Représenter la courbe y = 3 zt v/20 — x — a
A chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y : aucune partie de la courbe ne se trouve à droite de la ligne x — i, ni à gauche de la ligne x — — 5, puisqu'en donnant à x des valeurs positives ou négatives plus grandes la valeur de y devient imaginaire.
17. Toute la Géométrie analeptique est fondée sur la corrélation qui, ainsi que nous venons de le montrer, existe entre une équation et un lieu géométrique. De là deux séries de problèmes à résoudre. Une courbe étant définie par une propriété géométrique, déduire de celte propriété l'équation à laquelle doivent satisfaire les coordonnées des points de la courbe; c'est ainsi, par exemple, qu'après avoir défini le cercle : le
C^) Nous recommandons au lecteur de se servir pour cet objet de papier quadrillé.
34 CBAPITBB II.
lieu des points (jr,^) dont la distance à un point fixe (a, b) est constante et égale à r, on trouve (n' 4) pour Véquation du cercle en coordonnées rectangulaires
Et inversement, étant donnée une équation, déterminer la forme de la courbe qu'elle représente, ainsi que les propriétés géométriques de cette courbe. Pour procéder avec ordre à cette détermination, nous classerons les équations d'après leur degré, et nous étudierons les lieux qu'elles représentent, en commençant par les équations du degré le moins élevé.
Le degré d'une équation se définit par la plus grande valeur de la somme des exposants de x et de^ prise dans chacun de SCS termes. Ainsi l'équation rrj' -t- 23; + 3^ = 4 est du second degré, puisqu'elle renferme le terme xy. Si ce terme n'existait pas, elle serait du premier degré. On dit qu'une courbe est du degré n lorsque t'équation qui la représente est elle-même du degré n.
Nous étudierons d'abord l'équation du premier degré : nous ferons voir qu'elle représente toujours «ne ligne droite, et que, réciproquement, l'équation d'une ligne droite est toujours du premier degré.
IS. Nous avons déjà examiné (n" f 5) un cas très simple de Fig. .5.
J'éi]iiation du premier degré, celui de l'équation a; ^ «. En
nppuyai
r les mêmes considérations, on voit facilement
DE LA LIGNE DROITE. a^
que l'équation^ = 6 représente une droite PN parallèle à l'axe OX {fig* 1 5 ) , et coupant l'axe OY à une distance de l'origine ON i= 6. Quand h devient nul, l'équation se réduit àj^r=o et représente l'axe OX; on verrait de même que l'équation x^=r-o représente l'axe OY.
Passons à un cas un peu moins simple, et cherchons la relation à laquelle doivent satisfaire les coordonnées d'un point P ifig' i5\ pour que ce point soit sihié sur une droite OP passant par l'origine.
Les coordonnées PM et OM varient avec la position du point P, mais leur rapport
sin^Nlrsinl^Pb
est constant, puisqu'il ne dépend que de la direction de la droite OP. Les coordonnées de tous les points de cette droite satisfont donc à la relation
dnJPOM sml^PÔ
sm
qui peut dès lors être considérée comme l'équation de la droite OP.
Réciproquement, si nous cherchons quelle est la ligne représentée par l'équation
y — mx, nous voyons, en mettant cette équaA^ion sous la forme — r=n m ,
CD
que cela revient à « trouver le lieu d'un point P tel, que le rapport PM : PN des deux droites menées par ce point parallèlement à deux droites fixes soit constant » . Ce lieu est évidemment une droite OP passant par l'intersection O des droites fixes, et divisant l'angle qu'elles forment de telle sorte que
sin
^OM II- m sin ^OTÏ.
a6 CHAPITRE II.
Quandiesaxessontrectangulaires, ona sinrON = cosPOM,
et m = tangPOM . L'équation y = mx représente alors une droite passant par Torigine et faisant avec Taxe des x un angle dont la tangente est m,
19. Une équation de la forme ^'= -k-mx représente une droite OP située dans les angles YOX, Y'OX'; cette équation exprime en effet qu'à toute valeur positive de x correspond une valeur positive de jk> et qu'à toute valeur négative de x répond une valeur négative de y. Les points qu'elle représente ont donc leurs deux coordonnées à la fois positives ou à la fois négatives, et, par suite, ne peuvent se trouver (n^) que dans les angles YOX, Y'OX'.
Pour que l'équation^ ^^ — mx soit vérifiée, il faut, au conraire, que y soit négatif ou positif suivant que x est positii ou négatif. Cette condition ne peut être remplie que par des points dont les coordonnées sont de signes différents : la droite que représente cette équation se trouve donc (n® 3) dans les angles Y'OX, YOX'.
20 . Cherchons maintenant l'équation de la droite PQ (Jig> 1 6) située d'une manière quelconque par rapport aux axes.
Fig. i6.
Menons par l'origine une parallèle OR à QP, et soit R le point de rencontre de OR et de l'ordonnée PM. Il est évident (n* 18) que le rapport RM : OM est constant (on aura, par exemple.
RM = m. OM) ; et comme l'ordonnée PM diffère de RM de la quantité constante PR = OQ = 6, on peut écrire
PM = RM-t-PR ou PM := m. OM 4- PR,
c'est-à-dire
y = mx -h b»
Cette équation, étant vérifiée par tous les points de la droite QP, doit être considérée comme l'équation de cette droite.
Il résulte du numéro précédent que m sera positif ou, négatif suivant que la parallèle OR à QP se trouvera dans l'angle YOX ou dans l'angle Y'OX. D'autre part, h sera positif ou négatif suivant que le point Q, où la droite rencontre l'axe des j^, sera au-dessus ou au-dessous de l'origine.
Réciproquement , l'équation y = mx -h b représente toujours une ligne droite. En mettant, ce qui est possible, cette équation sous la forme
et menant QT parallèlement à OM, on aura
TM = b,
et, par suite,
La proposition ci-dessus revient donc à « trouver le lieu d'un point tel , qu'en menant par ce point P une parallèle PT à OY jusqu'à la rencontre de la droite fixe QT, on détermine un segment PT qui soit à QT dans un rapport constant » . Et ce lieu est évidemment une droite PQ passant par le point Q. L'équation la plus générale du premier degré
Aa?H-B/-hC=io
peut évidemment se ramener à la forme j^ ^^ mx + 6 ; îl suffit pour cela de la résoudre par rapport à^, ce qui donne
Elle représente donc toujours une ligne droite.
21. Nous pouvons maintenant préciser la signification géométrique des constantes qui se trouvent dans l'équation de la ligne droite. Quand la droite représentée par l'équation y -— mx 4- b fait un angle a avec l'axe des x et un angle p avec l'axe des x^ on a (n® 18)
sina sin^
et, si les axes sont rectangulaires,
m r= tanga.
D'ailleurs (n® 20), b est le segment déterminé par la droite sur l'axe desjK*
Lorsque l'équation est donnée sous la forme générale
A.X -r- By — : c -- o,
on peut la ramener, comme précédemment, à la forme r =: mx -r 6 ; et l'on trouve alors
A sina — B~ siôp*
ou, si les axes sont rectangulaires,
quant au rapport — p > îl représente le segment que la droite
détermine sur l'axe des^.
DB LA LI«NB DHOITB. ag
Corollaire. — Quand m-.= m\ les droites y = mx -f- 6, y = mx -f- b' font toutes deux les mêmes angles avec les axes et sont parallèles. De même les droites Aa: -f- By -|- C r^ o, h!x -i- By + G' == o sont parallèles lorsque
Les formes Kx -l-B^ -i- G = o et^ = mx + 6 ne sont pas les seules sous lesquelles on puisse mettre l'équation d'une ligne droite ; il en est encore deux autres qui sont d'un usage assez fréquent, et que nous allons faire connaître.
22. Trousser l'équation d'une droite Mîi(Jig. 17) en fonction des segments OM = a, ON ^^ b qu'elle détermine sur les axes.
Fig. 17.
On peut déduire cette équation de Péquation générale du n<* 20
Ax -j-By -hC=:o ou -^x-^^y-i-i^iOy
en observant que les coordonnées de tous les points de la droite et, par suite, celles des points M et N, doivent satisfaire à cette équation. En substituant aux coordonnées courantes jp et ^ de l'équation générale les coordonnées a: = a, ^ = o (n** 2) du point M, on a
et, en leur substituant les coordonnées a? = o, ^ = 6 dû point N^
Portant ces valeurs dans Téquation générale, on trouve pour Téquation cherchée
Cette équation est indépendante de Tangle que font entre eux les axes de coordonnées.
La position de la droite varie évidemment avec les signes
des quantités a et b. Ainsi, à Féquation — u ■- = i , qui donne
des quantités positives pour les segments faits sur les axes,
correspond la droite MN, tandis qu'à Téquation '-^ = i , '
cpii donne un segment positif sur l'axe des x et un segment négatif sur l'axe desjK» correspond la droite MN'.
On verrait de même que l'équation [- •- = i repré-
sente la droite NM', et l'équation .- = i la droite M'N'.
Une équation du premier degré peut toujours se ramener à l'une des quatre formes précédentes; il suffît pour cela de diviser tous ses termes par le terme constant.
Exercices.
1. Examiner la position des droites suivantes, et trouver les segments qu'elles déterminent sur les axes
2^ — 37 == 7, 3 ar -h 4r -^ 9 = o» 3iF-f-aj^ = 6, ^y — 5a?=ao.
2. On prend deux des côtés d'un triangle pour axes; trouver l'équation de la droite qui Joint les extrémités des segments
obtenus en prenant sur chacun de ces deux côtés leur m'^"'' partie, et démontrer {u9 2i)que cette droite est parallèle au troisième côté,
— I- x= — a o Fn
Réponse.
