IRES RÉCIPROQUES

La droite qui joint au foyer d'une conique V intersection dune corde quelconque avec la directrice est la bissectrice de l* angle formé par les rayons vecteurs menés du foyer aux extrémités de la corde,

V enveloppe des cordes d^une conique, qui sous-tendent au foyer un angle constant, est une autre conique ayant avec la première une directrice et un foyer communs.

Le lieu de V intersection des tangentes dont la corde de contact est vue du foyer sous un angle donné est une conique ayant avec la première une directrice et un foyer communs.

Par les points où une droite "fixe rencontre une série de coniques, ayant une directrice et un foyer communs, on mène des tangentes à ces coniques; l'enveloppe de ces tangentes est une conique tangente à la droite fixe ainsi qu'à la directrice commune, et ayant avec les coniques proposées un foyer commun.

Si Ton suppose, dans ce dernier énoncé, que la droite fixe est à l'infini, on a ce théorème : U enveloppe des asymptotes d'une série d'hyperboles ayant une directrice et un foyer communs est une parabole tangente à la directrice commune, et qui a pour foyer le foyer commun.

Lorsque^ par un point fixe, on mène des tangentes à une série de cercles concentriques, le lieu des points de contact est un cercle qui passe par le point fixe et par le centre des cercles.

Par un point quelconque

Le lieu des som,mets des an-

d'une circonférence, on mène gles droits circonscrits à une S. — Geom, à deux dim, 3i

deux cordes perpendiculaires; \ parabole est la directrice, la droite qui joint leurs extré- i mités passe par le centre, ,

Nous (lisons une parabole, puisque le point par lequel on mène les cordes étant pris pour origine, la polaire du cercle est une parabole (n® 308).

Uenveloppe des cordes d^un cercle qui sont vues sous un angle constant d^un point fixe de la circonférence est un cercle concentrique.

Le lieu des sommets des triangles ayant même base et même angle opposé à cette base est un cercle qui passe par les extrémités de la base.

Le heu des sommets des angles droits circonscrits à une ellipse ou à une hyperbole est un cercle.

Le lieu des sommets des angles de grandeur constante circonscrits à la parabole est une conique ayant même foyer et même directrice.

Etant donnés la position de deux côtés d*un triangle, et V angle sous lequel le troisième côté est vu d*un point fixe, ce troisième côté enveloppe une conique qui a pour foyer le point fixe et qui est tangente aux deux côtés donnés,

L* enveloppe des cordes d*une conique, qui sont vues sous un angle droit, d*un point fixe quelconque, est une conique qui a ce point fixe pour foyer.

Les projections d'un point d'une circonférence de cercle sur les côtés d'un triangle inscrit quelconque sont en ligne droite (n^ 125).

Si l'on prend le point de la circonférence pour origine, au triangle inscrit dans le cercle correspond un triangle circonscrit à une parabole; d'ailleurs, à un point donné sur une droite quelconque, correspond une droite qui passe par le point correspondant à la première, et qui est perpendiculaire au rayon vecteur joignant Torigine au point donné. Donc : Les perpendiculaires menées, par les sommets d'un triangle circonscrit à une parabole, aux droites qui foi-

gnent ces sommets au foyer, passent par un même point, 11 en résulte que le cercle, qui a pour diamètre le rayon vecteur joignant ce point au foyer, passe par les sommets du triangle circonscrit. Par suite : Le lieu des foyers des paraboles inscrites dans un triangle est le cercle circonscrit à ce triangle (n« 223, Cor. IV).

Le lieu des pieds des perpen- ! L'enveloppe des perpendicudiculaires abaissées d'un foyer laires menées, par tous les sur les tangentes d'une ellipse points d'un cercle, aux rayons ou d'une hyperbole est un cer- ^ vecteurs qui joignent ces points de. Il en est de même du lieu à un point fixe, est une conique des pieds des obliques égale- ' ayant ce point fixe pour foyer, ment inclinées sur les tan- ' // en est de même de l'envegentes, loppe des obliques également

I inclinées sur les rayons vecteurs,

310. Les théorèmes qui se rapportent à la grandeur des lignes passant par V origine se transforment facilement, à Taide du premier principe énoncé au n® 307. Comme exemple, transformons le théorème suivant : Lorsqu^ un point fixe est situé à V intérieur d^un cercle, la somme de ses distances à deux tangentes parallèles quelconques est constante et égale au diamètre du cercle. Le point fixe étant pris pour origine, à deux parallèles correspondent deux points situés sur une droite passant par l'origine; donc : La somme des inverses des segments que le foyerd'une ellipse détermine sur les cordes focales est constante.

Cette somme, ainsi que nous l'avons vu (n® 193, Ex. 1), est égale à quatre fois l'inverse du paramètre, et, comme elle ne dépend que du rayon du cercle réciproque et non de sa position, il en résulte que : Les coniques réciproques de cercles égaux ont toutes le même paramètre, quelle que soit la position de ces cercles par rapport à l^ origine.

Le produit des segments déterminés par le cercle, sur les cordes menées par l* origine, est corstan'.

Le produit des distances d'un foyer d'une conique à deusc tangentes parallèles quelconques est constant.

Donc : La tangente menée par l'origine à un cercle quelconque est égale au demi-axe conjugué de Vhyperbole réciproque.

Le théorème : La somme des distances d^ un point quelconque de P ellipse aux foyers est constante y^evXs^ énoncer de la manière suivante :

Dans toute conique, la somme \ Dans un cercle, la somme des distances d'un foyer aux , des inverses des distances d'un points de contact de deux tan- ' point intérieur quelconque, gentes parallèles quelconques , aux deux tangentes dont la

est constante.

corde de contact passe par ce point, est constante.

3H. Quand on a une équation homogène entre les distances PA, PB,. . . d'un point variable P à des droites fixes^ il est toujours possible de la transformer de manière à en déduire une relation entre les distances a/?, è/?', . . . des points fixes a, 6,... à une droite variable, ces points et cette droite correspondant respectivement aux droites fixes et au point variable P. Il suffît, pour cela, de diviser cette équation par une puissance convenablement choisie de la distance OP de Torigine O au point P, et de remplacer (n® 101), dans

PA

le résultat obtenu, les rapports j=rp> ••• par les rapports

égaux rT-^ '"• ° Oa

Ainsi, par exemple, quand PA, PB, PC, PD représentent

les distances d'un point quelconque P d'une conique aux

côtés d'un quadrilatère inscrit, on a la relation (n" 259)