CHAPITRE LUI

p Î5° Résistance d'une pièce de bois chargée sur plusieurs points de sa longueur.

Soit entre les points d'appui A et B, fig. 19, pi. 137, une pièce de bois horizontale, dont la longueur A B ^zl, qu'on la charge en D k la distance A D = a d'un poids P, et vers l'autre extrémité à la distance B E = b d'un autre poids P, si Tac-

lion de ces deux poids est capable de faire rompre la pièce, le point de rupture C répondra à une résultante. Soit donc A C=s, la position du point C est déter-

. minée par celte équation — =t-^i d'où Ton lire A C=x= * . .,. A * t—x aP-*-bQ

4 Dans la supposition que jt =— on a a P ^= 6 Q, et si a =6 on a aussi P = Q

ri* en nommant ^le poids qui, placé au milieu de la pièce , serait capable de la rompre, on voit que P -+- Q est constamment plus grand que Ty et que, par conséquent, on ne parviendrait pas à rompre une pièce de bois en réparlissanl d'une manière quelconque, sur deux points de sa longueur, la charge qui produirait sa rupture , si cette charge était tout entière au milieu.

$ Ce raisonnement est applicable à un nombre quelconque de poids , égaux ou inégaux , disposés arbitrairement le long d'une poutre. On peut toujours partager le poids en deux groupes de part et d'autre du milieu delà longueur de la pièce,

tt et prendre la somme de leurs moments par rapport au point de rupture , l'une

, p de ces sommes remplacera a P, l'autre remplacera b Q dans l'équation ci-dessus

jf

à 6° Résistance d'une pièce de bois dont la charge est distribuée sur sa longueur.

, L'on a observé qu'une pièce de bois est capable de supporter une charge beaucoup plus considérable dès que, au lieu de poser cette charge sur le milieu , on la

répartit sur toute la longueur de la pièce.

On trouve, par l'analyse, que si la charge est uniformément répartie, la poutre * peut supporter le double du poids qu'elle supporterait si ce poids était placé sur le É milieu de sa longueur (1) .

(i) Voici une démons! ration géométrique : soit une poutre A B D E, projetée horizontalement , 6g. si, p). 1^7, et posée de niveau sur des appuis A E, B /). Considérant une moitié de la longueur de celle pièce , soit P, le poids supporté par cette moitié au point qui répond au milieu M N. Ce poids peut être représenté par un rectangle qui a pour largeur horizontale celle M N ™ « de la pièce* et une hauteur verticale « A, la valeur du rectangle est e A » P. Nommant / la longueur A M delà moitié de la pièce, eh /est le moment du poids P. Culte quantité représente un prisme qui a pour base le rectangle EAMN *= e /, el pour hauteur A. Soit Q le poids qui est réparti uniformément sur la demi-longueur de la poutre, ce poids peut être représenté par un autre rectangle qui a également la largeur e de la pièce pour base, et pour hauteur une autre verticale A' ; ainsi Q= « A\ Les poids P et Q -ont entre eux comme les rectangles e A', e h, ou comme leurs hauteurs A' et A. Soit ç un trè>-

jil TRAITÉ DE l.'ART DE LA CHÀiU'EM'EKIE.

7° ilêsiêtance d'utte pièce de boii cylindrique.

Soit A B D E, lig. 29, la coupe circulaire d'un corps d'arbre , que l'on |wui regarder comme cylindrique , sans inconvénient pour la question dont il Agb . H mente le rendre cylindrique, si la régularité du travail IV- tige. On suppose qurli pièce cylindrique est portée horizon lalcmenl par ses deux extrémités sur des «ppuis. Soit rf le diamètre du cercle A BDE, supposons que l'arbre est partage, sui vant sa longueur, en une infinité de tranches ou planches minces, paratltta. comme celle dont le bout se présente en .Y Y. Pour chaque planche, la résblaun

sera encore R = lindrique.

la somme de toutes ces résistances est celte de l'arbre Vf

L'analyse donne pour celle somme des résistances totales D — ' (1) ,

petit poiJi parlicl du poidi Q, ce pclil poidi g peut être reprfaaBli «uni par un rectangle J-« • b t rit contenue dam I» bue * des aulrci rectangle», iul.nl de tait qu'un p. lu pekb pwl»( i l élrc ronlenu dans le poids (*, et )■ hauteur de ce pclil rectangle aéra juiii A". Le produit»* ' eclaogle a' A' par In diilance L O = (', en tu moment d'un petit poids partiel eJ rep«oilaati ■ ligne H' S'. Ce moment est donc représenté par un paralMIiptpede qui j pour baie le WB,+ f. i-.,,. sur £ O eree In bailleur A', c'eal-à-dire, A'/', et pour épai.icur «'. ta réunion de u* »

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cl R^'l—, e étant son épaisseur toute» k> planche», *A>«( le ftMtt

mince cl A aa largeur. La quantité ^ciaol le ■■■!*••■' tente la force de chique plan. he. Cca>, p»r ilni —

un pri.me dont la bise rtl le carré du colé variai. le A, largeur de la planche -, l'épauseor ** m priime» rit * eepttentr, donc la lommc de leurs épaisseur» en égale à d diamètre du cercle ABU La somme deloui ce) pri»mc» applique» à plat le» uni. contre les autre» , comme tet planchr* , if»

ont leurs ha»eségalei au cercle -a* iïfl£ Co solide cl compote de quatre oiiglcu cjliodriqE». <•* projeté en EFl H, fig. 3o, sa coupe suivant mm, ou «b, eat le cercle A Bill, La surface court. * chique onglet cil égale i quatre fois celle de sa projection K G F ("). et aa aolïdtlc «t égala 1 u ■*face multipliée par le liera du rayon ("). Le tnlide eat donc égal à -r— , par mna^qum, a ta (*■"

illat

lu cylindre devient D