SÏSTÈME DE DEUX POINTS OU DE DEUX DROITES I M A G IN AIRES

§ I. — Manière de déterminer simultanément deux points s Points imaginaires.

90. Deux points sont déterminés simultanément sur une droite quand on connaît leur point milieu et le produit, ou rectangle, de leurs distances à une origine commune prise sur la même droite.

Soient o, a' les deux points (fîg- i i)j t^ leur point milieu et de produit de leurs distances au point fixe M; on a

P = Ma.Mii' — Ma

«n = AU — i',

-sjm

Ainsi, la détermination des deux points dépend de la construction de l'expression y Mi l'oriiiinc M sont

p; et les distances des deux points à

On peut donc dire que deux points sont représentés par un point, qui sera leur milieu, et un rectangle, qui sera le produit de leurs distances à une origine commune.

Quand le rectangle v est négatif, l'expression yM«:'-^i' est toujours réelle, et la détermination des deux points s'effectue toujours. Mais, quand le rectangle i- est positif, il faut, pour que

SÏSTKMliS IM.U

l'expression y Ma — l'soit réelle, que Mk soilplus grand que c; s'il esl plus petit, l'expression est imaginaire et les deux points cherchés n'existent plus. On dit alors qu'ils sont imaginaires.

Nous appellerons points conjugués ce système de deux points déterminés simultanément par deux données, savoir, leur point milieu et le produit ou rectangle de leurs distances à une origine

91. On peut, en impliquant ces deux données dons une équation du second degré à une seule inconnue, représenter les deux points par cette seule équation, car on a

Mf( +Mrt':= 3M« et h\n.Ua'~.i',

d'où

Mfl"— 2MH.M«-h 1' — o, ou, en représentant Ma par x,

Les racines de cette équation sont donc les distances des deux points a, a' à l'origine M, Quand ces racines seront imaginaires, on dira que les deux points sont imaginaires.

92. Ainsi l'on conçoit Lien ce que nous entendrons par deux points imaginaires sur une droite; cela signifiera que les deux données ou éléments t\\ii servent à la détermination des deux points, savoir, leur point milieu et le rectangle de leurs distances à une origine commune, donnent lieu à une expression imaginaire des distances de ces points à l'origine, ou bien que l'équation du second degré qui suffit pour représenter les deux points a ses racines imaginaires.

Quand nous parlerons de deux points imaginaires, il sera question de deux points conjugués déterminés comme il vient d'être dit, lesquels pourront avoir, avec une figure donnée, certaines relations au moyen de leurs deux éléments, et il ne s'agira pas de deux, points quelconques indépendants l'un de l'autre, tels que

o6 TRIITE DE GEOMETRIE SVPEBIEURE. -

deux points qui appartieftclraicnt à Jeux systèmes différcnls de points conjugués.

93. Le produit des distances de deux points imaginaires à un point réel pris sur la même droite est i-éel et toujours positif.

Les deux points imaginaires sont déterminés par leur point milieti c. et le produit de leurs distances à une origine m; ce produit étant t', les dislances sont (90)

SI l'on change d'origine, et qu'on prenne le point M, on a ma =Ma —Mm, m«' = M«' — Mm, ma.ma' = Ma.^l,i'—{!Aa -h W n' ) Mm + Mm^

Or, ma. ma'— l'^i Mrt-l-Mrt'= aM:^; il s'ensuit que

Mfl.M^i'=25lH.Mm 4-r — M/»;

Ainsi le produit M«.Mn' est toujours réel.

Il est toujours positif. En effet, on peut écrire

M«,M«'=M«"— [M« — Mm )- + <■-

Or, M :c— M »; = »;«; donc

( iiLo. — w) est négatif par hypothèse, puisque les deux points sont imaginaires; donc M« — {ma — v) est une quantité positive; donc Md.Mrt' est positif.

Autrement. On simplifie la démonstration en représentant les deux points imaginaires par l'équation du second degré

dont les racines sont les distances des deux points à une origine commune m.