation, harmonique de quatre points, relation employée si fréquemment dans la Géométrie moderne, et toujours sans y faire entrer le principe des signes pour marquer la direction des segments. 11 en est de même de beaucoup d'autres relations d'un usage également fréquent, notamment de toutes celles qui rentrent dans la théorie des transversales.

Dans toutes ces relations et dans celles qui en dérivent, on ne considère généralement que la valeur numérique des segments, de sorte qu'elles se rapportent, d'une manière concrète, à une seule des figures que peut admettre une question, à la figure que l'on a eue sous les yeux dans le cours du raisonnement ( ' ).

Il est vrai qu'on peut conclure des relations démontrées pour celte figure celles qui conviennent à une autre, par la doctrine des quantités directes et inverses de Carnot, doctrine qui fait l'objet de la Géométrie de position.

Avant que ce dernier Ouvrage parût, on donnait ordinairement d'une proposition autant de démonstrations, et d'un problème autant de constructions particulières, que la figure pouvait pré-

reetangles ab.cd, ac.âb, ad.bc, et l'on démontre que Vuii de ces rectangles est égal numériquement à la somme des deux autres; celui-là dépend de la position relative des quatre points. Si ces pointa sont placés dans l'ordre □, b, c, d, ce rectangle est ac.bd, de sorte qu'on a«c.W= Bb.ei-\- ad.bc.

Dans l'ordre a, d, b, c, on a ab.cd^ ad.be-v- ac.db.

Et dans l'ordre a, b, d, c, ad.be = ab.dc-t- ac.bd.

Chacune de ces égalités, qui sont purement jiomériquea, convient à une position relotive déterminée des quatre pointa ; et c'est ainsi qu'on a coutume d'exprimer cctlo propriété de quatre points, démontrée eu premier lieu, je crois, par Euler. (Voii' Jperfu historique, p. 3o5. ) Avec le principe des signes, on resprime par la formule

ab.cd-h ac.db + ad.bc = 0,

senter de cas différents dans la disposilîon relative de ses diverses parties. C'est ainsi que faisaient les anciens el, dans le siècle dernier, R. Simson, Slewart, etc. La Géométrie de position a eu pour objet de prouver qu'une seule démonstration ou construction devait suffire, et de montrer comment on pouvait conclure d'une relation concrète et purement numérique, formée pour une figure déterminée, la relation qui convenait à un autre état de la

Le procédé consiste à donner le signe — , dans la relation proposée, aux angles et aux segments qui ont changé de direction dans [a seconde figure; alors la .relation prend la forme qui convient à cette nouvelle figure ( ' ).

C'est ce que Camot a appelé le principe de corrélation des figures. Mais, à dire vrai, ce principe n'est pas démontré, et les développements dans lesquels l'auteur est entré à plusieurs reprises, tant dans la Géométrie de position que dans des dissertations spéciales, ne forment que de puissantes inductions qui ne constituent pas une démonstration primordiale, absolue; et, à la rigueur, il faudrait justifier dans chaque question le passage d'une formule à une autre.

Certes, ce principe de corrélation est un progrès en Géométrie ; mais il n'est pas suffisant, et le défaut de rigueur absolue n'est pas ici le plus grave inconvénient de cette manière de procéder : il en est d'autres qui touchent à l'essence même de la science, car les propositions dans lesquelles on ne fait pas entrer le principe des signes sont, en général, incomplètes ; en n'y considérant que les valeurs numériques des segments, on néglige une partie essentielle des propriétés de la figure, que ces propositions auraient exprimées au moyen des signes.

Il s'agit ici d'un point de doctrine fort important. Fixons les

(') Los deus relations nu difloronl, finalement, que pop les signes de quelques

(les quantités que l'on considère, telles que des segments rectilignes } se trouvent, on doit conserver le signe qui les précède dans les formules où elles entrent ou le changer; et c'est la théorie de ces mutations que je nomme Géométrie de position, parce qu'en effet c'est par elles qu'on exprime la diversité de position des parties coircspondantea dans les figures de même genre. » {Géoiaétiie de position. Dissertation prélî-

idées par un exemple. Quand un quadrilatère est inscrit dans un cercle ou une section conique, une transversale rencontre la courbe et les côtés du quadrilatère en sis points qui donnent lieu à certaines relations à deux termes entre six ou huit segments. C'est ce qu'on appelle les équations âHnvolntion de six points ou le théorème de Desargues.

On a coutume de ne considérer dans ce théorème que les valeurs numériques des segrtients, en faisant abstraction des conditions de direction, parce que le mode de démonstration que l'on emploie n'implique pas par lui-même le principe des signes, et que l'on n'introduit pas a posteriori, ce principe dans les formules (').

Il résulte de là que les équations démontrées, bien qu'exactes numériquement, n'expriment qu'imparfaitement les propriétés de la figure. Par exemple, chacune de ces équations devrait pouvoir servir pour déterminer l'im des deux points de la courbe quand l'autre est donne, et cela n'a pas lieu , faute d'avoir introduit le principe des signes. Car prenons l'cquation ab'.b(/.ca' ^=- ac' .ch' .ba', l'une des sept qui existent entre les deux couples de points a, a' et b, V du quadrilatère et les deux points c, c' de la courbe; cette équation, si on la regarde comme une relation purement numérique et sans y faire entrer, au moyen des signes, aucune condi-

( ') Soient a, a' ; S, *' el c, e' les trois couples de points

\ on démontre d'abord dn

dÎTersea manières, qui souvent ne comportent pus l'opplical. les trois équations à huit segments

ion du principe des signes,

ah.ab' a'b./,'¥ bc.be' b'c.h'c' ca.ca' c'a.c'a' ac.ao' a'c-.a'c'' ba.ba' b'a.b'a'' cb.cb' c-b.&b"

puis on conclut de ces éqnationE, par voie de multiplicnlio membre, on obtient

n et division, quatre équa,rois équations membre a

^Pj?\ca''^7tJ7^:;^a ou ab'M'..a' =

--±<^b.yc.c'a.

Si l'on avait égard aux signes des segments, il y. aurait chois du signe du second membre. Mais cetLe difficulté i moins on la passe sous silence, parce qu'on néglige dans c* signes, pour n'y considérer que la vsleur numérique des i

ici une difficulté pour le le se présente pas, ou du ss formules le principe des iegiuants. Aussi Ton écrit

ces s^ments d'une manière arbitraire, par eiempJe ab' ■ quelquefois même sans observer dans les quatre équaÉions

Qu b'a indiffércmmenl, et une mémo règle de symé-

tion de direction des segments, donne pour une position du poinl c deux points c' et ne fait pas connaître lequel de ces deux points appartient à la courbe. Ce qui prouve que l'équation, telle qu'on la considère, ne satisfait pas à la question qu'elle devrait résoudre .

Il faut donc nécessairement introduire dans les relations d'involution le principe des signes, sans quoi elles seront de simples égalités numériques, formant un théorème imparfait et dont on ne connaîtrait pas toute l'utilité.

Cela peut expliquer pourquoi ce théorème célèbre de Desargues, dont on parle tant dans la Géométrie moderne, n'a cependant point encore eu toutes les applications dont if est susceptible. M. Brianehon, il est vrai, en a fait la base de son intéressant Mémoife sw les lignes du second ordre; mais il faut remarquer que tout l'ouvrage consiste dans les développements des corollaires du théorème lui-même, considéré dans tous ses cas particuliers, et que l'auteur n'introduit pas ce théorème dans les spéculations géométriques où l'on aurait eu à tenir compte de la direction des segments : ce que l'on n'a pas fait non plus depuis.

Aussi, ce que l'on appelle Vinvolution de six points s'est réduit aux équations à deux termes, entre six ou huit segments, relatives soit au quadrilatère inscrit à une conique, comme nous l'avons dit, soit aux six points d'intersection des quatre côtés et des deux diagonales d'un quadrilatère quelconque par une transversale { ' ).

Cependant les six points donnent lieu à diverses autres relations

(') Ces relations d'involution notre Gt des deax diagonales d'un qundrilatè anciens, en partie du moins ; car on mathématiques de Pappus sîi propoBilic

La proposition i3o esprimc la relntio

les six points d'intersectio trouve dans le septiÈme Li m généi-ale à huit segments

ti des quatre .t été connu, vre des ColU '*ï rappovien

eûtes

QS des

:• eb.c-b'

Dans :

cfttéa oi>

la proposition posés et est

1Î3, la parallèle

■sale passe par 1 diagonale; V,

le point équation

de concours de deux démanlrèo est alors

Dans les proposttior

19 137 et

is8, lai

■ran s versai e est

. une dro

ite

quelconque

parai-

lèle à l'a

me des diagon

aies, et 1'

■équatio

n est de la form

-■ On peut

eonsi-

très différentes, formant une véritable théorie dont les applications, déjà très fréquentes dans ce Volume, le seront encore plus dans la théorie des sections coniques. Mais ces applications seraient difficiles et fort restreintes si l'on ne considérait que les valeurs numériques des segments, sans y faire entrer, avec le même degré d'importance, les conditions de direction, et l'on peut dire que cette théorie de l'involution n'existerait pas sans le principe des sig-nes.

Cet exemple suffit pour montrer comment l'usage explicite du principe des signes est souvent indispensable pour donner aux propositions leur signification complète et toute la portée qui leur est propre, et à la science toutes ses ressources naturelles.

Mais ce principe a divers autres avantages. II apporte dans les démonstrations une facilité qui rapproche les conceptions de la Géométrie de celles de l'Analyse, car on sait qu'une démonsti'aîion est d'ordinaire plus pénible quand on est obligé de subordonner le raisonnement à l'état d'une figure particulière que quand on oeut raisonner d'une manière générale, comme en Analyse, sans tenir compte des positions relatives, accidentelles, des diverses parties de la figure. Dans le premier cas on cherche péniblement dans les détails de la figure les éléments de la démonstration, et dans le second on combine logiquement des propositions abstraites, sans aucune entrave.

dérer cette équution camme un cas particulier de la relation générale à six segments, qui touEefois ne se trouve pas dans l'ouvrage de Pappus.

Dans la proposition i3i, la transversale est la droite qui joint les points de concours des calés opposés, et In proposition exprime que cette droite est divisée harmoniquement par les deux diagonales.

Kniin la proposition i3i est un cas particulier de i3i. La droite qui joint les points Je concours des cOtéa opposés est parallèle a une diagonale.

Il est à croire que les géomètres grecs n'ont pas connu explicitement las équations d'involution relalivea au quadrilatère inscrit dans une conique; mais ils ont eu l'équivalent dans la proposition qu'on appelle, d'après Descarlea, [e tiiéorènie do Pappus. et qui consiste en ce que le prodidc des distances de chaque poiiic delà courbe h deux eûtes opposé/ du quadrilatère est au produit des distances du inéme point aux

Le principe des signes étend même son influence sur l'énoncé des propositions ; car, lorsqu'elles ne se compliquent pas de conditions de situation, elles prennent une forme à la fois plus générale et plus concise, qui présente à l'esprit une idée plus nette et se prête mieux au raisonnement.

On a donc beaucoup perdu à ne pas introduire systématiquement dans la Géométrie pure le principe des signes; les progrès de la science en ont été nécessairement retardés.

Si l'on ne démontre ordinairement, comme nous l'avons dit, une formule ou relation que pour une certaine figure, et non dans l'état d'abstraction et de généralité qui permettrait, au moyen des signes H- et — affectés aux segments et aux angles pour marquer leur direction, de l'adapter indifféremment à tous les cas possibles de la figure, i! est facile d'en reconnaître la raison. C'est que les propositions qui forment le plus ordinairement les éléments de démonstration, dans la Géométrie ancienne, ne comportent pas l'application du principe des signes. Telles sont la proposition du carré de l'hypoténuse, celle de la proportionnabté des côtés homologues dans les triangles semblables, celle encore de la proportionnalité, dans tout triangle, des côtés aux sinus des angles opposes. La règle des signes ne s'applique point à ces propositions, puisque les segments que l'on y considère sont formés sur des lignes différentes et les angles autour de sommets différents.

A ces propositions classiques la Géométrie moderne en a ajouté quelques autres, notamment celles qu'on désigne sous le nom générique de théorie des transvejsales , lesquelles comportent l'application de la règle des signes. Mais on a négligé de reconnaître dans ces propositions ou, du moins, de mettre à profit cette faculté précieuse qui forme tme partie notable de leur valeur, et on ne les emploie que comme exprimant de simples relations numériques, sans y faire entrer les conditions de direction d'angles ou de segments, ainsi que nous l'avons dit au sujet des relations d'involution (' ).

( ' ) II ne faut pas perdra de vue que nous ii'oolendaïis parler ici que des Ouvrages

Il s'ensuit que les propositions déduites synthétiquemcnt de ce petit nombre de théorèmes qui forment les éléments de démonstration les plus ordinaires de la Géométrie ne concernent que les valeurs numériques des segments et des angles, et sont dépourvues d'une partie essentielle de la signification mathématique qui leur appartient.

Au contraire, nos procédés de démonstration s'appuient sur des propositions qui impliquent toujours par elles-mêmes le principe des signes, et qui le conservent et le transmettent dans toutes les déductions résultant de leur combinaison synthétique, comme cela a lieu en Géométrie analytique (').

Les imaginaires, en Géométrie pure, présentent de graves difficultés : souvent on ne sait comment les définir ni les introduire

de Géométrie pure; car les propositions, mémo celles de (a Ihéorie des transvcraalea, que l'on démontre par la Géométrie analytique, doivent porter l'empreint* du principe des signes, h moins toutefois qu'en passant des résultats du cnlciii k leurs expressions géométpiquea, on ne néglige de tenir compte des signes, ou qu'on ne fasse quelque erreur ou quelque bypothése contraire à la stricte application de la règle ordinaire des signes. C'est, en effet, ce qui a lieu dans plusieurs O g l Gé m i ly-

tique, à l'égard notamment des deux équations & six gm nt I t t glo

coupé par une transversale ou par un fuisceau de troi d t d somm Is;

ces deui formules s'y trouvent différenciées par <les sg pé mnt t ii

ceux qui leur conviennent. Cependant, dans l'Ouvrage d MMbu nttl C l il Ja/^'cenîri'yuB C), le premier, jH crois, où l'on ait don d ign b. du I tions, elles ont, ainsi que te rapport harmonique ds q t po ts 1 t blés

signes.

M. de Morgan a déjà (ail l'observation que la théori d p d 1 ppl u

de l'Algèbre à la Géométrie laisse parfois quelque cho d (O h n d of

Hsing the signe -l- and — in plane Geomelry. Voir The Cambridge and Dublin inathematicalJournaî, mai i85i}.

(') Les formules de la théorie des transversales se trouvent dans l'Aperçu historique, sous leur forme accoutumée, sans signes Mais depuis j'ai conçu l'utilité que la Géométrie devait retirer de l'emploi des signes, el, dès 1 ouverture du Cours do C^anieci'!>fu^^rf'eure, j'ai introduit systématiquement cette doctrine comme indispensable pour donner aux relations de segmenta ou d'angles leur signiflcalion complète ot à la Géométrie l'un des caractères de généralité que comporte t'Analyse.

•Ici, e:n neuei Hiil/smUUl lur anidytiscker, Bstaa. re on/ die BUdiing «eiier Claasen von ^,./gabsn w !,■ Segtliehnille ««geivendet ion Abjusi f erdlnond