CHAPITRE XV

CUESTIORS DONT LA SOLUTION SE BiMÈNE A lA CONSTBLCTlOfi CES POIN' DOUBLES BE DEUX DIVISIONS HOIBOGRAFIIIQUES SUR UNE MÊME BBOIIE.

§ I, — Exposé de la méthode.

298. Il existe un grand nombre de questions qn'on pcutramener à la construction des points doubles de deux divisions horaographiques; de sorte que ces questions, qui, en Analyse, dépendent d'équations du second degré ou d'équations de degré supérieur qui se ramènent au second, se résolvent toutes par une construction uniforme, quoiqu'elles puissent n'avoir en apparence aucun lien de siniiKtude ; et cette construction est toujours irès-simple, même dans le cas où, par les méthodes ordinaires, on éprouverait des difficultés réelles, surtout à raison de la multiplicité des racines, qu'on ne pourrait éviter dans la mise en équation du problème.

Les deux divisions homo graphique s, dans chaque question, sont déterminées par trois couples de points correspondants. Les deux points de chaque couple sont donnés par une sorte de construction d'essai, qui n'est la bonne que quand les deux points qu'elle détermine se trouvent coïncidents. Cette méthode a de l'analogie avec les règles Ae fausse position en Arithmétique, et cette analogie est réelle; car, quoique fondée sur une construction géométrique, la méthode s'applique à la résolution d'un système d'équations du second ou du premier degré, et, pour celles-ci, la construction, traduite en Analyse, donne les mêmes expressions des racines que les règles dejausse position que l'on connaît {' ).

A raison de la diversité et de l'étendue de ses applications, cette méthode peut mériter ici une attention particulière; car ce qui

manque en Géométrie, ce sont des méthodes f^éiiérales et uniformes, propres cliacune à un grand nombre de questions, comme il en existe en Analyse.

La méthode dont il s'agit satisfait complètement à cette condition.

Au nombre des questions auxquelles elle s'applique se trouvent, parmi les plus faciles, celles qui ont fait le sujet des trois Ouvrages d'Apollonius, intitulés De la Section de raison. De la Section de l'espace et De la Section déterminée. Chacune de ces questions exigeait un grand nombre de propositions. Pappus rapporte qu il s'en trouvait dans le Livre de la Section de raison cent quatrevingt^une; dans celui de la Section de l'espace cent vingt-quatre, et dans celui de la .Section rfefeî'mrne'e quatre-vingt-trois. C'est que la solution ne se faisait jamais directement pour le cas le plus général de la question ; on procédait par cas particuliers, en s'élevant des plus simples à de plus composés ; la solution de chaque cas reposait toujours sur la solution des cas précédents. Outre cela, chaque problème donnait lieu à autant de questions différentes qu'il y avait de variétés dans les positions relatives des diverses parties de la figure. Dans les deux siècles derniers, où ces problèmes ont occupé d'éminents géomètres, don t plusieurs ont cherché à rétablir les trois Ouvrages d'Apollonius, c'est cette marche longue et pénible qu'ils ont encore suivie; et, bien qu'ils aient cherché à renfermer la solution de chacun de ces problèmes dans le plus petit nombre possible de propositions, il en a toujours fallu plusieurs pour s'élever des cas particuliers à la question générale. Ainsi, J. Leslie, dans son j4nalj'se géométriijue, consacre àla. Section de raison quatre propositions (propositions l-4> du second Livre), à la Section de l'espace six (propositions S-10) et à la Section déterminée huit (propositions H-18}; ce qui fait dix-huit propositions, tandis que par notre méthode une solution unique suffit pour les trois questions considérées dans leur énoncé le plus général,

La seconde solution que nous avons donnée du problème de la Section déterminée (291) est fondée sur cette méthode et pourrait suffire pour en montrer les usages; mais nous allons en présenter diverses autres applications, en choisissant principalement les questions qui, sous des énoncés généraux, comportent un grand nombre de corollaires et de qiiestions particulières.

§ IL — Questions où l'on considère deux divisions homographiqiies sur deux droites. Problèmes de la Section de raison et de la Section de l'espace.

299. Deux divisions homographiques sur deux droites dimnent lieu k deux genres de questions diff'érentes ; dans les unes on se pi-oposera de déterminer deux points homologues satisfaisant à certaines conditions, et dans les autres de déterminer deux segments homologues satisfaisant aussi à des conditions données.

Ces questions peuvent se présenter siius des formes trùs diverses; nous n'en donnerons ici que quelques exemples, le mode de solution étant toujours le même.

300. Étant données ntr deux dioitcs KL, EL' dcu^r. dh'isiiins homogra~ phiques, on demande de mener, par deux points donnés P, P', des dmites aboutissant à deux points homologues a, a' des deux divisions et faisant entre elles un angle de grandeur donnée.

On prendra arbitrairement le point a [fig. 34 ) sur la première droite AL, et l'on déterminera sur la seconde BL' le point homologue a' de la seconde division; puis on mèaera la droite Va' , et, par le point P, une droite fabant avec P' a' un angle égal à l'angle donn^ : cette droite rencontrera AL en un point «', Les deux points o et k' formeront deux divisions homographiques. En effet, les deux rayons P'a' et Pk', qui font entre eux un angle de grandeur constante, forment deux faisceaux holographiques (151), et, par conséquent, leurs traces a' et a' sur les deux droites BL' et AL, respectivement, forment deux divisions homographiques ; mais a' et a forment aussi deux divisions homographiques par hypothèse ; donc les deux points a et «' forment deux divisions homograjjhiques (106), et il est évident que chacun des deux points doubles de ces divisions fournit une solution de la question.

Comme on peut mener par le point P deux droites faisant avec Va' un angie égal à un angle donné, sauf le cas oii cet angle est droit, la question aura en général quatre solutions, et deux seulement quand l'angle donné sera droit.

301. Trois couples de points tels que a et «' suiEront pour déterminer les deux points doubles cherchés. Or, quand on prend sur la droite AL un point a et qu'on détermine le point a' conformément ii l'hypothèse, et le

lO'i IRAITÉ DE GEOMETRIE SUPERIEURE. — CHAPITRE XV.

rayon Pa' faisant avec Va' l'angle donné, on peut considérer ([u'ou fait une construction d'essai qui réussirait si le rayon P«' coïncidait avec Pu, mais qui donne, en général, une erreur marquée par le segment o«', qui devrait être nul; et c'est au moyen de trois erreurs semblables données par trois constructions d'essai quelconques que l'on résout la question. Il y a donc une certaine analogie, comme nous l'avons dit, entre cette méthode générale et les règles arithmétiques de fausse position.

Mais on conçoit qu'ici l'on devra faire choix des données particulières qui sont propres i simplifier estrémement, comme nous l'avons vu ( 162 ] , la construction des deux points doubles de deux divisions homographiques, construction qui constitue la solution générale du problème.

302. On peut donner à la question un énoncé plus étendu, en demandant que les deux droites menées par les deux points fixes, au lieu de faire entre elles simplement un angle de grandeur constante, soient deux rayons homologues de deux faisceaux homographiques donnés. I^ question alors n'admet que deux solutions.

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