Quels sont les points représentés par les équations

a?* — 5a?-4- j^-h 3 = o, a?*-f-^* — Sa; — 3^^-1-6— o? Réponse, (1,1), (2,3), (3,3), (4,i).

15. Vne seule équation entre les coordonnées représente un lieu géométrique.

Il est évident qu'une seule équation est insuffisante pour déterminer les deux inconnues x el y^ el qu'elle peut être vérifiée par un nombre indéfini de systèmes de valeurs de œ et de y^ sans que, cependant, elle le soit par un système de valeurs pris au hasard. L'ensemble des points dont les coordonnées satisfont à l'équation donnée forme un lieu qui est considéré comme la représentation géométrique de cette équation.

Soit, par exemple, l'équation

Cette équation, ainsi que nous l'avons vu (n® S, £x. 3)^

exprime que la distance du point {x^y) au point (2,3) est égale à 4 > ®U^ est vérifiée par les coordonnées d'un point quelconque du cercle qui a (2, 3) pour centre et 4 pour rayon , et elle n'est vérifiée que par les coordonnées de ces points. Ce cercle peut donc être considéré comme le lieu représenté par cette équation.

L'exemple suivant, plus simple encore, montre également qu'une seule équation entre les coordonnées d'un point représente un lieu géométrique. Rappelons-nous le procédé à l'aide duquel ( n® d ) nous avons déterminé la position d'nn point P {fig^ i3), en partant des deux équations x-^=a eX, y=^b.

Fig. i3.

Nous avons d'abord pris oM = a, puis mené MK parallèlement à OY; et c'est en portant sur cette parallèle une longueur MP r= é, à partir du point M, que nous avons obtenu le point cherché P. Avec les données x^=a^ y z=b'^ qui ne diflerent des précédentes que parla valeur de^, on obtiendrait encore, en procédant de la même manière, un point P' de la droite MK, mais ce point ne serait pas situé à la même distance de M que le point P. Lorsque les données se réduisent à une seule équation x = a, et que la valeur de y reste indéterminée, le point P appartient toujours à la droite MK; il est situé quelque part sur cette ligne, mais il est impossible de déterminer à quelle distance il se trouve du point M. La droite MK est donc le lieu de tous les points représentés par l'équation a; = <2, puisque, quel que soit le point que l'on

aa CHAPITRE II.

prenne sur cette ligne MK, l'abscisse x de ce point est toujours égale à a.

16. En général, étant donnée une équation d'un degré quelconque entre les coordonnées x et^, on peut toujours en déduire, pour^, un certain nombre de valeurs ft, i«, 635 • • • > correspondantes à une valeur particulière a àe x\ il suflit, pour cela, de résoudre cette équation par rapport ky^ après y avoir fait a: = a. Chacun des points /?, 5^, r, . . . (Jig- i4),

Fig. 14.

ayant pour abscisse a et pour ordonnées 6, ft<, 65, • • • , vérifie cette équation. Il en est encore de même de chacun des points /?', y', /, . . . , />'', q" ^ r", . . . , que l'on trouve en donnant successivement à x les valeurs x = a', x=^ ci' ^ .... L'ensemble de tous les points obtenus, comme il vient d'être dit, en attribuant à x toutes les valeurs possibles, forme un lieu dont chaque point satisfait à l'équation donnée, et qui est par conséquent la représentation géométrique de cette équation.

En appliquant le procédé que nous venons d'indiquer à une équation quelconque, on peut déterminer autant de points qu'il est nécessaire pour figurer la forme du lieu qu'elle représente.

exercices.

1. Représenter graphiquement (*) une série de points satisfaisant à Véquationy = 2a? -+- 3.

Donnant à x les valeurs — 2, — i, o, i, 2, . . ., on trouve, pour y, — I, I, 3, 5, 7, . . ., et Ton voit alors que les points correspoudants sont en ligne droite.