XIV PREFACE

dans le raisonnement; et, d'autre part, les éléments d'une démonstration peuvent disparaître quand quelques parties d'une figure deviennent imaginaires.

Ces difficultés n'existent pas en Analyse, où les imaginaires se manifestent et se caractérisent par les racines d'une équation du .second degré, dont les coefficients seuls, et non les racines ellesmêmes, entrent dans les relations que l'on considère.

Nos théories donnent lieu aussi à certaines équations du second degré, qui permettent d'introduire, naturellement et dans un sens parfaitement déterminé, les imaginaires dans les spéculations géométriques; parce que ces objets imaginaires, points, lignes ou quantités, n'entrent pas eux-mêmes explicitement dans le raisonnement, mais s'y trouvent représentés par des éléments toujours réels qui peuvent servir à les déterminer. De la sorte, les démonstrations impliquent les cas où certaines parties d'une figure, telles que les tangentes à un cercle menées par un point donné, deviennent imaginaires, sans qu'on soit obligé d'invoquer le principe (le continuité dont M, Poncelet a fait un si heureux usage dans son savant Traité des propriétés projeclives des figures, mais qui ne pouvait répondre aux vues qui m'ont dirigé dans la méthode suivant laquelle je traite la Géométrie.

Pour bien expliquer ma pensée à cet égard, je vais entrer dans quelques détails.

Rappelons d'abord ce qu'on entend ici par le principe de continuité.

Certaines parties d'une figure considérée dans un état général de construction, peuvent être réelles ou imaginaires, îndiiféremment; par exemple, s'il se trouve dans la figure un cercle et une droite, sans aucune condition de position relative, les points d'intersection de ces deux lignes seront tantôt réels et tantôt imaginaires, quoique la figure reste dans un état de construction général. Quand ces parties sont réelles, nous dirons que le fait de leur existence forme une propriété contingente de la figure, et, pour distinguer ces parties elles-mêmes de celles qui sont absolues ou permanentes, nous les appellerons parties contingentes.

Cela posé, il arrive souvent que ces parties contingentes (e'est-àdire qui peuvent être indifféremment réelles ou imaginaires) servent utilement, dans le cas de la réalité, pour la démonstration