III. ^- Problème de in Sactioii de l'espace

306. Étant données deux droites AL, BL' sur lesquelles sont deuz points fixes A et B, on demande de mener par un point p une transversale qui forme sur les deux droites deux segments Aa, Ba' dont le produit ait une valeur donnée v.

Si l'on prend sur les deux droites IJÎg. $7 ) doux points «, a' sntisfiûsant

ces points forment deux divisions hom "graphiques (127); et il s'agit de mener par le point p une droite passant par deux points homologues des deux divisions.

La droite pa' rencontre AL en «', et les deux points a, a! forment deux divisions homographiques dont les points doubles fournissent les solutions de la question.

La droite pB marque sur AL le point J'. Pour le point I, on mène pi' parallèle à AL, qui marque sur BL' le point ï', et l'on détermine le point I par la relation AI . BI' — -j . On prend le milieu O du segment U' , et sur BL' le point il' déterminé par AO.Ba'^v; la droite pil' marque sur AL le point 0'. Enfin on prend, de part et d'autre du point 0,

Oe = — 0/= v'ÔO'.OJ^,

Les deux droites pe et p/ résolvent la «uestion.

Si le sens des sej-ments positifs n'est pas prescrit, le problème admeiti-a quatre solutions, de même que le précédent.

307. Étant données deux divisions homogi'apkiques sur deux droites L et L' i^g. 38], déterminer deux segments homologues qui soient vus de deux points donnés, sous des angles donnés.

OUESTIONS DIVERSES. aoî

Soient a, a et h, b' deux couples de points homologues des deux divisions; il faut déterminer ces quatre points de manière que les deux segments ttb et ^ y soient vus respectivement de deux points P, P' sous des angles donnés ip et tp'. Concevons qu'ayant pris un point a sur la droite L on forme l'angle aSb égal à -fi, et soient a' , h' les deux points de la seconde division qui correspondent aux deux a, h de la première. Que l'on forme l'angle a' P' g' égal à >)-' et que l'on fasse glisser le point a sur la droite L; les deux points h', ê' formeront deux divisions liomographiques dont les points doubles détermineront, évidemment, deux solutions de la question.

L'angle a'P'È' peut être formé à droite ou à gauche de P'«', ce qui donne deux systèmes diOërents de solutions, en tout quatre solutions, lesquelles se réduisent à deux quand l'angle ij-' est droit.

On peut aussi former l'angle àVb à droite ou à gauche de P«; mais les quatre solutions relatives à la seconde manière sont les mêmes que les premières, car, en changeant les lettres des deux côtés de chacun des angles aVb, a'P b' dans chacune des quatre solutions, c'est-à-dire en donnant la lettre a an cAté Pè et la lettre b au côté Pa, et de même pour l'angle a'S'h', on aura les quatre nouveUes solutions, qui, par conséquent, seront les mêmes que les premières.

308. On peut demander que les deux segments ab, a' b' soient de longueurs données : la solution dérive des mêmes considérations.

309. Étant données deux divisions liomographiques sur une droite, il existe deux couples de points homologues qui divisent hai-moniquement un segment donné ef.

division correspondent un conjugué harmonique de a par rapport aux deux points e, f. H faudrait, pour que les deux points a, a' satisfissent à la question, que a' coïncidât avec «', Or les deux points a' et tt! forment deux divisions homographiques dont chacun des deux points doubles satisfait à la question. Donc, etc.

En effet, à chaque point a de la première point a' dans la seconde division et un point «'

où l'on considère deux systèmes de deux divisions

310. Étant données deux divisions homographiques sur deux droites AL, A'L', et deux autres divisions homographiques sur deux autres droites BM, B'M', on demande de mener par un point donné P deux traiisrersales qui

STJPEHIEOnE. -

( les deux premières droites respectivement en deux, points de dlnsion homologues et les deux autres droites pareillement en deux points de division homologues.

Soient a et a' [fig. 89) deux points homologues des deux divisions sur les droites AL, A' L' ; qu'on mène la droite P a qui rencontre ia droite lîM en b, et soit b' le poinl homologue sur B'M'. La droite Vb' rencontre la droite A'L' en un point h'. On reconnaît aisément que les deux points <i', v! forment deux divisions liomograpliiques dont les points doubles résolvent la question.

311. On peut supposer que les deux droites AL, A'L' coïncident ensemble, ainsi que les deux BM, B'M'. Alors on aura deirx divisions licmographiques sur une même droite AL et deu\ aiities divisions homographiqucs

Ces deux droites AL, BM peuvent même se confondre en une seule dt, sorte qu'on aura deux systèmes de deuv divisions homogr iplnques aui une même droite, et la question sera de dttLimmei deux pointa qui soient homolugues à la fois dans tes deux piimiires dcisions et dans les deux autres.

Ces questions sont susceptibles d'applications tres-diverses. Nous en énoncerons une seule.

312. Etant données deux droites AL, BM, on demande de mener par un point P deux transversales qui intetveptent sur les deux droites deux segments de longueurs données 1 et ft.

Concevons sur la première droite un segment an' égal à \ et qu'on le fasse glisser pour lui donner différentes positions, les deux points a, a' formeront deux divisions homogra phiques, et, de même, un segment bb' egai à f( sur la seconde droite détermine deux divisions homogra phiques : do sorte que le problème rentre dans la question générale.

313. Au lieu de demander que les deux segments eut', bb' soient de longueurs données, on peut demander qu'ils soient vus de deux points fixes, respectivement, sous des angles donnés.

§ IV. — Questions diverses.

314. Étant données deux diniles L, L' [fig. 4o ), on demande de placer entre elles une corde a;i' qui soit vue de deux points donnés P, P' sous des angles donnés II, il'.