IV. — Equation à quatre termes
137, Soient a un point fixe de la première droite, h' un point fixe quelconque de la seconde, et m, m' deux points correspondants quelconques des deux droites ; on aura entre les deux segments am, b'm' la relation constante
J, p, V étant des coefficients constants.
Pour démontrer l'équation, considérons sur la seconde droite le point a' correspondant au point a de la première, et sur celle-ci le point b correspondant à b' de la seconde ; on a
DIVISION HOMOGRAPHIQUE.
Nous voulons ne conserver que les segments i çons donc bm et c^m par leurs expressions
, l/ir/; rempla-
-ab){l,'n.
^A-.ab.b'a' = o{''
Il est clair que dans cette équation, de même que dans plusieurs des précédentes (128, 132), les segments am, Viri ont nécessairement des signes. Cela résulte d'ailleurs de la démonstration même, car, s'il n'est pas indispensable de donner des signes aux segments dans l'équation (a), il n'en est pas de même dans les relations (6) : les segments j ont nécessairement des signes (2) ; par conséquent, ils en ont aussi nécessairement dans l'équation que nous avons déduite de celles-là.
138. Soient sur les deux droites les points Jet J', dont le premier correspond à l'infini de la seconde et le second à l'infini de la première ; on aura
Im.J'm'=const. (126).
Or
\m-=am—a\ et J'm'= b'm -- fi'J'; donc
(«m — aI)[É'm'— //J') = const., am.b'm' — am.b' i' — b'm' .al ^ consl.
(•) On peut, à la pla<
.B k, inipoduire deus pointa homolggues
is homtjgtaphiques déterminées par ti
- GHAPITBE VII.
139. Pour déterminer l'expression géométrique de la constante, supposons que le point m coïncide avec a, et soit <^ la position correspondante du point m'; on aura
— b'a' .aï = const.; ou bien, en supposant que m' coïncide avec b et m avec è,
— ab .b'i' :l^ const.
L'équation devient donc
ou, indifféremment,
am.b'm' — am.b'V— h'm' .a\-^ b'J'.ab= o.
140. Réciproquement ; Si l' on prend sur deux di'oites, àpartir de deux points fixes a, b', deux segments am, b'm' ajant entre eux la relation constante
les deux points m, u^ formeront deux divisions komo graphiques.
En effet, supposons le point m à l'infini, et soit J' la position correspondante du point W, l'équation, divisée par am =z oo , se réduit à
d'où
Pareillement, en supposant que le point m* soit à l'infini et en appelant I le point m qui lui correspond sur la première droite, on
trouve
L'équation proposée devient donc
am.b'm' ~ b'T .am~ al.h'n.
aI.è'J'-Hv = 0.
HOMOGIlAPHiOldî.
Le second membre est constant. Donc les deux points m, m' marquent deux divisions homographiques (126).
141. Nous avons trouvé les expressions géométriques des trois coefficients i,p:, v, en partant de l'équation Im.J'm'=const, (138). mais on les détermine aussi directement. Soit I le point de la première droite qui correspond à l'infini de la seconde; on aura, en faisant dans l'équation b'm' infini,
et pareillement ^ ^^ — b'i', J' étant le point de la seconde droite qui correspond à l'infini de la première. L'équation devient donc
Quant à la constante v, nous avons vu (139) comment on trouve ses deux expressions al.b'a' et h'3'.ah, de sorte que l'équation devient
am.b'ni'— h' j' .am — til. b'm' -h al.b'a' {on b'i'.ab]=o.
I] est facile de vérifier l'égalité des deux valeurs de v et d'en voir
l'origine; car l'équation nI.Â'a'=: A' J'.oè s'écrit —7 =:; p—, ) et
sous cette forme elle exprime que le rapport anharmonique des quatre points a, b, I, co est égal à celui des quatre points correspondants ce, y, 1X3 , y.
