AP.PC = A:.PB.PD

divisant chacun des facteurs PA, . . . par OP, et effectuant la substitution indiquée ci-dessus, il vient

Oa^ Oc"" 06^ Od'

expression dans laquelle les facteurs Oa, 06, ... sont constants. Donc : Dans tout quadrilatère circonscrit à une coniquCy le produit des distances de deux sommets opposés à une tangente quelconque est dans un rapport constant avec le produit des distances des deux autres sommets à la même tangenJLe.

Le produit des distances dun point quelconque d une conique à deux tangentes fixes est dans un rapport constant avec le carré de sa distance à leur corde de contact (n» 259).

Le produit des distances de deux points fixes d'une conique à une tangente variable est dans un rapport constant avec le carré de la distance de cette tangente à V intersection des tangentes menées par les deux points fiaes.

Quand on prend pour origine un point de la corde de contact, le théorème réciproque est le suivant : Le produit des segments, qu!une tangente variable détermine sur deux tangentes fixes et parallèles j est constant.

Dans une conique, le produit des distances de deux points fixes {les foyers) à une tangente quelconque est constant.

Le carré de la distance d'un point fixe à un point quelconque d'une conique est dans un rapport constant avec le produit des distances de ce der^ nier point à deux droites fixes.

Une équation en coordonnées trilinéaires n'est autre chose qu'uAe relation homogène entre les distances a, ^, y ^^ ^'^^ des points d^un lieu quelconque à trois droites fixes ; on peut donc lui appliquer le mode de transformation indiqué ci-»

dessus, et en déduire une relation entre les distances X, (jl, v de trois points fixes à Tune quelconque des tangentes de la courbe réciproque du lieu donné, relation qui peut être considérée comme une espèce d'équation tangentielle de celte réciproque (*).

En parlant de Téquation générale d'une conique en coordonnées trilinéaires, et en désignant par p, p', p'^ les distances de Torigine (n° 308) aux sommets du nouveau triangle de référence, on obtient ainsi la relation

X* -a' V* , ULV vX - Xi/.

qui définit la réciproque de cette conique. Et inversement, à la conique représentée par Téquation homogène du deuxième degré, entre les distances X, (a et v,

AX--hB|x-4- ... n=o,

correspond une conique réciproque, qui a pour équation en coordonnées trilinéaires

a', P', / représentant les coordonnées trilinéaires de rorigiie.

1. Quand un triangle est circonscrit à une conique, les distances pj p'y p' de ses sommets à une tangente quelconque et les angles 0, 0', 0' sous lesquels ses côtés sont vus du foyer, vérifient la relation

Psine-H t' sine' -h Ç^sine' = o.

(* ) Voir à la fin de ce Tolunie la Noie relatiye aux équations tangentielles.

Cette relation s'obtient en formant la réciproque de Téquation trilinéaire du cercle circonscrit au triangle. Lorsque le foyer coïncide avec le centre du cercle inscrit, on a

e = 9oo-t-| A, . p sin|A = r, ce qui donne

[jiv cot-jA -i- vXcot~B -h X[xcot-|C = o

pour l'équation tangentielle du cercle inscrit, dans le système particulier de coordonnées indiqué ci-dessus.

En y remplaçant successivement deux des cotangentes par des tangentes, on obtient les équations des cercles exinscrits.

2. Quand un triangle est inscrit dans une conique, les distances pf p'y p' de ses sommets à une tangente quelconque et les angles 6, V, 6', sous lesquels ses côtés sont vus du foyer, satisfont à la relation

L'équation tangentielle du cercle circonscrit prend alors la forme

sin A v/X 4- sinB ^^ + sinC \/v = o.

3. Former l'équation trilinéaire dune conique, étant donnés l'un de ses foyers et trois tangentes.

Cette équation, qui peut s'écrire

sine^J + smO' 4/1 + sine» ^I =-- o,

s'obtient en formant la réciproque de l'équation trouvée plus haut pour le cercle circonscrit.

4. Former, en partant de r Exercice 1, l'équation trilinéaire d*une conique, étant donnés l'un de ses foyers et trois points.

a' ft' v'

Réponse. — tangj0 4- ^tang^^-f- ltangj6' = o.

312. Les propositions relatives à la grandeur des lignes, qui peuvent se ramener à des théorèmes concernant des droites divisées harmonique ment ou anharmoniquement, se transforment aisément à l'aide du principe suivant : A quatre points en ligne droite correspondent quatre droites concourantes, et le rapport anharmonique du faisceau formé par ces quatre droites est égal au rapport anharmonique des quatre points.

Ce principe est évident, puisque les rayons du faisceau formé en joignant Forigine aux points donnés sont respectivement perpendiculaires aux droites qui correspondent à ces points. Comme application, nous indiquerons comment on peut déduire, des propriétés anharmoniques du cercle, les propriétés anharmoniques des coniques en général.

Le rapport anharmonique du faisceau formé en joignant un point quelconque dune conique à quatre points fixes de cette conique est constant (no 274).

Le rapport anharmonique des quatre points suivant lesquels toute tangente à une conique est coupée par quatre tangentes fixes est constant (no 275).

Le premier de ces théorèmes est vrai pour le cercle, puisque, en raison de la propriété des angles inscrits, les angles du faisceau restent constants; donc le second est vrai pour toutes les coniques. Le second théorème est vrai pour le cercle, puisque l'angle sous lequel on voit du centre la portion d'une tangente mobile comprise entre deux tangentes fixes est constant; donc le premier est vrai pour toutes les coniques. En recherchant les angles qui, dans la figure réciproque, correspondent aux angles reconnus constants dans le cas du cercle, on constate facilement que les angles sous lesquels on voit du foyer les segments de la tangente variable sont constants, et qu'il en est de même des angles sous-

tendas au foyer par les segmeots que le faisceau inscrit détermine sur la directrice.

313. Le rapport anharmonîque de quatre points en ligne droite n'est pas la seule relation, concernant la grandeur des lignes, que Ton puisse transformer par la méthode des polaires réciproques. Toute relation de segments qui, par une substitution analogue à celle du n^ S6, se réduit à une relation entre les sinus des angles que ces segments sous-tendent à un point fixe, subsiste, en effet, pour toutes les transversales suivant lesquelles on peut couper les droites qui joignent le point fixe aux extrémités des segments, et peut, en conséquence, donner lieu à un théorème réciproque, théorème que Ton obtient en prenant le point fixe pour origine.

Comme relation de cette espèce, on peut citer le théorème de Carnot (') : Lorsqu*une conique quelconque rencontre les côtés consécutifs AB, BC, CA d'un triangle ABC, en trois couples de points (c, c'), (a, a), (6, i'), les segments que ces points déterminent sur les côtés du triangle satisfont à la relation

Ac.Ag^Ba.Ba^C6.C^?^ A^.A6'.Bc.Bc'.Ca.Ca'""'*

En substituant à chacun des segments Ac la quantité égale

'- y cette relation se réduit, en effet, à une rela-

tion où ne figurent que les sinus des angles sous lesquels ces segments sont vus du point fixe O. Le théorème réciproque a été donné au n"* 295.

314. Ajoutons encore ici quelques considérations générales sur les coniques réciproques, ep étendant à toutes

(*) Ce théorème est une conséquence du théorème du n* 148.

-îgo CHAPITRE XV.

les coniques ]e théorème du n^ 308 : La courbe réciproque d'un cercle est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que Torigine est située à Tintérieur, à Textérieur du cercle ou sur la circonférence du cercle. Le point ou la droite qui correspondent à une droite et à un point donnés sont d'autant plus rapprochés de Torigine que cette droite ou ce point en sont eux-mêmes plus éloignés; à toute droite passant par Porigine, correspond un point à Pinfini, et la droite correspondant à l'origine est elle-même tout entière à l'infini. Il en résulte qu'aux deux tangentes menées, par l'origine, à la courbe primitive, correspondent deux points à l'infini de la courbe réciproque; quand ces deux tangentes sont réelles, la réciproque a deux points réels à Finfini, c'est une hyperbole; lorsqu'elles sont imaginaires, la réciproque, qui a deux points imaginaires à l'infini, est une ellipse; enfin, quand l'origine est sur la courbe, ces deux tangentes coïncident; il en est de même des points à l'infini de la réciproque et cette réciproque est une parabole. Il est d'ailleurs évident que la droite à l'infini est tangente à la courbe réciproque, toutes les fois que l'origine est sur la courbe primitive, puisque la droite à l'infini correspond à l'origine ; nous retrouvons ainsi le théorème du n® 254 : Toute parabole a une tangente à l' infini,

315. Aux points de contact des deux tangentes issues de l'origine correspondent les tangentes menées à la réciproque par les points situés à l'infini, autrement dit les asymptotes de la courbe réciproque; et comme l'excentricité d'une hyperbole ne dépend que de l'angle compris entre ses asymptotes, il s'ensuit que l'excentricité de l'hyperbole, réciproque d'une conique, dépend uniquement de l'angle compris entre les tangentes menées par l'origine à la courbe primitive.

L'intersection des asymptotes de la conique réciproque, ou, ce qui est la même chose, le centre de la réciproque, cor-

respond à la corde de contact des tangentes menées par IWigine à la courbe primitive. Ce théorème comprend, comme cas particulier, la proposition établie au n^ 308 : La directrice de la conique réciproque d'un cercle correspond au centre de ce cercle, puisque la conique réciproque a pour foyer l'origine et que la directrice est la polaire de l'origine.

Exercices.

i. La réciproque d*une parabole par rapport à un point quel" conque de la directrice est une hyperbole équilatère (n<* 211).