METHODE DES POLA

pent sur l'une ou Vautre des cordes communes aux deux coniques {W*^l%^x. 1).

Si Ket^ sont deux coniques inscrites dans la conique S, les cordes de contact de A et de B avec S et les cordes d'intersection de A et de B concourent en un même point et forment un faisceau harmonique (n<> 263).

Si A, B et C sont trois coniques inscrites dans S, et si, en même temps, A et B sont tangentes à G, les tangentes menées par les points de contact se coupent sur l'une des cordes communes à A etB.

1RES aÉGIPROQUES. 477

les diagonales passent par l'un ou l'autre des ombilics des deux coniques.

Si Aet B sont deux coniques inscrites dans la conique S, les points de concours des tangentes menées à leurs points de contact avec S et les ombilics de A et B sont situés sur une même droite quHls divisent harmoniquement.

Si A, B et C sont trois coniques inscrites dans S, et si A et B sont tangentes à G, la droite qui joint les points de contact passe par l'un des ombilics de A et B.

307. Nous avons supposé, jusqu'ici, que la conique auxiliaire U était quelconque : dans ce qui va suivre, nous prendrons, pour nous conformer à un usage assez répandu, un cercle pour conique auxiliaire, et, à moins d'indication spéciale, nous entendrons par courbes polaires les courbes polaires prises par rapport à un cercle.

On sait (n°88) que la polaire d'un point par rapport à un cercle est perpendiculaire à la droite qui joint ce point au centre du cercle, et que le produit des distances du centre au pôle et à la polaire est égal au carré du rayon. On peut donc définir comme il suit la courbe polaire d'une courbe donnée par rapport à un cercle :

Si d'un point O donné {Jig* 94) on abaisse une perpendiculaire OT sur une tangente PT à la courbe S, et si on prolonge cette perpendiculaire jusqu'en p^ de telle sorte que leproduitOT . Op soit constant et égal àk^^la courbe s, lieu des points p, est la polaire réciproque de S. Cela revient, évidemment, à dire que le point p est le pôle de PT

iyS CHAPITRE XV.

par rapport à un cercle ayant O pour centre et k pour rayon :

il en résulte (n? 301) que la tangente /?f correspond au point

de contact P, c'est-à-dire que OP est perpendiculaire à pt et que 0P.0^ = A^2.

La forme de s, qui est en général la seule chose à considérer, ne dépend pas de la valeur particulière attribuée à A ; sa grandeur est seule affectée par les variations de ce coefficient. A ce point de vue, on peut faire complètement abstrac-

Fig- 94-

tion du cercle, et dire simplement que s est la réciproque de S par rapport au point O. Nous donnerons à ce point le nom A^origine :

De ce qui précède, on déduit sans peine les deux principes suivants :

La distance d'un point quelconque^ à V origine est V inverse de la distance de cette même origine à la droite pt correspondant au point P.

L'angle TQT' compris entre deux droites TQ, T'Q est égala V angle pC^p' sous-tendu à l'origine par les points p et p' correspondant à ces droites. Les droites Op et Op' sont, en effet, respectivement perpendiculaires à TQ et T'Q.

Ces deux principes permettent de transformer non seulement des théorèmes de position, mais encore des théorèmes

MéTHODB DES POLAIRES RéCIPROQUES.

concernant la grandeur des lignes, ou la grandeur des angles ; les applications que nous en ferons un peu plus loin montreront tous les avantages que Ton peut retirer de l'emploi du cercle comme conique auxiliaire.

308. Trouver la polaire réciproque d'un cercle C par rapport à un autre cercle O.

Ce problème revient à trouver le lieu du pôle /?, par rapport au cercle O, d'une tangente PT au cercle C {fig^ 90). Si MN

est la polaire de C par rapport à O, et PT la polaire de p^ on

a (nMOl)

OCOp CP""/?N'

et le premier rapport est constant, puisque ses deux termes sont constants ; les distances de p au point O et à la droite MN sont donc dans un rapport constant OC : CP ; il en résulte que le lieu du point p est une conique ayant O pour foyer, MN pour directrice correspondante et OC : CP pour excentricité. L'excentricité de cette conique est, par suite, supérieure, inférieure ou égale à l'unité, suivant que le point O est en dehors, en dedans du cercle ou sur le cercle. Donc : La polaire réciproque d'un cercle est une section conique, qui a pour foyer V origine, et pour directrice la droite

48o CHAPITRE XV.

correspondante au centre du cercle; cette conique est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que V origine est intérieure, extérieure au cercle ou située sur la circonférence de ce cercle,

309. Les exemples suivants montrent comment on peut transformer un certain nombre de relations entre les angles à Taide du dernier principe énoncé au n® 307.

Dans un cercle, les tangentes menées aux extrémités d'une corde sont également inclinées sur cette corde.

'La droite qui joint le foyer d'une conique à l'intersection de deux tangentes diyise en deux parties égales l'angle sous lequel on voit du foyer la corde des contacts ( n® 191 ).

En effet, l'angle compris entre une tangente PQ (Jig- 94) et la corde de contact PP' est égal à l'angle sous lequel on voit du foyer la droite qui joint les points correspondants /> etgr : de même l'angle QFP est égal à l'angle sous-tendu au même foyer

par la droite /^'y, etcommeQPF^ QP'P, on^pOq=^pOq.

Dans le cercle, la tangente est perpendiculaire au rayon qui passe par le point de contact.

L'angle sous-tendu au foyer d'une conique par un point quelconque de la conique y et par l'intersection de la directrice açec la tangente en ce point, est un angle droit.

Ce théorème se démontre comme le précédent, en se rappelant que la directrice de la conique correspond au centre du cercle.

La ligne qui joint le pôle d'une droite au centre d'un cercle est perpendiculaire à cette droite.

L'angle sous-tendu au foyer d'une conique par un point quelconque de cette conique, et par l'intersection de la directrice avec la polaire de ce point, est un angle droit.