BC'DC

AB se réduit au simple rapport — ^^y lorsque le point D passe

à l'infini, parce qu'alors AD devient égal à — DC. Quand la droite est divisée harmoniquement, le rapport anharmonique est égal à — i , et si le point D s'éloigne à l'infini, AB devient égal à BC, autrement dit le point B divise la distance AG en deux parties égales.

324. Comme application de ce qui précède, nous examinerons d'abord le théorème du n® 146 : Lorsqu'une sécante OR, issue d'un point fixe O, rencontre une conique en R', R^ et la polaire du point fixe O en R, les points O, R', R, ^forment une dii>ision harmonique.

I. Supposons le point R" à l'infini. La droite OR est alors divisée, par le point R', en deux parties égales. Donc : Quand une droite est menée par un point fixe parallèlement à l'une des asymptotes d'une hyperbole, ou au diamètre d'une parabole, la portion de cette droite comprise entre le point fixe et la polaire de ce point est divisée par la courbe en deux parties égales (n** 2! i ).

II. Lorsque R s'éloigne à l'infini, R'R" est divisé au point O en deux parties égales; donc : La corde menée par un point quelconque, parallèlement à la polaire de ce points est divisée par ce point en deux parties égales.

Quand la polaire du point O est à l'infini, elle rencontre à l'infini toutes les cordes qu'on peut mener par le point O. 11 en résulte que toutes ces cordes sont divisées en O en deux parties égales, et, par suite, que le point O est le centre de la

5oo CHAPITRE XVI.

courbe : Le centre d^une conique peut donc être considéré comme un point dont la polaire est à V infini (n'* 154),

III. Enfin, lorsque le point fixe est à Pinfini, toutes les droites qui passent par ce point sont parallèles et se trouvent divisées en deux parties égales par la polaire du point fixe. Donc : Tout diamètre d'une conique peut être considéré comme la polaire du point à V infini où les ordonnées de ce diamètre sont supposées concourir.

On peut d'ailleurs arriver au même résultat en partant de l'équation de la polaire (n® 145)

(ax -{- hy -^ g) ^ {hx -^ by -^ f) 'j-, -^ ^ ^^ = o

et en observant que cette équation se réduit à

m{ax -{- hy -h g) -f- n{hx-{- by -h/) = o

et représente le diamètre conjugué du diamètre my = nx (n® 141), lorsque le point (x\y) s'éloigne à l'infini sur la droite my = nxi autrement dit, quand on a à la fois

— , — — ) X' z=icO .

X ni

32S. Nous avons également démontré, au n® 146, que : Si fon mène par un point fixe O une sécante quelconqueORj et si l'on joint le pôle P de cette sécante au point O, les droites OP, OR forment un faisceau harmonique avec les tangentes OT, OT' issues du point O.

Lorsqu'une des droites OP, OR coïncide avec un diamètre, l'autre est parallèle à son conjugué, et puisque la polaire de l'un quelconque des points d'un diamètre est parallèle à son conjugué, il en résulte que le diamètre, passant par Tinter-

PROPRIÉTÉS HARMONIQUES ET ANHARIIONIQUES. 5oi

section de deux tangentes, divise en deux, parties égales le segment déterminé par ces tangentes sur toute droite menée parallèlement à la polaire de leur intersection.

Quand le point fixe coïncide avec le centre de la courbe, les tangentes se confondent avec les asymptotes. Il en résulte ([ue : Le faisceau formé par les asymptotes et deux diamètres conjugués quelconques est un faisceau harmonique; et que la portion de tangente comprise entre les asymptotes est divisée en deux parties égales par le point de contact (n** 196).

326. La propriété anharmonique des points d'une conique (n®2S9) donne lieu à un très grand nombre de théorèmes particuliers. La position des quatre premiers points A, B, C; D étant arbitraire, un ou deux d'entre eux peuvent, en effet, se trouver à Finfini ; le cinquième point O, qui est le centre du faisceau, peut être à riiifini; il peut aussi coïncider avec un des quatre premiers, comme dans le cas où l'un des rayons du faisceau est tangent à la courbe. Remarquons, d'ailleurs, que le rapport anharmonique d'un faisceau est égal au rapport anharmonique des quatre points suivant lesquels ce faisceau rencontre une transversale quelconque y et, par suite, qu'on peut réduire son expression au simple rapport de deux segments, en prenant une transversale parallèle à l'un des rayons du faisceau.

Les exemples suivants ont été disposés de manière à laisser au lecteur le soin de tirer lui-même les conséquences des principes que nous venons de rappeler. Nous nous sommes borné» le plus souvent à donner sommairement les conclusions, après avoir indiqué les points qui déterminaient les faisceaux à considérer, et la transversale suivant laquelle il convenait d'estimer le rapport anharmonique.

Dans ce qui va suivre, nous désignerons, pour abréger, par (O, ABCD) le rapport anharmonique du faisceau OA, OB,

OC, OD; et par (abcd) le rapport anharmonique des quatre points a, 6, c et d.

Exercices.

(A, ABGD) = (B, ABCD).

Prenons pour transversale la droite CD (^ff. 96), et soient T, T et K les points où CD rencontre les tangentes en A et B et leur

corde de contact AB. En considérant les segments déterminés sur GD par les faisceaux indiqués dans Ténoncé, on a