Exprimer V équation d'une droite MN (Jig. iS) en

Fig. 18.

fonction de la longueur de la perpendiculaire abaissée de V origine sur cette droite, et des angles que cette perpendiculaire fait avec les axes.

Soient OP = /? la longueur de cette perpendiculaire ; POM = a l'angle qu'elle fait avec l'axe des x ; PON = p celui qu'elle fait avec l'axe des y ; OM = a, ON = 6.

En multipliant par/? l'équation de la droite MN (n® 22)

on A

a^^iy=p^

et, en observant que - = cosa, ~ = cosg, on trouve pour

l'équation cherchée

Oî cos a -i- ^ cos p =: />.

Quand les coordonnées sont rectangulaires, ce qui est le cas le plus fréquent, g = 90^ — a, et l'équation de la droite devient

j?cosa + /sin9t=/?.

Lorsqu^on admet que a peut recevoir toutes les valeurs comprises entre zéro et 36o® , cette équation présente quatre cas paHiculiers correspondant à ceux de l'équation du n° 22. Quand la droite a la position NM' {fi g* 1 7), a se trouve compris entre 90" et 180®, et le coefficient de x est négatif; lorsqu'elle a la position M'N', a est compris entre 180** et 270®, les coefficients de ^ et de ;^ sont tous deux négatifs; enfin, quand elle a la position MN', a se trouve compris entre 270" et 36o", et le coefficient de^ est seul négatif. Dans les deux derniers cas, il est plus commode d'écrire l'équation sous la forme x cos a -h X sin a — - — /?, et de regarder a comme l'angle, compris entre zéro et 180®, que le prolongement de la perpendiculaire fait avec la direction positive de l'axe des X. Par suite, dans l'emploi de la formule

X costt H- y sina =:/?,

nous supposerons p susceptible de recevoir le double signe, et nous prendrons pour a l'angle, toujours inférieur à 180®, que la direction positive de l'axe des x fait avec la perpendiculaire ou avec son prolongement.

On peut facilement ramener à la forme x cos « + ^ sin ol~- p l'équation générale Ax -4- By -î- C = o ; en divisant en efiet

tous ses termes par y^A^-j- B-, on a