VI. — Nouvelle équation à tivis termes

1-43, L'équation qui préeède procure immédiatement une équation à trois termes ; car, si l'on prend pour le point a, qui est arbitraire, le point I, l'équation se réduit à

Im.b'm' — h-y .cm ■~\c.b'c'=o.

Ainsi, on peut dire que l'iiomograpli ic de deux divisions s'exprime par l'équation

VII, — Equation homogène à quatre termes.

1-44, Quand deux droites sont divisées homo graphiquement, si l'on prend sur la première deux points fixes quelconques a, c et sur la seconde deux points fixes quelconques b', d', la division komographique sera exprimée par la relation homogène

Soient p et q' les points situés à l'infini sur les deux droites respectivement ; l'équation peut s'écrire

,, lam ap\ /b'm' b'q'\ J am ap\ Ih'm' b'q'\

Cette équation étant formée de rapports anharmoniques, on peut dire qu'elle dérive de l'équation (i), même quand les points p et ^' sont pris à des distances finies (20), de sorte que, si l'équation (i) exprime la division liomo graphique de deux droites, l'équation (a), dans laquelle a, c, p sont trois points fixes pris arbitrairement sur une première droite et h', d', q' trois points fixes pris arbitrairement sur une seconde droite, exprimera aussi la division homographique des deux droites. Mais dans celle-ci on peut

DIVISION HOMOGRAPHIQUE. 9^

supposer que les deux points c et d' soient à l'infini, et alors elle devient

ap b'q' ap b'q'

Donc, si la division homographique de deux droites est exprimée par r équation {i), elle le sera aussi par l'équation (3)-

Et réciproquement, on remonte de celle-ci à l'équation (i). Mais l'équation (3) exprime la division homographique de deux droites (137); donc l'équation (i) l'exprime aussi. c. q. f. d.

145. Les trois constantes X, [n, v ont des expressions g;éomctriqucs très-simples, dépendantes des quatre points donnés a, c, b' , d' el des quatre a', d, h, d qui leur correspondent dans les deux divisions. Supposant que le point m se confonde avec c, et par conséquent ;ra' avec d, on conclut de l'équation cette valeur dei,

et pareillement, en faisant coïncider le point m' avec d' ,

Puis, en supposant que le point m se confonde avec a et ensuite avec b, on en conclut ces deux expressions différentes de v,

adbW

'" cd d'à'

L'équation (i) devient

,' h'</ am ad

et le dernier terme peut être remplacé par — — ; —■

D'après les expressions des trois constantes 'k, y., v, on volt que, quand ces coefficients sont donnés numériquement, on peut en conclure immédiatement la position des quatre points a', c', b, d,

94 TRAITE DE GEOMETKIB SEPERJEURE. — CHAPITRE VII.

qui correspondent respectivement aux quatre points donnés a, c, h', d'.

146. Remarquons que l'équation (4) peut s'écrire de manière que tous ses termes soient formés de rapports anharmoniques, ce qui nous permettra de l'appliquer à deux faisceaux homographi-

^ cdj \am' rfV )

On peut déduire de cette équation générale toutes celles à deux, à trois et à quatre termes données précédemment ; mais il est inutile d'entrer dans ces détails.

VIII, — Equations à plusieurs termes.

147. Soient A, G, E, G, ... des points fixes sur une première droite, et B', D', F', H', . . . des points fixes sur une seconde droite; si sur ces deux droites on prend deux points -variables m, m', de manière que l'on ait la relation constante

a.Am.BW+ë.Cm.D'm'-l-.,.

-I- s.EA/i-Hf.F'm' + Ï.GmH-n.H'm'-i-. . . = v,

ces deux points m, m' /armeront deux divisions homographi// ues.

En effet, cette équation se ramène à l'équation à quatre termes

Am.B'ra'+l.Am + ^.B'w' -1-^ = 0 (137).

Il suffit d'exprimer tous les segments en fonction de deux seuls, comptés à partir de deux origines, telles que A et B', en faisant

Cm=A.m — AC, D'ra' = B'm'— B'D', Em = Am ~ AE, F'w' — B'ra' — B'F',

La proposition est donc démontrée.

PAISCEA.1E1, HOMOGRAPMIQUES. 95

148. Ce qui distingue la forme de cette équation à plusieurs termes, de même que toutes les précédentes, c'est qu'il n'y entre pas le produit de deux segments relatifs au même point m ou tti', d'où il résulte qu'à un point m ne répond qu'un point m', et réciproquement. C'est là la propriété fondamentale et caractéristique des divisions honiographiques.

g n. — Faisceaux homo graphite s.

làQ. On peut exprimer l'homographie de deux faisceaux en les coupant par une ou deux transversales et en exprimant qu'ils font sur ces droites deux divisions homographiques ; mais on peut aussi se servir de relations générales entre les sinus des angles que deux rayons homologues font avec des axes fixes. Ces relations seront de diverses formes, de même que celles relatives aux divisions homographiques de deux droites.