II. — Problème de la Section de raison

i4. Étant données deux droites AL, BL', on demande de mener par un a une transversale qui forme sur ces deux droites, à partir de deux

QUESTIONS PIVEnSF.S. 2o3

poliiu Jî.res A, B, deux segments Aa, Ba' qui soient entre eu.r dans une raison donnée 1.

Concevons sur les deux droites \^g. 35) deux points variables «, a' lies entre eux par la relation

il". foimLiunt deux divisions lio r^uphiques de sorte que la question sera de mtner par le point p une transversale qui rencoutre les denx droites en lieux points homologues de ces divisirns, ce qui est un cas particulier de la question générale (300).

Nous diions donc que, le point a étant pris arbitrairement sur la droite

AL etlepoint a' d^ierminé par la rebtion — ; =: 1, si l'on mène le rayon pci'

qui rencontre la droite AL en un point «', ce point et le premier a formeront deuï divisions homograpliiques dont les points doubles fourniront les deux solutions de la question.

D'après cela, voici comment on construira ces points en se servant des points I et J', qui dans les deux divisions correspondent h l'infini ( ifil ).

Pour le pointi (position de a quand «' est à l'infini], on mènera par le point p [fig. 36) la parallèle à AL, laquelle rencontrera BL' en I', et l'on

prendra —— = 1. Le point V (position de a' quand a est à rinfini) se

détermine immédiatement par la droite pJ' parallèle à BL'. Soit O le milieu du segment IJ' ; il faut considérer ce point comme une position du point a et chercher la position correspondante de «'. Pour cela, on déterminera

sur BL' le point il' par la relation - — ; ::.--. À, et l'on mènera la droite pil' qui rencontre AL en 0'.

Enfin on prendra, de part et d'autre du point 0, les points e, / déterminés par la relation

oe = ~ 0/= \jmyAyy.

IjCS deux droites pe, p/ satisferont à la question, c'est-à-dire qu'elles ren~ contreront la droite BL' en deux points e',/ tels, que l'on aura

305. ObSERVATIOS BELATIVE AUX SIGNES DES SEGMENTS. ~ POUr faire

usage de la relation -— = )., il faut donner des signes aux segments comptés