Former V équation de la directrice de cette parabole
En appliquant le procédé indiqué au n? 291, on trouve, pour Téquation de la polaire du point dont on vient de donner les coordonnées,
/a(sin«B-+-sin«G — sin«A)-i-/np(sin«G-4-sin«A — sin«B)
7iY(sin*A -H sin'B — sin'C) = o.
ou
/asinB sinCcosA + /n^sin G sinA cosB -i- n^sin A sinBcosG = o, et, en se reportant à la relation en l, m et n de TExercice 12, /sinBsinG(acosA — ^ cos G ) -h m sin G sinA(PcosB — -f cosC) = o.
La directrice passe donc par le point de concours des hauteurs du triangle (n^ 54, Ex. 3).
15. Trouver le lieu des foyers des coniques tangentes à quatre droites données a, p, y, S.
L'équation d'une droite quelconque pouvant toujours s'exprimer en fonction des équations de trois autres droites (n** 60), oc, p, y» ^ satisfont nécessairement à une relation identique
aa H- è (j -4- cy -h rfS = o,
et cette relation doit être vérifiée, non seulement par les coordonnées a', P', y'î S' de l'un des foyers, mais encore par celles dî
1 autre, j, ^, ^, g-,.
Le lieu cherché est donc la courbe du troisième degré
DU PRINaPB DE DUAUTË, ET DE LA MÉTHODE DES POLAIRES
RÉaPROQUES.
298. La méthode des notations abrégées, exposée au Chapitre précédent, s'applique aux équations en coordonnées tangentielles, comme aux équations en coordonnées trilinéaires. Qusu^d les constantes X, [x et v vérifient la relation
(aX -h 6p. -H cv) (a'X -h b'\L -h c'v) = {a'X -h b'[j. -h c%) (a'^'X -h 6'V "+- ^^)>
la droite qu'elles définissent enveloppe une section conique (n® 285) : il en résulte que la droite (n** 70) qui joint les deux points
aX-h6|x-HCv~ o, a'A -h 6*ji. 4- c'v = o
est tangente à cette conique, puisque ses coordonnées X, [jl et v satisfont à l'équation précédente.
Si donc a, ^j y et i sont des équations de points , c'està-dire des fonctions du premier degré en X, [jl et v, l'équation (xr^ = k^^ représente, en coordonnées tangentielles, une conique tangente aux quatre droites ag, Py, yS et 5a. Plus généralement, quand S = o et S' ::= o sont les équations tangentielles de deux courbes quelconques, S — A-S' ~= o représente, en coordonnées tangentielles, une courbe qui a pour tangentes toutes les tangentes communes à S et S', puisque toutes les valeurs de X, ja et v qui annulent à la fois S et S'
468 CHAPITEB XV.
annulent nécessairement S — A' S'. Lorsque S est une conique, S — /caP = o représente une conique qui a pour tangentes communes avec S les tangentes menées à S par les points a
et p.
L'équation ar^ = k^^ représente une conique passant par les points a et y» et par rapport à laquelle ^ est le pôle de la droite ary; il est facile de voir, en effet, que les couples de tangentes menées à cette conique par les points a et y coïncident respectivement avec les droites a^, yP* On verrait de même que S et S — a^ représentent deux coniques ayant un double contact, et que a est le pôle de la corde des contacts, puisque les tangentes menées par les extrémités de la corde commune à ces deux coniques se rencontrent en a.
Remarquons enfin qu'on peut opérer sur l'équation aY = A'^fi^ de la même manière que sur Téquation LM = R* du n® 270, et représenter un point quelconque de la courbe par l'équation
puisque la tangente en ce point passe par les deux points
|xa-h/tP = o, [xA:p-|-Y = o (»).
( • ) En d'autres termes, si, dans un système quelconque, a?',y ', z' et a?*,y', z' sont les coordonnées de deux points d'une conique, x^^y'^ s* celles du pôle de la droite qui les joint, les coordonnées d'un point quelconque de la courbe peuvent se mettre sous la forme
[L*x' -^2[i.kx'' -^x", (l'y H- 2(1 Ar^" 4-^', |i'^-H aiiArz^-hV,
puisque la tangente en ce point détermine, sur les deux tangentes fixes, des segments qui sont dans les rapports |x : Ar, (lAr : i. Lorsque A: = i, la courbe est une parabole. L'espace nous manque pour développer ce principe, qui est d'un usage fréquent ; le lecteur pourra en déduire la solution du problème suivant : Trouver le lieu du point oit une tangente, rencontreuit deux tangentes fixes, est divisée dans un rapport donné.
Exercices.
1. Trouver le lieu des centres des coniques inscrites dans un quadrilatère.
Soient £ = o, £' r=s o les équations tangentielles de deux de ces coniques; l'équation tangentielle d'une autre conique quelconque du système sera 2 h- A:2' = o (n© 298), et on aura pour les coordonnées du centre de cette conique (n«»» 140, 151)
C-^kQ'' G4-A:G* La forme de ces expressions (n» 7) montre que ce centre est situé sur la droite qui joint les centres \7^^c]^\'c'^'n'') ^^^ deux premières coniques, et divise celte droite dans le rapport de G à kQ\
2. Trouver le lieu des foyers des coniques inscrites dans un quadrilatère.
En remplaçant, dans les équations (n» 279, Ex.) qui déterminent les foyers, A par A + AA' . . ., et en éliminant A:, on obtient, pour le lieu, l'équation
[C(a7î —y^)^ i¥y — aG-r-t- A — B] (G'tj — Y'x — G'y -h H')
= [G'(a:2— j^2)-h2F> — 2G':c"-f-A'— B'](Ga:7 — Fa^ — Gj-hll),
qui représente une courbe du troisième degré (n^ 297, Ex. 15), puisque les termes du quatrième degré se détruisent réciproquement. Quand Z et I.' sont des paraboles, S + A:S' représente un système de paraboles inscrites dans un même triangle; on a alors G — o, C' = o, et le lieu des foyers se réduit à un cercle. Lorsque les coniques sont concentriques, et que le centre est pris pour origine, les coefficients F, F', G, G' s'annulent tous à la fois; l'équation Z-\- k^ù' représente un système de coniques inscrites dans un parallélogramme, et le lieu des foyers est une hyperbole équilatère (').
( * ) On démontrerait de la même manière que le lieu des foyers des coniques circonscrites à un quadrilatère, lieu qui est en général du sixième degré, se réduit au quatrième degré lorsque le quadrilatère est un parallélogramme*
iyo CHAPITRE XV.
3. Les cercles directeurs des coniques tangentes à quatre droites fixes ont même axe radical.
L'équation du cercle directeur (n» 294, Ex.) ne contient, en effet, les coefficients A, B, . . . qu'au premier degré, et, par suite, prend la forme S -+- X:S' = o lorsqu'on y remplace A par A -f- A- A'
Le théorème suivant n'est qu'un cas particulier de celui qui précède : Les cercles décrits sur les trois diagonales d^un quadrilortère complet comme diamètres ont même axe radical.
299. Nous voyons ainsi que chacune des équations du Chapitre précédent peut recevoir une double interprétation, suivant qu'on la considère comme une équation en coordonnées trilinéaires, ou comme une équation en coordonnées tangentielles (n® 70); et qu'en considérant celles de ces équations qui ont servi à établir un théorème comme des équations en coordonnées tangentielles, on obtient un nouveau théorème que l'on peut appeler le réciproque du premier. Comme exemple, reprenons le théorème du n" 266. Lorsque trois coniques S, S -f- LM, S -f- LN passent par deux points fixes (S, L), les cordes (M, N, M — N) qui joignent les autres points communs à ces coniques se coupent en un même point. Si nous considérons ces équations comme des équations en coordonnées tangentielles, L représente le point d'intersection des deux tangentes communes aux trois coniques, et les points M , N, M — N sont les points de concours des tangentes communes à ces coniques prises deux à deux. On a donc le théorème réciproque : Lorsque trois coniques sont tangentes à deux droites fixes, les points de concours des tangentes communes aux coniques considérées deux à deux sont en ligne droite (* ).
(*) On peut simplifier renoncé de ce théorème et des théorèmes analognes, en donnant, comme l'a indiqué Chasles ( Sections coniques, n* 345 }, le nom ^ombilic ou de point ombilical au point d'intersection de deux tangentes communes à deux coniques.
* MÉTHODE DBS POLAIRES RÉCIPROQUES. iyi
A chaque théorème de position, c'est-à-dire ne se rapportant ni à la grandeur des lignes, ni à la grandeur des angles, correspond ainsi un théorème réciproque, dont l'énoncé s'obtient en changeant, dans l'énoncé du premier, les mots points et lignes en lignes et points; et ces deux théorèmes se démontrent en interprétant de deux manières différentes les mêmes équations.
Nous donnerons, dans ce Chapitre, un aperçu des théories géométriques qui ont attiré l'attention des mathématiciens sur ce principe de dualité ( ' ).
300. Une courbe quelconque S étant donnée, si l'on prend les pôles de ses tangentes par rapport à une conique également donnée U, on obtient une nouvelle courbe 5, à laquelle on a donné le nom de courbe polaire de S par rapport à U. La conique U, par rapport à laquelle on prend les pôles, est dite conique auxiliaire»
Nous avons déjà eu occasion d'examiner un problème relatif aux courbes polaires (n® 225, Ex. 12), et nous pouvons énoncer le théorème trouvé alors, en disant que la courbe polaire d'une conique, par rapport à une autre conique, est toujours une courbe du second degré.
Nous dirons, pour abréger, qu'un point correspond à une droite, lorsqu'il est le pôle de cette droite par rapport à U; et puisque, d'après la définition même de 5, chaque point de 5 est le pôle, par rapport à U, d'une tangente à S, nous pourrons dire que chaque point de s correspond à une tangente à S.
( * ) La méthode des polaires réciproques est dae à Poncelet, qui l'a exposée dans le IV* volume du Journal de C relie. PlUcker a présenté {System der analytischen Géométrie^ i835 }le principe de dualité en se plaçant à un point de Tue purement analytique, comme nous Tavons fait au commencement de ce Chapitre. Mais c'est Mobius qui a introduit {Der Barycentrische Calcul^ x3a7) Tusage des coordonnées tangenti elles.
47^ GHAPITEB XV
301 . Le point dHntersection de deux tangentes à S correspond à la droite qui joint les points de s correspondant à ces tangentes.
Ce théorème résulte de ce que, par rapport à la conique U (n° 14G), le point d^ntersection de deux droites quelconques est le pôle de la ligne qui joint les pôles de ces droites.
Quand les deux tangentes à S sont infiniment voisines, les deux points correspondants de s sont infiniment voisins et la droite qui les joint est tangente à 5; et comme toute tangente à une courbe S rencontre la tangente consécutive au point de contact, il s'ensuit que : si une tangente à S correspond à un point a de Sj le point de contact de cette tangente correspond à la tangente menée à s par le point a.
On voit ainsi que la relation entre les courbes S et s. est réciproque^ autrement dit que S peut se déduire de s de la même manière que s a été déduit de S ; de là le nom de polaires réciproques ou, plus simplement, de réciproques donné à ces courbes.
302. Nous pouvons maintenant, étant donné un théorème de position quelconque, concernant une courbe S, en déduire un autre théorème de position relatif à la courbe 5. Ainsi^ par exemple, si nous savons qu'un certain nombre de points liés a la figure S sont en ligne droite, nous pouvons en conclure que les droites correspondantes liées à la figure 5 se rencontrent en un même point (n® 146) et inversement. Quand un certain nombre de points liés à la figure S sont sur une conique, les droites correspondantes de la figure s sont tangentes à la courbe réciproque de cette conique par rapport à U; plus généralement, lorsque le lieu d'un point quelconque lié à S est une courbe S', Venveloppe des droites correspondantes à ce point et liées à s est la courbe 5^, polaire réciproque de S'.
303. Le degré de la polaire réciproque s d'une courbe S est égal à la classe (n? 145) de cette courbe.
Le degré de s est égal, en effet, au nombre de points suivant lesquels une droite quelconque peut couper 5, et, par suite, au nombre de tangentes qu'on peut mener à S par un point quelconque, puisque, à un nombre donné de points de s appartenant à une même droite, correspond un même nombre de tangentes à S passant par le point correspondant à cette droite. Lorsque S est une conique, on peut lui mener, par un point quelconque, deux tangentes, réelles ou imaginaires, et on ne peut lui en mener que deux (n^ 145); il en résulte que toute droite rencontre s en deux points, réels ou imaginaires, et ne peut rencontrer s qu'en deux points : la polaire réciproque d'une conique est donc une courbe du second degré.
304. Nous aurons recours à des exemples pour montrer comment on peut, à l'aide de la méthode que nous venons d'indiquer, déduire un théorème d'un autre, dans le cas où S et s sont des coniques. On sait (n** 267) que, si, dans la conique S, on inscrit un hexagone ayant A, B, C, D, E, F pour côtés^ les points de rencontre Â.D, BE, CF des côtés opposés sont en ligne droite. Il en résulte que, si, à la conique 5, on circonscrit un hexagone dont les sommets sont a, 6, c, rf, e,/, les droites ad, 6e, c/", qui unissent les sommets opposés, concourent en un même point (n® 265). Le théorème de Pascal et le théorème de Brianchon sont donc réciproques ; c'est, du reste, comme réciproque du premier que le second a été présenté tout d'abord.
On trouvera, dans ce numéro et dans les suivants, un certain nombre de théorèmes avec leurs réciproques en regard. En s'astreignant à écrire ces derniers avant d'en lire l'énoncé, le lecteur arrivera rapidement à se rendre maître de la méthode.
qui se réduit en définitive à un échange de mots : point et ligne; inscrit et circonscrit; lieu et enveloppe, etc.
Les trois côtés d*un triangle de forme variable picotent autour de trois points fixes, tandis que deux de ses sommets glissent sur deux droites données; le troisième sommet décrit une conique (no269).
Si les points par lesquels passent les côtés sont en ligne droite, le troisième sommet décrit une droite ( n*» 47, Ex. 2).
Dans quel autre cas le troisième sommet décrit -il une droite (no AI y Ej.. 3)?
Les sommets d'un triangle de forme variable glissent sur trois droites fixes, tandis que deux de ses côtés passent par deux points fixes; le troisième côté ençeloppe une conique.
Si les droites sur lesquelles glissent les sommets sont concourantes, le troisième côté passe par un point fixe.
Dans quel autre cas le troisième côté du triangle passet'il par un point fixe (n« 50, Ex. 3)?
Lorsque deux coniques se touchent^ leurs réciproques se touchent. Au point commun, et à la tangente commune aux deux coniques, correspondent, en effet, dans les réciproques, une tangente commune et un point commun, et ce dernier point n'est autre que le point de contact de la tangente commune, puisqu'il correspond à la tangente menée aux deux coniques par le point où elles se touchent. On verrait de même que : Quand deux coniques ont un double contact, leurs réciproques ont un double contact.
Quand deux des sommets d'un triangle circonscrit à une conique glissent sur deux droites fixes, le troisième sommet décrit une conique ayant un double contact avec la conique donnée (n© 272, Ex. 2).
Quand deux des côtés d'un triangle inscrit dans une conique passent par deux points fixes, le troisième côté enveloppe une conique ayant un double contact avec la conique donnée (no 212, Ex. 3).
305. Nous avons démontré (n®301) que, si deux points, P et P', de S {^fig* 94> p. 478) correspondent aux tangentes
MÉTHODE DBS POLAIRES RÉCIPROQUES. ijS
pt, p'i à 5, les tangentes en P et P' correspondent aux points de contact/? et />', et, par suite, que l'intersection Q de ces tangentes correspond à la corde de contact /y>'. Il en résulte que : A un point quelconque Q et à sa polaire PP' par rapport à S, correspondent une droite pp' et son pôle q par rapport à s.
Lorsqu'une conique tangente à deux droites fixes passe par deux points donnés, l'intersection des tangentes menées par ces points se trouve sur l'une des droites d'un couple fixe.
Lorsqu'une conique paissant par deux points fixes est tangente à deux droites données, la ligne qui joint les points de contact de la conique avec les deux droites passe par l'un des points d'un couple fi,xe
(no 286, Ex.).
Les polaires d'un point fi^e, par rapport à un système de coniques passant par quatre points donnés, concourent en un m,èm,e point (n® 151, Ex. 2).
Le lieu des pôles d*une droite fi^e,par rapport à un système de coniques passant par quatre points donnés, est une section conique (n® 278, Ex. i).
Les droites qui joignent les sommets d'un triangle aux som,mets opposés de son triangle polaire, pris par rapport à une conique, concourent en un même point (n^ 99).
Inscrire dans une conique un triangle dont les côtés passent par trois points donnés ( qo 297, Ex. 7).
306. Étant données deux coniques S et S' et leurs réciproques s et s'j aux quatre points A, B, C, D communs à S et S' correspondent les quatre tangentes a, 6, c, d communes
Les pôles d'une droite fixe, par rapport à un système de coniques inscrites dans un même quadrilatère, sont situés en ligne droite (n» 278, Ex. 3 ).
L'enveloppe des polaires d'un point fixe, par rapport à un système de coniques inscrites dans un quadrilatère, est une section conique.
Les points de rencontre des côtés d'un triangle avec les côtés opposés de son triangle polaire sont en ligne droite.
Circonscrire à une conique un triangle dont les sommets soient situés sur trois droites données.
à 5 et 5' ; et aux six cordes d'intersection de S avec S' : AB, CD; AG, BD; AD, BG, correspondent les six points d'intersection des tangentes communes k s et ^ : aè, cd; ac^ bd;
ad, bc { *).
Lorsque trois coniques ont chacune un double contact avec une quatrième, ou sont tangentes à deux droites fixes, leurs six cordes d* intersection passent trois à trois par quatre points (no 264 ).
En d'autres ternies, trois coniques inscrites dans une quatrième, ou tangentes à deux droites, peuvent être considérées comme ayant quatre centres radicaux.
Siy par le point de contact de deux coniques qui se touchent, on mène une corde, les tangentes aux extrémités de cette corde se rencontrent sur la corde com,mune aux deux coniques.
, Si, par l'un des points om,bilicaux de deux coniques, on mène deux cordes quelconques, les droites qui joignent les extrémités de ces cordes se cou-
Lorsque trois coniques ont chacune un double contact avec une quatrième, ou passent par deux points fi^es, leurs six ombilics sont, trois à trois, sur quatre droites.
Ou bien : trois coniques inscrites dans une quatrième peuvent être considérées comme ayant quatre cuves de similitude. ( Voir le théorème du n* 117, dont celui-ci n'est qu*une extension.)
Si^par un point quelconque, pris sur la tangente menée au point de contact de deux coniques qui se touchent, on mène une tangente à chacune de ces coniques, la droite qui joint leurs points de contact passe par r intersection des tangentes communes aux deux coniques.
Si, par deux points quelconques d'une corde commune à deux coniques, on mène des tangentes à ces coniques, on obtient un quadrilatère dont
( * ] On donne habituellement le nom de quadrangle à la figure formée par quatre points et les six droites qui joignent ces points deux à deux, de même qu'on appelle quadrilatère la figure formée par quatre droites et par les six points suivant lesquels ces droites se coupent deux à deux. Ces deux figures sont réciproques.
