CHAPITRE XJ.Vt. WB

:st d'après ces principes que doivent être construites les dents des roues d'engre nages d'angles.

Soient Sp, Sp", li.: 8. 13 et 14, dans un plan vertical, les aies des deux ues coniques entre lesquelles le mouvement uniforme de rotation doit èlre munis.

Soient Cet €', mêmes figures, les points où ces aies percent des plans qui leur t perpendiculaires et qui sont rabattus sur le plan vertical ; par conséquent points C, C sont les projections de ces axes et les centres des roues rabattues »ur ce même plan.

Soient, dans le même plan vertical, les Iraccs et les projections m />, wp" des cercles primitifs des roues, leiqnels cercles sont prujetés sur les plans perpendiculaires au* aies; l'un pour la grande roue en A M B, l'autre pour la petite A1 M- B\ Ces deui cercles sont tangents l'un et l'autre dans le point Mua Et i la tangente projetée verticalement au point i« et horizontalement , lig- 13, i »• V, et figure 11 en m M'.

La division 'les dents étant faite sur les cercles primitifs et dans les figures 13 M 1 4, nous avons supposé que la grande roue devait avoir vingt-quatre dénis et m petite seize, de façon que la petite roue fera trois, tours dans le temps que la grande en fera deux. I.'arc <V n du cercle primitif A M B marquant l'étendue en argetir que doit avoir une dent, tes arcs N r, n x des épicvdes sphériques profttés sur le cercle primitif en Nx Y, cl n xy, sont les bases des surfaces coniques picycloïdalcs qui forment les faces de la denl M; ses flancs sont les portions des Uns passant par l'axe de la roue, cl dont les traces sont les lignes SIC, nC. /étendue de ces Oancs sera déterminée bientôt. La même construction a lieu à l'égard de la petite roue, c'est-à-dire que (Y *' arquant la laegeur d'une des dents de celte; roue égale à celle des dents de la ■rentière, les épicycloliiet sphériques A" x" F. n' x' y', sont les bases des surfaces iques rjiit ji'.uiilalcs dont une portion forme de chaque coté une face de la dent ; ses lianes passant par les points iV et n' el par l'axe projeté en C, leurs traces * projections sont les lignes A" C, «' C.

Les point! s elx', qui marquent, fig. 13 et If, les pointes que forment les ren-

e au plan de ce cercle, n ta iroiiiémn, iliri^e iuimni !j (ingrate comi ■rctnierci ion! détruites par 11 fiiilii do l'uo de million : I» forée f «nie- lutmile. (

le par m|ipnrt auquel on fiii celle diI'.'wTino. n Je force, on trouve pour fia roi

tnU île eette force, pur rapport mi centrai Jm cercles, tont proportionnel» ai» le> ; ainsi quelle que toit ta direction de la force F , pourra qu'elle pa.se par le p

ort de ce» rajoni el le point de contact ne r-Wigcaui pai, la Forée fm eonitanie

imune. La force F peut i!lrf

proj.

des surfaces épicycloidales sont rapportées sur la projection mutait x cl *', sur le grand cercle de la surface de sphère dans laquelle l'épie »clnio> tracée. Par le point m, extrémité de l'arête S m de contact cuire les côoes qui oui pour bases les cercles primitifs cl perpendiculairement à cette ligne, soit la Iroiu H h; celle ligne est la Irace d'un plan perpendiculaire à cette arête que l'on wbstitue a la surface sphérique pour former la face externe de la dent, parce qau plan est plus facile à exécuter el plus commode pour tracer qu'une surùct* sphère. On construit les intersections de ce plan avec les surfaces coniques rpcycloldales ; ces intersections soûl projetées en JV e, n e pour la denl M, et en I ' n' e' pour la dent A/*.

Au moyen de la section par le plan perpendiculaire à la ligne 5 m, fig. ï,« construit un panneau, fîg. 18, qui sort à tracer la face plane externe des dtnt> Par une section de même sorte par un plan perpendiculaire aussi à la n*» ligne S m qui a pour trace il' W, et qui marque l'épaisseur de la dent, on ino les contours A s, A- • de la face plane interne de la même dent et son fig.16.

Nous n'avons point tracé les constructions à faire pour trouver les inti el les deux panneaux des dents, parce qu'elles sont si faciles que sauraient y être embarrassés, puisqu'il ne s'agit que de sections par des plant chaque cône épicycloldal, ce qui ne présente pas plus de difficultés que an lions de mémo espèce dans des cônes à bases circulaires.

La surface conique dans laquelle les dents d'une roue sont implantées, *e pas Être rencontrée pendant le mouvement de rotation par les dents de N roue. Pour tracer, d'après cette condition, les génératrices dos surfaces coniqK) janles des deux roues, il faut mettre en projection verticale les points s etr dents; les lignes S x, .S" jf", IL. 8, rencontrent en o ci o' la ligne u> te" qui l'épaisseur des jantes. I-es lignes v o, o' & sont les génératrices de ces surface! reçoivent les dents.

L'épaisseur des jantes, et les génératrices o v. & e ainsi déterminées, on I les détails de la charpente de chaque roue; ces détails nous paraissent MfJ rement exprimés dans les fig. 8, 15 el 14, Dans la fig. 8 les jantes de U p rouesonl coupées par le plan de projection, el leurs sections ainsi que celte': des quatre pièces d'enrayure a de la grande roue sont remplies par des bicki Nous ferons remarquer que la jante R de la grande roue, formée par ucs -ar coniques, peut être composée de plusieurs pièces, qu'elle est OMkOtAl sur I représenté dans la projection horizontale, fig. 13, par un cercle rempli fe | res, el dans la figure 8, par deu* lignes ponctuées 1-3, l'-S*.

A l'égard de la pelile roue, vu que son diamètre esL fort petit, elle ni il seule pièce prise dans un plateau; elle est traversée par un arbre carre do» projcclioiis ne sont marquées que par le vide qu'il doit occuper.

J'Iusiiurs dents suul projetées mises en place, fig, 13 et 14, et nousitow"

CDAPITRK XI.V1. BU

quo des mortaises creusées dans les jantes pour en recevoir d'aulres aux places indiquées par les divisions des cercles primitifs. Ces mortaises sonl (racées pour leurs joues par les prolongements des lianes des dénis, cl elles sonl limitées sur les largeurs dos jantes des roues par les cercles tracés parles points i, i',j,j', qui sont tes projections des points H', II, h, h; ligure 8.

On doit s'assurer que dans l'engrenage s'il n'y a qu'une seule dent qui puisse être engrenée, elle ne cesse pas de conduire avant qu'une autre dent soit engrenée aussi pour lui succéder dans la transmission du mouvement de rotation,

Le cercle générateur de l'épicycloïdc sphérique servant de base aux surfaces coniques des faces des dents est projeté de ?» en p, Qg. 8, suivant son diamètre, si l'on suppose le cône, qui a ce cercle pour base, prolongé jusqu'au plan du cercle primitif A M II. fig. 13, ayant pour trace verticale p m q, (ig. 8, sa trace sur Ce plan est l'ellipse -'/ O T. Pendant le mouvement de rotation des cercles primitifs A M B, a' M- B', la trace du conc qui a pour base le cercle générateur de l'épicycloïde ne change pas, et elle est toujours l'ellipse MOT. Supposant une dent dans la position E et le flanc do la dent en contact de l'autre roue la louchant au point s dans le plan des axes (les deux roues ; si l'on prolonge en e" l'arèie S x, fig. 8, qui forme le sommet de la denl M, fig. 13, jusqu'au plan horizontal, cette arête décrit autour de l'aie vertical S C une surface conique droite dans laquelle sont tous les sommets des dénis, et qu'ils ne quittent pas pendant la rotation ; cette surface a pour base cl trace le cercle O e G décrit avec le rayon C e égal » p e'. Le point O dans lequel ce cercle coupe l'ellipse marque la position de l'axe d'une dent £" quand elle va cesser de toucher le flanc de la denl avec lequel elle est en contact, ce Qanc ayant pour trace de son prolongement sur le plan de l'ellipse, la ligne T O ; par conséquenl, la ligne C O est la ligne de milieu de la dent lorsqu'elle est parvenue en E'.

I.'arc E E' mesuré sur le cercle primitif et marquant l'espace parcouru par la dent £ depuis le contact moyen au point Jf dans le plan des axes jusqu'en E', étant plus grand que fécirlcmcnl des dents .V et M", il s'ensuit que chaque denl sera en contact avec celle conduite longtemps encore après que deux autres dents auront été en contact dans le même plan des axes, el l'espace pendant lequel deux dents d'une roue seront engrenées avec celles de l'autre, est exprimé par le double de I» différence do l'arc E E' à l'arc M W.

I>ans la construction des roues représentées par les lig. 8, 15 et 14. nn suppose que les dents ne traversent point les janles des roues, par la raison que leurs queues étant taillées en coin par suite de la tendance de leurs lianes vers l'axe , on se contente de faire les mortaises également en coin suivant les patrons des dénis, et ■smt justes pour que les assemblages n'aient aucun jeu ; les dents sonl chassées h leurs places et chevillée.'. Du Ironque leurs bouts par un petit plan pour chacune, comme nous en avons indiqué en G el y, pour qu'on puisse frapper dessus avec un iiuillcl. lorsqu'on les met en place.

*eml>l«r « cunpfal

31â TRAITÉ DE L'ART DE LA CHARPESTERIE.

Charpentes ilet roues, Les fig. 4, S et 1 1 représentent les détail» de l'a» de deux roues coniques qui s'engrènent à angle droit.

La fig. 4 est en même temps une coupe et une projection.

La grande roue est coupée par un plan passant par les deux a dans un point projeté en S; celle même roue est projetée en entier, fig. 11. sur If plan horiionlal qui lui est parallèle. La petite roue est projetée, fig. 4. sur an phn parallèle aux axes, et fig t>, sur un plan perpendiculaire à son axe ; elle rsl rar comme la grande roue par sa face intérieure.

Les dents sont au nombre de quarante-huit sur la grande rone et de trente den sur la petite, ce qui donne le même rapport pour la vitesse des roues que dans ta fig, 8, 13 cl 11 ; mais les roues étant plus grandes et les dents plus iwmhreuitî. elles sont plus petites et dans une meilleure proportion.

Les jantes de la grande roue sonl (Je quatre pièces assemblées bout à bout il pli joint, quelquefois avec un Tort goujon en bois perpendiculaire au plan du juin dont le prolongement passe par l'axe de la roue; ces jantes sont comprise* «ilrc deux plans perpendiculaires â l'axe. Leur face interne est cylindrique conatt, leur bord extérieur est formé de deux surfaces coniques dans l'une desquelles le deuls sonl implantées ; l'autre reçoit les chevilles qui retiennent les queues m triions des deuls dans les mortaises.

L'assemblage des jantes est consolidé par un cercle de fer sur chaque fiée; \e> deux cercles sont fixés par des boulons communs qui traversent les jantes; la*bres sont frcltés ; les tourillons sont en fer.

La roue est fixée à l'arbre par deux enrayures laissant à son centre un tide cim pour l'occupation de l'arbre, et qui unissent en même temps les jantes et l'« qui fait partie de l'arbre.

La charpente de la petite roue ne diffère de celle de la grande qu'en ce q»'a lieu d'enrayures ce sont de simples bras en croix qui unissent les jantes rt(» fixent la roue à l'arbre en le traversant dans des mortaises.

3° Engrenage d'angle arec dent* sans flanc*.

La Og. 7, pi. 148, est une coupe passant par l'axe S C d'une grande r quelle sont implantées des dents sans flancs , tracées au moyen de la Jn sphèrlque du cercle que nous décriions plus loin; le cercle primitif et aallMI pour trace verticale la ligue p m.

La fig. 13 est ta projection de celte roue sur un plan perpendiculaire à v son cercle primitif est projeté horizon ta le ment sur A M B. Cette roue fai

engrenage d'angle ; la deuxième roue n'est point entièrement projetée w fig. 7 qui ne présente que la position de son axe S C et la trace m ;/ ■> ilu p dans lequel se trouve son cercle primitif.

CHAPITIIE XLVI. S13

Nous n'avons projeté les dents do cet engrenage que sur la grande roue qui esl %ac en dessus en Ê'du coté des dents et de la surlace qui les reçoit, 'et en dessous vil A" du côté de In face nu les queues îles dents dépassent la jante pour être retenues par des clefs en bois.

Les mêmes fig. 7 et 12 font voir comment la jante circulaire A esl filée à l'arbre tournant par des rayons B, D qui se croisent à angle droit et s'assemblent à entailles à mi-Lois dans l'intérieur de l'arbre à huit pans projeté en C horizontalement, Gg. 12, et verticalement en G, Gg. 7.

Cet assemblage ne peut être exécuté qu'en faisant la mortaise qui doit recevoir le bras II de moitié plus haute que l'épaisseur de ce bras, pour qu'on puisse le passer par-dessus le bras D emmanché le premier et le descendre ensuite dans l'entaille , après quoi il se trouve assujetti par la clef F, Gg. 7, qui remplit le vide de l'excédant de la mortaise.

La jante est attachée aux bras B, D par des boulons//, qui sont projetés de proGI enp' dans la Gg. 7.

Génération de la dèn(opj>aute tphèrique du cercle. Les iig. 4 et 9, pi. 119 , ont pour objet de montrer la génération de la développante sphérique du cercle.

La Gg. 4 est une projection verticale ;

La Gg. 9 , une projection horizontale.

A C B, Gg. 9 , esl la projection horizontale d'un cône dont la base est projetée sur A B, celle base étant perpendiculaire au plan de projection dans lequel se trouve l*axe Cm du cc-oe.

DCEesl la projection horizontale d'un autre cône dont la base est projetée sur D B, snn axe étant C/: ces deux cônes ont leurs sommets au point C.

C x el C y sont les axes de rotation de deux roues dont les surfaces portant les dents sont eumprises dans les surfaces des deux cônes AC B, DC E.

La base du premier cône est projetée- vei ticateiueiit, Iig. A, suivant le cercle m n, Taie de ce cône est projeté sur le point c. La base du second cône esl projetée verticalement suivant l'ellipse pq; son axe esl projeté sur la ligne c c'.

Le cercle O G tracé sur la projection horizontale avac un rayon égal aux lignes C A, C B, CD, C E , esl un grand cercle d'une surface de sphère qui a son centre eo C au sommet commun des deux cônes ; les cercles des bases des deux cônes sont dans celle surface.

Le cercle A' L de la projection verticale, Gg. 7, est le grand cercle vertical de la même sphère.

Si par le centre de la sphère dont O G et K L sont de grands cercles, on mène au autre grand cercle dont le plan soit langent aux deux cônes, ce grand cercle pourra servir d'intermédiaire pour transmettre par frottement le mouvement de rotation d'un cône à l'autre , ce cercle tournant lui-même dans son propre plan et sur son centre C; car dans ce mouvement les deux cônes rouleront sur son plan, leurs surfaces avant la même vitesse de rotation que ce plan.

Tour construire ce grand cercle don! le plan isi langent aui deux cônes, cl Joui la cir confère lice est tangente aux deux bases de ces chics, je remarque que le |>Ui langent à uu couc est tangcul à toule sphère inscrite dans ce cùnt; que. parcon toquent, le plan langent aux deux cônes est langent à deux sphères inscrites ■!«■■ ces cônes. Je remarque , en outre , qu'un plan tangent à deux sphères est langeât à la surface amique qui enveloppe en même temps les deux sphères ; il s'ensuit donc que le plan langent aux deux cdnes est langent aussi à la surface cooiqut qui enveloppe les sphères inscrites aux concs.

Soit en*, fig. 9,1c centre d'une sphère inscrite au cône a B Cet tangente ï n surface dans le cercle m «de sa base; soit en/ le centre d'une *BlH scrilcancôncCCfct tangente à sa surface dans le cercle p v de sa base. Si l'un lui passer un pian vertical par les centres xely, sa trace sera xyi ce plan vrrùcal riant couché sur le plan horizontal, les cercles A B F, D E U sont les grands codes de ces deux sphères, leur tangente commune I r est la génératrice rie lanrlace conique qui leur est tangente eu même temps à toutes deux et dont le soutnri <>i en s, point où la langeute ( v coupe la trace xy. Le plan tangent aux deux pr. raiera cônes devant être langent aussi à ceux-ci, passe par le centre C, sommet ite ilcux premiers cônes, et par le point s sommet du dernier; par conséquent. !i trace sur le plan horizontal est la droite Cs, et prolongée de pariât d'autre, n est le diamètre du grand cercle que le plan langent trace dans la surface <le ;' grande sphère qui a son centre en C.

Lu surface conique qui a son sommet en s louche les sphères dont les Ctstff wnt en* et/ suivant des cercles projetés horizontalement sur les lignes l-i.W par conséquent, les points !> et (.'> dans lesquels les lignes 1-2, 3-4, coupent A B, D E, sont les projections des points de contact du plan langent au: nés avec leurs bases. Ces deux puints appartiennent par, conséquent à la du grand cercle qui est dans lu plan tangent aux deux surfaces coniques, grand cercle esl projeté par l'ellipse a-e-li-u-G-/-.

Pour construire la projection verticale de ce même cercle, il faut d'abord en projection les a ré les de contact; eu projection horizontale, elles sont C en projection verticale C 7, C 8, les points 7 et 8 étant tes projections vei des contacts projetés horizontalement en 9 et 6,

Eu faisant passer une horizontale par le point S, on trouve qu'elle perte le vertical au point 8' qui apparlic-nl à la trace du grand cercle cherche , et la e' 8'/* est celle trace el un diamètre de ce grand cercle projeté Si i h 8 /' g, qui touche le cercle in n en 7 . el te cercle p q en 8.

Si l'on suppose maintenant que le plan du grand cercle langent au cône pour base le cercle m n, se meuve sur son centre c en roulant sur la stirlarr cône, un point Pdc ce cercle tracera sur la surface de la sphère la dètei. sphérique M P Q du cercle m n, l'arc 7 p étant égal .1 l'.irr 7 M. Si l un M| que ce même plan du grand cercle roule sur la surface du cAoc ituti I , but

CHANTRE XLVJ.

cercle projeté sur /■ q, son même | r tracera mit la sphère la doveloppanli:

spliërique iV P li du cercle p q.

Les deux courbes >/ I' Q, A P H étant [irises pour les bases de deux surfaces conique» dont le poinl C esl le sommet commun, dès qu'elles seront mises cri contact, elles transmettront le mouvement uniforme de rotation d'une roue conique à l'autre. Le point de contact entre les deux courbes M P Q, A P S, pendant la rotation, sera constamment sur le grand cerclée' h 7 P ipg.

Construction des dénis. Pour que l'on puisse exécuter les faces des dents qui sont des porliuns de surfaces Cliniques ayant pour base la développante sphëriqQe du cercle , il est indispensable do projeter les dents ou plutùl les développantes qui marquent les projections de leurs contours sur un plan perpendiculaire h l'axe de leur roue, dans lequel se trouve précisément le cercle primitif m n de celle roue, et qui est la base d'un des cônes d'engrenage.

La distribution des dents sur le tour de la roue étant marquée sur le cercle m n, base du cône A C B sur laquelle ou veut projeter la courbe développante splicrique , soit 7 le point de contact entre le cercle m « et le grand cercle langent au cône, cl soit en même temps ce point 7, le poinl traçant a l'origine de la courbe , le point 7 esl en 7" sur le grand cercle que l'un a rabattu en le faisant tourner autour de sou diamètre et trace verticale k' /■; soient pris les arcs égaux 7-1) sur le cercle m n, et 7"-0" sur le grand cercle rabattu, par une parallèle au rayon 7-7", soit ramené lu point 9" eu 9' sur la projection elliptique e h r du grand cercle , ce point 9' se confondra avec le point 9 quand le grand cercle aura roulé sur le conc, et que son arc 7"-9" ou 7-9', qui en est la projection, se sera enveloppé sur l'arc 7-9 du cercle m n ; il suit de 1j que pour avoir le poinl 7' de la courbe , lorsque le point 9' du yrand cercle est en cuntacl au point 0, il suffit de tracer, du ceulre C, un arc de cercle passant par le point 9', el de décrire du point 9 , comme ceulre arec un rayon égal à la corde 7-9', un petit arc de cercle qui coupe le premier cm 7', qui tsl un point de la courbe 7-s-lO, projection de la développante spherique.

Si la largeur dune dent, a sa base, est marquée sur le cercle m n par l'arc 7 9, ou trace pur la même construction, mais symétriquement inverse, la projection de la développa n le 9>x-Ii qui appartient à l'autre face de la dent; el celle dent se trouve projetée par le triangle curviligne 9-*-7.

Lesdentsde la rouelig. 7 et là, pi. 1 48, sont projetées suivant des courbes tracées par cette construction sur la surface de la sphère.

L'arc de cercle m h représente le cercle désigné par les mêmes lettres , fig. 4 , pi. 119.

e-l-p est l'arc de l'ellipse désignée par les mêmes lettres qui esl la projection du grand cercle langent aux deux bases des surfaces coniques des roues.

Les courbes « n, h .< ; sont tracées au moyeu des constructions que nous ions indiquées ci-dessus; elles sont les projections des arêtes de la devw a.j^\

die THAITE DE L'ART DE l.A CHARPEN'mtlE.

sonl dans la surface Je sphère, quia pour rayon S m, dans laquelle sont aussi l>-

.■■■i .-]■■> primitifs des deux roues qui servent de bases a leurs surfaces coniques.

Les deux autres courbes a' x' s", b' x' j-', qui sont les projections des autres atr les de la dent A, sont, dans la surface sphérique concentrique qui ■ pour rijon ■î m; la portion m m' de ce rayon marquant l'épaisseur de la dent.

l'ouï tailler les dents, il est plus commode de se servir de panneaux plats :'( plan d'un de ces panneaux passe par le point m; le plan du second panneau pu* par le point m'. Us sont tous deux perpendiculaires à la ligne 5 m.

(.es bouts des dents sont tronqués par une surface conique qui forme on pu H pan sur lequel on frappe quand on assemble la dent ; cette surface a sonsoinm'i eu,? comme toutes celles des autres cônes.

Le triangle S « w est la coupe du deuxième cône dans lequel se trouve la prlil' roue, dont je n'.u point tracé les détails.

4* Engrenage d'angle avec une lanterne conique.

La il--- 7, pi. 119, est la coupe d'une roue conique portant des dents sur u tu conférence, et engrenant dans une lanterne aussi conique , la roue cl la lanirrw ayant leur sommet commun en S.

La lanterne est projetée verticalement, dans la position qu'elle doit avoir p» dant l'engrenage. La ligne p m est la trace verticale du plan du cercle primitif* la roue; ce cercle est projeté horizontalement, lig. 15, enAtnB, cette fig. lSrUti la projection de ta grande roue sur un plan perpendiculaire a son axe.

La Ûg. 14 est une coupe de la lanterne par le plan qui contient sou cerclrpnmitif dont la trace verticale est la ligne m m', et qui est projetée sur le même pi"" en 1-2-5-4-3-6-7-8.

On suppose dans cette coupe que le plateau le plus petit de la lanterne est levé, ainsi que les parties des fuseaux supérieurs au plan coupant.

Le mouvement de rotation doit être transmis de l'un à l'autre axe par Tri nage, c'est-à-dire de la roue à la lanterne, ou réciproquement , de la lanterne t roue , comme si elles marchaient par l'effet du frottement des surfaces qui se touchent dans la génératrice commune S m. D'après tout ce qui précède, ce que nous avons exposé au sujet de l'engrenage d'une roue cl d'une lanterne i les axes sonl parallèles, on comprendra aisément que si un fuseau de la lapl conique était réduit à son axe. ce fuseau serait conduit par la surface épicji tracée par la génératrice de contact Sm, lig. 7 , pendant que le roue de U terne roulerait sur le cône de la roue.

Soit M w le cercle primitif de la lanterne tracé sur le plan du cercle primiUi la roue et en contact avec ce cercle , dans son mouvement le point M dn i V m' tracera sur le plan du cercle primitif une épicycloïilc plane ,1/ s', | de laquelle , suivant le procédé que nous avons indique page SOS, on coost/niri ■