I. — Équations à deux termes

Soient quatre rayons A, B, C, M du premier faisceau, et les quatre rayons correspondants A', B', C, M' du second faisceau ; on aura (51 )

sin (A, M) . sm(A. C) sin(A', M') , sia(A', C)

d(B', M')*sin(B',G')

sin (A, M)

t(A\MO rsin(A.C) , sin(li, M) sin[B',M') Lsin(B, CJ " sin(B', C) J '

ou, en représentant par 1 le facteur constant du second membre,

siu(A,M) sm(AMW') ^ ' sin(B,M)~ sm(B',M'j

Ainsi, cette équation exprime que les deux rayons M, M' qui tournent autour de deux points fixes forment deux faisceaux homographiques.

ISO. Si les deux droites fixes A, B sont rectangulaires, le rapport ■■. ■ ' — -; devient tangfA, M), et semblahlement si les deux ^ sm[B, M) o\ ' /'

«jlJ TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE. -

droites A', B' sont aussi rectangulaires, de sorte que l'équation

(2) taiig[A, M)^ltang(A', M')

exprime que les deux droites M, M' forment deux faisceaux liomographiques.

Dans cette équation, où la direction de chaque rayon OM ou O'M' se détermine par rapport à une seule droite OA ou O'A', il faut convenir du sens dans lequel on comptera les angles positifs autour des deux centres O et O'.

151. Cas PARTicuLiEa. — Deux faisceaux dans lesquels les angles de l'un sont égaux respectivement aux angles de l'autre sont honio graphiques .

Cela est évident, car le rapport anharmonique de quatre rayons du premier faisceau est égal à celui des quatre rayons homologues du second faisceau, puisque les angles du premier faisceau sont égaux à ceux du second.

Ainsi l'homographie s'exprimera par l'équation

(3) angle (A, M) =±: angle (A', M').

Les deux faisceaux peuvent présenter deux cas différents, relativement au sens dans lequel tournent leurs rayons respectifs. Si les rayons tournent dans le même sens, les deux faisceaux, que nous supposons avoir le même centre, peuvent être rendus coïncidents par une simple rotation de l'un d'eux, et, si les rayons tournent en sens contraire, il existe toujours deux rayons dont chacun, considéré comme appartenant au premier faisceau, est lui-même son homologue dans le second faisceau; ces deux rayons sont rectangulaires, et les deux faisceaux sont placés symétriquement de part et d'autre de chacun d'eux : nous dirons, dans le premier cas, que les deux faisceaux sont semblables, et, dans le second, qu'ils sont symétriques.

II, — Equations h trois termes.

152. On a entre les quatre droites A, B, C, M et leurs homologues A', B', C, M' l'équation

sin(A. Ml.siu(A, C) sin(C', M') . sin(C'. A' )

sin(B, M)'sin(B, C) "^ sin{B', M') " sin(B', A') '" ^ >'

yGoosle

sin(B'. A')

; il

sinlA, M) sii

(B, M) ■ sin[lJ', M') '

Ainsi, élanl données deux droites fixes A, B, deux autres droites fixes C, B' et deux constantes 1 et ft, cette équation exprime que les deux droites M, M' forment deux faisceaux homographiques. Dans ces deux faisceaux, les droites B, B' sont deux rayons correspondants; mais les rayons A et C ne se correspondent pas et sont pris arbitrairement.

On peut prendre A perpendiculaire à B et C perpendiculaire à B'; l'équation devient

tLLng-(B, M) t;mg(BM\i')

(6) i tanf-'^A, M) -h/i taLtg(C', M') = i.

Mais iei il faut bien observer que, quand les deux faisceaux sont donnés, A et C ne sont pas deux droites quelconques, car il faut que les perpendiculaires B etB' à ces deux droites respectivement soient deux rayons correspondants des deux faisceaux.

1S3. L'équation (3) donne lieu à cette propriété de deux faisceaux homographiques : Etant pris un rajon du premier faisceau, on peut toujours déterminer deux autres rayons faisant, avec celuilà deux angles égaux respectiwement à leurs homologues dans le second faisceau, mais l 'un auec le même signe et l'autre ncec wi signe contraire.

En effet, les deux angles formés à partir du rayon B et satisfaisant à la question seront déterminés par l'équation

III. — Équatiuns h qutiti-e termes, 15i. L'équation liomogènc à quatre termes (l-iîJ) qui exprl