SYSTEMES IMAGINAIRES. S

Remplaçant x par a'-f- A, on a l'équation

(lonL les racines expriment les distances des deux points à une autre origine M, déterminée par la valeur attribuée à A. Le produit de ces distances est égal à (A^-H « A-t-è), quantité réelle et toujours positive, car elle se met sous la forme

et chacun des deux termes est positif, le premier comme étant un carre, et le second (b — - ] parce que les racines de l'équation proposée, savoir,

sont imaginaires, par hypoihè

§ II. — Relations entre des points réels et des points imaginaires.

94. Deux points imaginaires peuvent avoir des relations réelles avec différentes parties d'une figure, par exemple avec des points réels. Ce seront des relations dans lesquelles les deux points imaginaires seront représentés implicitement par leurs deux éléments, c'estrà-dire dans lesquelles entreront ces deux éléments.

Ainsi, supposons que dans une figure on ait trouvé entre trois points en ligne droite e,y, a, le point milieu O des deux premiers et un autre point m de la même droite cette relation

c étant un rectangle ou produit de deux lignes dépendant de la figure. On peut regarder ce rectangle et le point a comme les e/einents de deux points a, a' (réels ou im.aginaires), le point a étant leurpoint milieu et le rectangle !< le produit de leurs distances au point m; l'équation pourra donc s'écrire

et elle exprimera une propriélé de la figure, relative aux deux, poîiiis déterminés par les deux éléments « et w.

Si les deux points sont réels, on pourra les substituer, dans l'énoncé du théorème exprimé par l'équation, au rectangle v, et, s'ils sont imaginaires, on pourra soit conserver ce rectangle dans l'énoncé du théorème, soit y introduire la notion des deux points imaginaires, mais en sous-entendant la définition que nous avons donnée (92) de ces points fictifs,

95. La propriété qu'exprime l'équation que nous venons de prendre pour exemple, c'est que les deux points a, a', qui ont pour milieu le point «, sont conjugués haiinoniqiies par rapport aux deux e,y(70).

Ainsi l'on peut concevoir deux points imaginaires, conjugués harmoniques par rapport à deux points réels; cela veut dire que les deux points réels ont avec les éléments qui représentent le système des deux points imaginaires les relations qui expriment d'une manière générale le rapport harmonique de quatre points réels, conjugués deux à deux.

96. Nous avons vu que quand les deux points imaginaires sont donnés, ainsi que le milieu des deux autres points, ceux-ci sont toujours constructibles, et par conséquent toujours réels (81). Il s'ensuit que, quand deux couples de points a, i/ el e, f sont en rapport harmonique, l'un des deux couples seulement peut être imaginaire, et que l'autre est toujours réel.

Si l'on donne le système des deux points imaginaires a, a' et l'un e des deux points réels, le secondy se déterminera par la relation

dans laquelle les deux points imaginaires entrent par leurs deux éléments, savoir leur point milicii a et lereclang-iecfl.ert' de leurs distances au point e.

97. Quand deux systèmes de points sont représentés respectivement par deux équations du second degré,

SY5TËUI!S IHAGIXAlftES. 5ç|

les relations que ces points doivent avoir entre eux s'exprimeront au moyen des coefficients a, h, a', b', qui équivalent aux deux éléments de chaque couple de points. S'il s'agit de la relation harmonique, elle s'exprimera par l'équation

qui équivaut à

o, cl' étant les milieux des deux couples de points, et t', (^ les produits de leurs distances à l'origine in (70).

98. Observation. — Bien que nous exprimions le rapport harmonique de quatre points par une équation de condition entre les éléments des deux couples de points, il ne faut pas songer à exprimer de même le ra])port anharmonique de quatre points, La chose n'est possible dans le premier cas que parce que les deux points de chaque couple entrent d'une manière symétrique dans la relation harmonique, de même que dans chacun de leurs deux éléments, de sorte que l'on peut changer un point en son conjugué, et vice versd.

Si l'on pouvait exprimer que le rapport anharmonique —,: -7^

des deux couples de points a, d et e,/est égal à X par une relation entre X et les quatre éléments des deux couples de points, cette relation n'indiquerait pas dans quel ordre on devrait prendre les deux points n, «', non plus que les deux e,f, de sorte que l'on ne saurait pas si le rapport anharmonique est

ufa'f ai-^'e-

g ni. — Autres éléments par lesquels on peut déterminer deux points imaginaires.

99. On sait construire le point conjugué hai-monique f à\ii point donné e par rapport à deux points réels ou imaginaires a, a' (96). Ce point, qu'on appelle aussi le centre des moyennes harmoniques des deux a, a' par rapport au point donné (66), est

Co TR\ITË

toujours réel, de même que le point milieu des deux points a, a' elle produit de leurs distances à une origine commune. De ces trois choses, le point milieu des deux points, leur centre des moyennes harmoniques par rapport au point donné et le rectangle de leurs distances à une origine commune, deux suffisent pour déterminer la troisième, et par conséquent pour définir les deux points.

En effet, qu'on représente le produit ma. ma' par c, l'équation (7) (70) s'écrit

relation entre les deux éléments V et a des deux points a, a', réels ou imaginaires, et leur centre des moyennes harmoniques y relatif

■iOO. On pourrait donc prendre, pour déterminer le système de deux points conjugués susceptibles de devenir imaginaires, d'autres éléments que le point milieu et le rectangle, que nous avons choisis parce que ce sont les deux éléments qui se présentent le plus souvent dans les spéculations géométriques et qui entrent explicitement dans l'éqtiation du second degré qui suffit pour représenter les deux points.

En général, on peut prendre toute relation géométrique qui conduit à une équation du second degré. Par exemple, ayant sur une droite quatre points fixes A, A', B, B', on déterminera la position de deux points a, a' si l'on exprime que le rapport des produits des distances de chacun d'eux aux deux couples de points A, A' et B, B', respectivement, a une valeur donnée, c'est-à-dire que l'on a

Une manière de déterminer deux points, qui se présentera trèssouvent dans la théorie des sections coniques, sera de les considérer comme divisant harmoniquemenl deux segments à la fois, ces segments pouvant être réels ou imaginaires.

On détermine encore deux points conjugués par le système d'une droite et d'un cercle, ou d'une droite et d'une section co-

, eL de diverses autres nianicres, comme nous le verrons dans

§ IV. — Du système de deux pointa imaginaires en rapport harmonique avec denx points réels.

101, La plupart des relations entre deux couples de points en rapport harmonique que nous avons démontrées dans l'hypothèse de quatre points réels ne sont plus applicables dans le cas où deux de ces points sont imaginaires, comme il peut arriver (9^), c'est-à-dire que ces relations peuvent ne plus avoir de sens explicite; les segments qui y entrent sont en quelque sorte désagrégés et ne représentent que des quantités imaginaires, lesquelles ne sont rien par elles-mêmes, considérées isolément; par exemple, la relation

n'a pas de sens explicite si a et a' sont imaginaires; celle-ci non

et beaucoup d'autres.

Mais, si l'on admet que l'on puisse faire sur les quantités imaginaires les mêmes opérations d'addition, de multiplication, etc. , que sur les quantités réelles, principe pratiqué en Algèbre, alors on déduira de chacune de ces équations une relation où les deux points a, a' n'entreront que par leurs deux éléments, et cette relation sera une expression explicite et intelligible du rapport harmonique des deux points imaginaires a, a' avec les deux points réels c,y- Par exemple, la seconde équation ci-dessus doi

équation où n'entrent que les deux éléments des deux points imaginaires, savoir leur point milieu a et le rectangle ea.ea' de leurs distances au point e.

6a THAITÉ DE G

On pourra donc exprimer les dépendances existant entre deux points imaginaires et des parties réelles d'une figure, dépendances qui, au fond, ne peuvent contenir que les éléments des deux points, par les relations générales qui conviennent au cas de points réels et dans lesquelles ces éléments n'apparaissent pas explicitement. Mais alors les segments qui entrent dans ces relations, comme dans

doivent être considérés comme des sjniboles, au moyen desquels on fait allusion au cas où les points seraient réels, et qui, combinés entre eux, comme dans ce cas spécial, conduisent à des relations où n'entrent que les éléments des deux points; de sorte que la relation symbolique primitive n'est, au fond, qu'une expression de cette relation entre des éléments ton^onTs réels.

Il sera donc permis d'employer ces relations symboliques, ou, en d'autres termes, de raisonner sur des points imaginaires comme on le ferait dans le cas analogue où ces points seraient réels.

^ V. — Manière de déterminer simultanément deux droites conjuguées passant par un point donné. ~ Droites imaginaires.

102. On peut déterminer la position de deux droites issues d'un point donné par celle des deux points où ces droites rencontrent une droite fixe ; et quand ces deux points seront imaginaires, on dira que les deux droites sont elles-mêmes imaginaires.

On peut aussi déterminer les deux droites directement par les angles qu'elles font avec un axe fixe mené par leur point de concours. Ces angles seront représentés par leurs tangentes ou cotangentes, et la position des deux droites sera déterminée quand on connaîtra le produit et la somme des cotangentes. Soient to, w' les deux angles, S et P la somme et le produit des deux cotangentes; celles-ci seront les racines de l'équation du second degré

IMAGl^'MRES. 63

La somme des (ieiix cotangenles fixe la position d'une droite qui est la conjuguée harmonique de l'axe fixe par rapport aux deux droites clierchées A, A' : car, appelant F cette droite conjuguée et E l'axe fixe, on aura

3cot(E,F)=co[(E,A)-+.cot(E,A'} (87) on

2co[[E,F) -=cotiu 4- cotfu'.

On peut donc dire que deux droites sont déterminées simultanément quand on connaît le produit des cotangentes de leurs inclinaisons sur un axe fixe et la droite conjuguée harmonique de cet axe par rapport aux deux droites cherchées. Cette droite et le produit des cotangentes des inclinaisons peuvent èlrc considérés comme les éléments propres à la détermination des deux droites.

Les deux droites, nonobstant la réalité de ces deux éléments, ^^wi&aXtlTQ imaginaires. Ainsi l'on voit ce que nous entendrons par droites imaginaires représentées par deux éléments réels, comme le sont deux droites réelles.

Ce que nous avons dit des systèmes de points imaginaires et de leurs relations avec d'autres parties réelles d'une figure s'appliquera naturellement aux systèmes de droites imaginaires.