A ce propos, nous compléterons ce que nous

82 LIVUE I. — CIIAIMTUE VI.

a\ons dit dans le chapitre III des caractères de l'idée de temps, et d'abord nous devons parler de la mesure du temps. Déjà, à propos des principes de la théorie du mouvement, nous avons eu plusieurs fois l'occasion d'employer ces expressions : temps égaux, temps doubles, triples, etc. En effet, nous concevons clairement que la durée est en soi une grandeur mesurable, homogène, identique dans toutes ses parties comme l'étendue : de quehjue manière que nous puissions parvenir à la mesurer effectivement. Que s'il s'agit de procéder à cette mesure effective, nous reconnaissons bien vite qu'il y a à cet égard, entre la durée et l'étendue, une différence capitale, correspondant à une différence non moins marquée dans la hiérarchie de nos facultés intellectuelles et dans l'ordonnance de nos connaissances scientifiques.

La mesure de la longueur ou de l'étendue linéaire, la mesure d'un angle ou d'un arc de cercle, s'opère par superposition, c'est-à-dire par le procédé de mesure le plus immédiat, le plus sensible, et en quelque sorte le plus grossier de tous. A ce procédé élémentaire de mesure , la construction géométrique et le calcul fondé sur une première intuition sensible rattachent, par une suite de définitions et d'identités, toutes les mesures que l'on peut prendre dans l'espace, aussi bien pour les recherches les plus délicates de la science que pour l'application aux besoins les plus vulgaires. Par exemple , on mesurera sur le terrain avec grand soin, en appliquant bout à bout des règles métalliques , en tenant compte des variations de température, en armant les yeux de loupes puissantes, une longueur de quelques milliers de mètres, et à

DE l'idée de fonction. 83

cette base, comme on l'appelle, on rattachera des triangles dont les angles seront mesurés, au moyen d'un cercle répétiteur, avec une grande précision. De là et d'autres observations astronomiques on déduira successivement par le calcul la longueur d'un arc de méridien terrestre, la longueur du diamètre de la terre, les distances et les dimensions du soleil et des planètes; mais il aura toujours fallu mesurer directement, par superposition, une longueur et des angles.

Au contraire, la superposition est inapplicable à la mesure de la durée , et quand on dit que le temps se mesure par le mouvement, sans autre explication, on tombe dans un cercle vicieux : car, si le mouvement n'est pas uniforme , comment pourra-t-il servir à mesurer le temps? Et comment s'assurer qu'il est uniforme, ou que le mobile décrit des espaces égaux dans des temps égaux, si l'on n'a pas un autre moyen de mesurer le temps, pour comparer les temps aux espaces décrits? L'objection est la même, soit qu'on emploie une clepsydre, une horloge, ou que l'on consulte cette grande horloge construite par la Nature, et dont les astres sont les aiguilles indicatrices.

34. — C'est ici qu'intervient, pour le dénouement de la difficulté, la notion suprême de la raison des choses. Je ne sais pas suivant quelles lois s'écoulent le sable ou l'eau qui sortent de la clepsydre; je puis n'avoir aucune idée des causes physiques de cet écoulement, de la structure des grains de sable ou des gouttes d'eau; mais j'affirme que, si toutes les circonstances sont les mêmes, la clepsydre se videra toujours dans le même temps, parce qu'il n'y aurait aucune raison pour que l'accomplissement du même

phénomène exigeât, tantôt une portion de la durée, tantôt une autre. A la faveur de cette maîtresse idée, je suis (provisoirement au moins, et sauf à contrôler l'hypothèse ({n'ellectivement toutes les circonstances sont les mêmes, connue elles me le paraissent) en possession d'un étalon du temps : car je pourrai constater que tel autre phénomène s'accomplit pendant (pie ma clepsydre se\ide une fois, deux fois, trois fois, et ainsi de suite. Je pourrai donc suivre un autre mobile dans son mouvement, et s'il arrive que des espaces égaux parcourus par le mobile cori-espondent à des temps égaux mesurés avec ma clepsydre , non seulement j'en conclurai que ce mobile est doué d'un mouvement uniforme, mais je m'en servirai pour contrôler l'hypothèse qu'il n'y a rien de changé dans les conditions de l'écoulement de la clepsydre; car, comment admettre que ce mobile, dont le mouvement n'a rien de comnmn avec le renversement de mon sablier, change de vitesse justement quand il le faut, et exactement dans les proportions qu'il faut, pour que les mêmes espaces parcourus par ce mobile correspondent toujours aux durées de l'écoulement du sable, supposées inégales? Ce contrôle pourra être tant de fois répété, dans tant de circonstances différentes, qu'il n'y aura plus moyen d'élever le moindre doute sur la justesse de mon étalon du temps.

On raisonnerait de même pour les battements du pendule dont la durée est généralement plus courte, pour les révolutions de l'aiguille de l'horloge dont la durée est généralement plus grande. Les astronomes font sans cesse des comparaisons et des raisonnements semblables; le soleil n'est pas exactement d'accord

DE L IDEE DE F()x\f:TIO,\. 8o

avec les étoiles; ni les étoiles, ni le soleil ne sont exactement d'accord avec la pendule de l'Observatoire. Qui a tort et qui a raison, de la pendule, du soleil ou des étoiles? Où est le mouvement uniforme, et par suite l'étalon du temps? Ils ne tardent pas à s'apercevoir que, plus on met de soin à éviter ce qui pourrait mettre de l'irrégularité dans la construction de la pendule, et plus elle tend à se mettre d'accord avec les étoiles, tandis qu'on ne peut jamais la mettre d'accord avec le mouvement du soleil, et mille raisons du même genre, que nous ne saurions détailler ici, leur montrent que tout s'explique, que tout s'ordonne avec une régularité parfaite, dans la supposition de la parfaite uniformité du mouvement apparent des étoiles ; qu'ainsi, lors même que l'on n'aurait aucune idée de la cause physique de ce mouvement , on est bien sûr d'avoir, dans la durée du jour sidéral, un excellent étalon du temps.

Donc, la mesure de la durée suppose la notion de la raison et de l'ordre des choses, elle requiert l'intervention de principes rationnels, parce que (20) l'idée du temps est dans une liaison plus immédiate avec le système des conceptions purement rationnelles ; tandis que, l'idée de l'étendue nous étant donnée par les sens externes, la mesure directe de l'étendue tombe immédiatement sous les sens, et que la mesure de l'étendue, même indirecte, n'exige que des constructions, des raisonnements, des calculs fondés sur le principe d'identité et sur une assise inférieure de la logique qui n'est pas celle à laquelle nous devons emprunter les principes propres à nous guider dans la détermination d'une mesure du temps.

35. — Le temps, tel que nous le concevons, s'écoule uniformément et indépendamment de tous les phénomènes qui s'accomplissent dans le temps. Quand nous parcourons une route, l'espace décrit à partir d'un certain point et d'un certain instant est une grandeur qui ne croît pas nécessairement d'une manière uniforme, tandis que le temps écoulé depuis le même instant est une grandeur qui, par son essence, croît toujours uniformément. De là l'idée qu'a eue Newton de comparer le changement, ou, pour employer son langage, l'écoulement {fliixio) de toutes les grandeurs à l'écoulement du temps, et de considérer toutes les grandeurs variables comme des fonctions du temps. Ce n'est point là, comme des esprits éminents l'ont pensé, une comparaison artificielle et arbitraire; elle tient au contraire à l'essence des choses , autant qu'il nous est possible d'en juger.

A cette idée se rattache celle de comparer entre elles les vitesses avec lesquelles s'opèrent les changements d'état de toutes les grandeurs variables, et notamment les vitesses avec lesquelles varient les fonctions , quand on suppose que les variables dont elles dépendent varient uniformément, comme le temps. Dans l'application aux phénomènes du mouvement, le mot de vitesse conserve son acception primitive, qid est aussi la plus usitée, quoique son acception extensive, dans l'application à d'autres phénomènes, s'offre si naturellement à l'esprit , qu'elle se retrouve dans le langage le plus familier. On dit d'une étoffe qu'elle s'use vite, et d'une autre qu'elle s'use lentement. Pour prendre un exemple moins vulgaire, on conçoit que» lorsqu'un corps échauffé se refroidit, la température

DE l'idée de fonction. 87

de la surface est une grandeur qui varie avec le temps, et qui même, eu général, ne doit pas varier uniformément, le refroidissement étant dahord plus rapide, et allant ensuite en se ralentissant, de manière que des pertes égales de température ne correspondent pas à des temps égaux. On se fait de la vitesse variable du refroidissement une idée aussi directe et aussi claire que de la vitesse variable d'un mobile.

Cette vitesse de refroidissement, tout comme celle du mobile (34i, peut varier sans cesse d'une manière continue. Elle sera, par exemple, de cent degrés dans une heure; mais elle aura pu être de dix degrés dans la première minute, et n'être plus qued'une très petite fraction de degré dans la soixantième minute qui termine riieure. Pour définir cette vitesse en chaque instant précis, il faudra fractionner le temps, à partir de cet instant, en intervalles de plus en plus petits, comme nous l'avons expliqué ci-dessus; et la limite dont s approche de plus en plus le rapport entre la perte de température et l'intervalle de temps, à mesure que l'on resserre cet intervalle, est l'expression rigoureuse de la vitesse du refroidissement à l'instant que l'on considère.

56. — Les géomètres ont une autre manière d'exprimer la même chose, en disant que la vitesse de refroidissement a pour mesure le rapport entre la perte de température et l'intervalle de temps, quand ces deux grandeurs deviennent infini ment petites (22*. Or (et c'est là le point qui intéresse particulièrement la philosophie), on aurait tort de ne voir dans cette seconde manière de s'exprimer qu'une abréviation convenue, une forme de langage, apparemment plus commode

88 LIVRK I. r.HAPiTRE VI.

puisqu'elle est plus usitée. Elle n'est effectivement plus commode que parce qu'elle est l'expression naturelle du mode de génération ou d'extinction des grandeurs qui croissent ou décroissent par éléments plus petits que toute grandeur finie. Ainsi, quand un corps se refroidit, le rapport entre les variations élémentaires de la chaleur et du temps est la vraie raison du rapport qui s'établit entre les variations de ces mêmes grandeurs quand elles ont acquis des valeurs finies. Ce dernier rapport, il est vrai, est le seid qui puisse tomber directement sous notre observation , et lorsque nous définissons le premier par le second en faisant intervenir la notion de limite , nous nous conformons aux conditions de notre logique humaine: mais, une fois en possession de l'idée du premier rapport, nous nous conformons h la nature des choses en en faisant le principe d'explication de la valeur que l'observation assigne au second rapport. C'est pour cette raison que la notation des quantités infinitésimales, imaginée par Leibnitz, constitue une invention capitale qui a si prodigieusement accru la puissance de l'instrument mathématique et le champ de ses applications à la philosophie naturelle *.

1 On peut voir sur ce sujet notre Traité élémentaire de la théorie des fonctions et du calcul infinitésimal , particulièrement les chapitres Hl et IV du livre I.

DES IDÉES DE HASARD ET DE PROBABILITÉ, ET DE LEURS APPLICATIONS LO- GIQUES ET MATHÉMATIQUES. — DE L'ARRANGEMENT SYNOPTIQUE DES IDÉES QUI TIENNENT A L'ORDRE ET A LA FORME.

o7. — ?sous avons déjà eu l'occasion (36) de poser la distinction entre les mouvements absolus et les mouvements relatifs. Gomme il n'y a pas de points de repère de la fixité desquels nous puissions être sûrs, il est vrai de dire que tous les mouvements que nous qualifions d'absolus ne le sont que par comparaison. D'ailleurs, il en est de la distinction entre les mouvements apparents et les mouvements réels comme de la distinction entre les mouvements relatifs et les mouvements absolus, soit que la difîérence entre l'apparence et la réalité tienne au mouvement dont l'observateur est lui-même animé (exemple, la rotation diurne de la voûte céleste), soit qu'elle tienne au mode de perception du mouvement par l'observateur, comme lorsqu'un point lumineux qui décrit effectivement un cercle dans l'espace, nous semble décrire la courbe ovale que l'on nomme ellipse, parce que nous ne voyons le cercle que dans une sorte de perspective ou de projection, sans pouvoir immédiatement juger de la distance du point lumineux à notre œil.

Le premier problème qui se présente en philosophie naturelle consiste à démêler les mouvements relatifs ou apparents, et ceux que (par comparaison

90 ' LIVREI. — CHAPITRE Vil.

du moins) nous pouvons qualifier d'absolus ou de réels, et ;i choisir convenablement, d'après les suggestions du bon sens et les décisions de la raison, entre toutes les hypothèses que l'on peut faire sur les mouvements réels ou absolus qui produisent les mouvements apparents ou relatifs que l'on observe. C'est ici qu'intervient nécessairement {comme nous l'avons abondamment prouvé dans d'autres ouvrages) l'idée de la simplicité des lois, et par conséquent l'idée même de loi, si naturellement connexe (il) à l'idée de mouvement.

Par exemple, notre intelligence est frappée de la simplicité avec laquelle les lois des mouvements réels des corps célestes, telles que Copernic les pose, expliquent les apparences de la station et de la rétrogradation des planètes , et elle n'hésite pas à préférer ces lois si simples aux lois si compliquées données par l'auteur de l'Almageste. Imaginons encore que l'on observe simultanément le mouvement d'un corps opaque qui décrit uniformément un cercle parfait, et le mouvement de l'ombre qu'il projette sur un corps voisin, à surface irrégulière : aurait-on besoin de palper le corps et l'ombre pour s'assurer que c'est bien le mouvement du corps qui entraîne celui de l'ombre (51), et non le mouvement de l'ombre qui entraîne celui du corps? Ne suffirait-il pas, au contraire, de considérer combien la loi du premier mouvement paraît simple, combien l'autre mouvement est compliqué (eu égard à la forme de la courbe et à la vitesse variable avec laquelle les différentes portions de cette courbe sont décrites), et de songer combien il est peu naturel de chercher dans un phénomène si compliqué

DK LA l'ROBABILlTÉ. 91

la raison d uue loi que signale une simplicité si grande?

C'est, en effet, un principe de la raison humaine sans lequel aucune critique, et par suite presque aucune science ne serait possible, que de chercher dans le simple l'explication ou la raison du compliqué. Voilà tel système d'apparences que l'on peutexpHquer par telle hypothèse très simple sur les mouvements réels, si simple que nous n'hésitons pas à l'admettre. Pourquoi cela? C'est que le mouvement réel, quel qu'il soit, est certainement le principe ou la raison des apparences observées, et que nous concevons très bien que la simplicité soit le caractère essentiel des principes des choses, ou des choses les plus rapprochées de leurs premiers principes, tandis que, si l'hypothèse est fausse, si le principe des apparences observées doit se chercher aiMeurs, c'est donc accidentellement, sans raison tirée de l'essence de la chose, ou en d'autres termes par hasard, que s'offre à notre pensée une combinaison ayaut ce caractère de simplicité remarquable, et qui par là simule un principe. Nous rejetons cette seconde alternative comme n'étant pas probable, et elle peut être en effet si improbable que nulle personne sensée n'hésitera à la rejeter avec nous (6).

08. — Une fois en possession de ce principe de distinction entre les mouvements absolus et les mouvements relatifs , entre les mouvements réels et les mouvements apparents, l'esprit humain a la clef de toute critique philosophique, car une pareille distinction est le schème ou l'exemple frappant sur lequel nous sommes fondés à modelei- l'idée que nous dcAons

92 LIVRE I. — (.HAIMTRE Vif.

nous faire de la distinction entre l'apparence et la réalité, entre le relatif et l'absolu en toutes choses. Les principes de distinction, d'analyse et de jug-ement sont exactement les mêmes. Nous concevons un espace absolu ; mais dans cet espace nous manquons de points de repère absolument fixes, ou de la fixité desquels nous soyons absolument sûrs, et par conséquent nous ne pouvons affirmer d'aucun mouvement qu'il est absolu , quoique , par rapport au système des points de repère, nous distinguions très bien des mouvements absolus d'avec des mouvements relatifs. De même, nous concevons une réalité al)solue, mais il ne nous est pas donné d'y atteindre, ou pour le moins nous ne sommes pas autorisés à affirmer que nous y atteignions jamais. Toutefois nous pouvons pénétrer de plus en plus dans le fond de réalité des phénomènes, en le dégageant de plus en plus de ce qui tient uniquement à notre manière de les percevoir, et en opposant le phénomène, ou la réalité relative, à la simple apparence, qui prend le nom A' illusion, quand nous lui attribuons à tort une réalité qu'elle n'a pas '.

59. — Toutes ces idées que nous venons de rappeler, à savoir les idées de raison et de loi, d'essence et d'accident, de simplicité et de complexité, ne sont encore que les idées d'ordre, de combinaison et de forme, présentées sous divers aspects, ou, si l'on trouve plus commode de les distinguer, il faut dire qu'elles appartiennent au même groupe et s'attirent l'une l'autre. Mais nous avons en outre employé les termes de hamrd et de jugement probable ou de pro-

' 'Eiuii , chap. i, passim.

babilitê; ce sont ceux-ci dont il s'agit maintenant d eclaircir et de préciser la signification.

Supposons que je veuille déterminer le poids d'une pierre qui me tombe sous la main , et que je n'aie d'abord à ma disposition que des kilogrammes. Tout ce que je pourrai faire, ce sera de constater avec la balance que le poids de la pierre est compris entre trois kilogrammes et quatre kilogrammes; j'écrirai quelque part le chiffre 3 pour me rappeler qu'il entre dans le poids de la pierre 3 kilogrammes, plus une portion de kilogramme.

Je me procure des hectogrammes, et je suis en état de déterminer de même combien il entre d'hectogrammes dans la portion de kilogramme dont il s'agit : j'obtiendrai ainsi un chiffre 3, que j'écrirai à la droite du chiffre 3 trouvé d'abord. Mais, sans avoir besoin de faire cette nouvelle pesée, je suis bien certain à l'avance qu'il n'existe aucune liaison nécessaire entre le chiffre déjà trouvé et celui que je vais obtenir, car, quelle liaison peut-il y avoir entre les causes qui ont donné à ce fragment de roche le poids qu'il a au moment où je le pèse, et les raisons qui ont suggéré au législateur français l'idée de prendre le kilogramme pour unité de poids, et de le subdiviser suivant la progression décimale? Je ne m'attendrai donc pas à trouver pour le chiffre des hectogrammes tel des dix chiffres de notre numération décimale plutôt que tel autre. Si j'obtiens une seconde fois le chiffre 3, ce qui semblera donner à la combinaison plus de singularité, la rencontre n'en sera pas moins accidentelle et fortuite; elle arrivera, comme on dit, par hasard, d'oti cette conséquence que l'idée de hasard est l'idée

d'une rencontre entre des faits rationnellement indépendants les uns des autres, rencontre qui n'est ellemême qu'un pur fait, auquel on ne peut assigner de loi ni de raison.

Après avoir déterminé le chiffre des hectogrammes, je pourrai déterminer de même le chiffre des décagrammes, et si je suis habile expérimentateur, si j'ai d'excellentes balances, je pourrai pousser ainsi jusqu'aux milligrammes, et je trouverai de la sorte une série de sept chiffres , oii je ne dois m'attendre h rencontrer aucune régularité. Si quelque apparence de régularité se présente, c'est que les combinaisons régulières figurent comme les autres parmi les combinaisons possibles, et qu'elles doivent se présenter comme les autres ', quoiqu'il y ait, je ne dis pas une ccmse (qu'on le remarque bien), mais une raison pour qu'elles se présentent plus rarement, c'est qu'elles sont plus rares ou en moindre nombre.

Admettons que je trouve sept fois de suite le nombre 3 : ce sera le cas de la plus grande régularité possible; il n'y a que 10 combinaisons ou chances sur 604 800, ou une sur GO 480 qui offrent ce caractère de constance et de régularité poussée à l'extrême. C'est comme si j'amenais un caractère fixé à l'avance en prenant au hasard dans une urne qui renfermerait 60 480 caractères différents (ci peu près, nous dit-on, le nombre des caractères de l'écriture chinoise). Je trouverai donc le cas fort singulier, mais je ne l'en réputerai pas moins fortuit, parce que, encore une fois, ma

* (( Ecn oÈ Toyro àxô;, wSTTsp AyiScov \iyn' saôç yàp yîvcoÔai TroXXà ' xai Trafà xh àxéç. » (Aristot. ^oet. cap. XVIII.)

DK L.\ PROBABILITÉ. 9o

raison coiicoit très bien qu'il n'y a rien de commnn entre le poids de cette pierre brute et la fixation légale de l'étalon des poids, ainsi que de l'échelle de subdivision.

60. — Que s'il s'agissait, non plus de la pierre brute contre laquelle mon pied s'est heurté, mais d'un certain volume de mercure contenu dans un vase qui me tombe sous la main, je tirerais de la singularité observée une conclusion toute autre. L'arithmétique m'apprendrait que la fraction -^, quand on la convertit en décimales (41), donne la fraction décimale périodique

j'en conclurais que j'ai affaire au tiers de dix kilogrammes de mercure, et qu'apparemment un physicien, après avoir pesé avec beaucoup de soin dix kilogrammes de mercure, en a fait trois parts égales, en vue de quelques expériences comparatives , et que je suis tombé sur une des parts mises en réserve. J'aperçois ainsi une liaison possible, probable, entre l'unité légale des poids et le poids que j'ai à déterminer, et je n'hésite pas à préférer cette explication rationnelle, quoique non catégoriquement démontrée, à l'explication par cas fortuit ou par hasard.

La lune met à tourner autour de son axe le même temps qu'elle emploie à circuler autour de la terre (39); cette coïncidence frappe les astronomes, et comme leur raison se refuse à la réputer fortuite, ils en concluent que ces deux mouvements de notre satellite ne sont pas des phénomènes indépendants l'un de l'autre. Les géomètres, enfin, parviennent à assigner.

96 LIVUK I. CHAPITRE YII.

non pas la cause physique (laquelle, remarquons-le soigneusement, nous est encore absolument inconnue), mais la raison mathématique de cette dépendance et de cette coïncidence.

Au contraire, le mouvement de rotation de la terre autour de son axe, son mouvement de circulation autour du soleil sont deux phénomènes indépendants l'un de l'autre; et aussi arrive-t-il que lorsqu'on veut évaluer la durée de l'année solaire en prenant pour unité la durée du jour sidéral, on tombe sur une fraction qui ne peut jamais être qu'approchée, et dont les chiffres se succèdent sans offrir de trace de régularité. C'est comme lorsque je veux évaluer en kilogrammes et en fractions décimales de kitogramme le poids de l'éclat de roche que je rencontre sur mon chemin.

61 . — Dans l'un et l'autre cas, de même que toutes les fois qu'il s'agit de mesures à prendre, l'imperfection de nos sens et de nos instruments pose nécessairement une limite à l'approximation que nous pouvons atteindre, et réduit même à un fort petit nombre, par exemple à six ou à sept, celui des chiffres décimaux successivement obtenus. Il en résulte que nous pouvons à la rigueur être déçus par les apparences de régularité, même les plus grandes, faute d'être h même de prolonger la série autant qu'il le faudrait pour amener la disparition d'une régularité apparente et purement fortuite. Il est beaucoup question dans la haute arithmétique d'un nombre que l'on appelle /a base des logarithmes naturels ou népériens, et dont l'évaluation en décimales donne lieu à la série

Si l'on n'avait calculé que les neuf premiers chiffres de la partie décimale, le retour accidentel de quatre chiffres dans le même ordre aurait porté à croire que l'on a affaire à une fraction décimale périodique, conclusion démontrée fausse par la théorie, et qui se trouve renversée par le fait, pourvu seulement que l'on calcule un chiffre de plus. On peut faire tant de rapprochements différents entre des chiffres, même en petit nombre, qu'on finit presque toujours par découvrir quelque rapprochement singulier et purement accidentel, qui devient le fondement de ce qu'on nomme une règle mnémonique. Ainsi, pour retenir les nombres 355 et 1 13, dont le rapporta été indiqué par Metius comme représentant , avec une approximation très grande , celui de la circonférence d'un cercle à son diamètre, on écrit ces deux nombres bout à bout, en commençant par le plus petit,

et la règle mnémonique consiste en ce que cette courte série de six chiffres se compose des trois premiers nombres impairs, écrits dans leur ordre de grandeur, et répétés chacun deux fois. C'est un de ces purs hasards, auxquels s'applique la remarque d'Aristote ou d'Agathon transcrite plus haut. Pour faire évanouir toutes les fausses inductions qu'on pourrait tirer de rencontres de ce genre, et découvrir les lois véritables qui régissent, même le hasard, il faut considérer une série dont tous les termes soient rigoureusement déterminés, et qui n'ait d autres limites que celles qu'y apporte la lassitude du calculateur. Déjà nous avons considéré au n° 41 une série de ce genre, r. 7. 7

celle précisément qui donne en fractions décimales le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre :

3,1il592653o8979:i2384626i338327950

Voilà 32 chiffres décimaux consécutifs; on en a calculé des centaines; on pourrait se passer la fantaisie d'en calculer des milliers ; et chaque chiffre de la série , si reculé qu'en soit le rang, doit être conçu comme ayant actuellement , comme ayant eu de tout temps une \aleur rigoureusement déterminée, quoique nous ne la connaissions pas et que nous n'ayons même aucun intérêt à la connaître. Mais, soit qu'il s'agisse de chiffres connus ou inconnus, nous sommes sûrs de pouvoir étudier et appliquer sur ce modèle tous les caractères qui tiennent à la nature du hasard ou de la succession fortuite.

Par exemple, nous trouvons que dans la série des 32 chiffres décimaux il y a

un chiffre (le zéro), qui ne paraît (\v\ime fois;

deux chiffres (1 et 7) qui figurent. . deux fois;

trois chiffres (4, 6 et 8) qui figurent, trois fois;

û^eWcZ' chiffres (2 et 9) qui figurent. . quatre fois;

î//i chiffre (le 3), qui figure six fois.

Tous ces résultats sont fortuits, irréguliers, et pourtant il y perce déjà un germe de régularité : car, si tous les chiffres qui ont même chance d'apparition apparaissaient effectivement avec la même fréquence, chaque chiffre apparaîtrait une fois sur dix, ou trois fois sur trente, et nous observons effectivement qu'il y a plus de chiffres qui figurent trois fois que de chiffres qui figurent deux ou quatre fois, et plus en-

core qu'il n'y en a qui figurent moins de deux fois ou plus de quatre fois. Si la série était prolongée beaucoup plus loin, les résultats seraient bien plus nets. Les différences entre les nombres d'apparition, d'un chiffre à l'autre, auraient sans doute des valeurs absolues beaucoup plus grandes que celles ci-dessus, mais leurs valeurs relatives au nombre total des apparitions iraient en diminuant indéfiniment, et il viendrait un moment où le nombre des apparitions de chaque chiffre serait sensiblement la dixième partie du nombre total des chiffres calculés.

Il y a autant de chiffres impairs que de chiffres pairs (le zéro étant compris dans les chiffres pairs, eu égard à son rang), tandis que nous trouvons sur notre exemple qu'il y a dix-huit apparitions de chiffres impairs (deux de plus que la moitié), et seulement quatorze apparitions de chiffres pairs (deux de moins que la moitié. Mais, si Ion opérait successivement sur des centaines , des milliers , des myriades de chiffres dans la série suffisamment prolongée, on trouverait que le rapport du nombre des chiffres pairs au nombre total des chiffres calculés approche de plus en plus d'être égal à la fraction -, et n'en diffère en fin de compte que par des fractions d'une extrême petitesse.

La somme des dix chiffres de notre numération décimale vaut 45, et la moyenne quatre et demi. Si donc les dix chiffres étaient répartis dans la série en proportions égales, ou seulement si les irrégularités de même sens portaient aussi fréquemment sur les chiffres forts que sur les chiffres faibles , la moyenne des valeurs de tous les chiffres de la série serait encore quatre et demi. Nos 32 chiffres nous donnent pour

moyenne quatre trois quarts, ce qui est un peu trop fort; mais la différence irait en s'atténuant indéfiniment quand on embrasserait de très grands nombres, ainsi qu'on vient de l'expliquer.

62. — Nous venons de prendre un exemple dans le monde des choses intelligibles, dans l'ordre des faits purement mathématiques, et partant nécessaires, pour que l'on reconnût mieux que ces raisons mathématiques, qui introduisent l'ordre dans le désordre même, et qui sont l'objet de la théorie mathématique des chances et des probabilités, n'impliquent pas la notion de cause physique, ne s'appliquent pas uniquement aux faits que nous réputons aléatoires ou contingents, ne sont pas, comme on l'a dit, relatives à notre condition humaine, mélangée de science et d'ignorance, et subsisteraient encore aux yeux d'une intelligence supérieure qui lirait dans l'enchaînement des causes et des effets les plus compliqués, comme nous lisons dans les formules mathématiques que nous avons construites ou découvertes par nos propres forces '.

Lorsque nous tirons dans une urne des billets de loterie dont chacun porte un numéro, l'extraction de chaque billet est déterminée par des causes physiques, comme l'avènement successif de chaque chiffre du rapport de la circonférence au diamètre est déterminé par des formules et des raisons mathématiques. Nous

^ Voyez, pour tout le développement des idées que nous ne pouvons indiquer ici que de la manière la plus succincte, notre Exposition élémentaire de la théorie des chances et des probabilités, et V Essai sur les Fondements de nos connaissances, en particulier les chap. III e^ IV.

DE LA PROBABILITE. 101

connaissons ces raisons mathématiques, et nous serions hors d'état d'assigner les causes physiques qui déterminent l'extraction de chaque hillet ; mais qu'importe ? La succession n'en a pas moins, dans l'un et l'autre cas, tous les caractères de la succession fortuite. Elle conserverait les mêmes caractères pour une intelligence capable d'assigner les causes physiques qui nous échappent et de prévoir les faits particuliers qui se dérobent à nos prévisions. Et les caractères de la succession fortuite tiendraient, pour cette intelligence supérieure aussi bien que pour nous, à ce qu'il n'y a nulle solidarité, nulle dépendance rationnelle, d'une part entre l'échelle de la numération décimale et la grandeur qu'il s'agit de mesurer, d'autre part entre les causes physiques qui déterminent l'extraction d'un billet et le numéro inscrit à l'avance sur ce billet.

63. — De là l'importance de la branche de la syntactique que l'on connaît sous le nom de calcul des probabilités. Les applications de ce calcul n'ont pas seulement, ni même principalement pour objet des jeux frivoles , comme beaucoup de gens le croient encore, parce qu'en effet c'est à l'occasion de jeux frivoles qu'on en a d'abord articulé les premiers principes; elles se présentent sans cesse à propos de la succession des phénomènes naturels et du cours des événements , oi^i il faut faire la part des influences régulières et constantes et des irrégularités fortuites, tenant au concours d'influences diverses , indépendantes les unes des autres. Or, lorsqu'il s'agit, non plus de jeux conventionnels , mais du cours des événements naturels, oi^i mille circonstances, raille influences diverses, indépendantes les unes des autres,

102 LWM: I. — CHAPITRE VII.

se combinent sans cesse entre elles, d'une multitude de manières différentes, on se trouve précisément dans les conditions de répétition indéfinie dont nous parlions tout à l'heure à propos du prolongement indéfini que notre série comportait. Certains résultats généraux et moyens ne tardent pas à se manifester à travers les écarts fortuits qui se compensent les uns les autres, par la seule puissance des nombres et les lois mathématiques des combinaisons. On arrive ainsi à déterminer à très peu près, par l'observation même, le nombre qui mesure \d^ probabilité mathématique, ou la jmssibilité, ou mieux encore la facilité de chaque événement à la production duquel le hasard a part, probabilité qui n'est autre chose que le rapport du nombre des chances ou des combinaisons qui doivent l'amener, au nombre total des chances ou des combinaisons possibles; et qui se réfère, non à un point de vue de notre esprit, à l'étendue ou à la restriction de nos connaissances, mais au fond des choses et à la nature de leurs rapports, indépendamment de la connaissance que nous en avons.

64. — Enfin, à côté de la notion de la probabilité mathématique qui s'évalue en nombre et se détermine empiriquement à l'aide de relevés numériques, tels que ceux dont les recueils de statistique sont remplis, il y a, par suite de l'alliance constante entre les principes mathématiques et les principes logiques ou purement rationnels, alliance que nous nous attachons surtout à mettre en relief, une autre probabilité que les chiffres n'expriment pas, et qui pourtant intervient dans la plupart des jugements que nous portons. Cette probabilité que nous qualifions de philosophique, et

qui, daus certaines applications particulières, prend les noms ^analogie et à' induction, tient à la fois à la notion du hasard et au sentiment de l'ordre et de la simplicité des lois qui l'expriment (57). Mais, d'autre part, la probabilité philosophique diffère essentiellement de la probabilité mathématique, en ce qu'elle n'est pas réductible en nombres, non point à cause de l'imperfection actuelle de nos connaissances dans la science des nombres, mais en soi et par sa nature propre. Il n'y a lieu, ni de nombrer les lois possibles, ni de les échelonner comme des grandeurs, par rapport à cette propriété de forme qui constitue leur degré de simplicité, et qui donne, dans des degrés divers, à nos conceptions théoriques l'unité, la symétrie, l'élégance et la beauté. Autant vaudrait demander combien il y a de formes simples que les corps puissent revêtir, et si la forme d'un cylindre est plus simple ou moins simple que celle d'un cube ou d'une sphère.

65. — En général, une théorie scientifique quelconque, imaginée pour relier un certain nombre de faits donnés par l'observation, peut être assimilée à la courbe que l'on trace d'après une loi géométrique, en s'imposant la condition de la faire passer par un certain nombre de points donnés d'avance. Le jugement que la raison porte sur la valeur intrinsèque de cette théorie est un jugement probable, une induction dont la probabilité tient d'une part à la simplicité de la formule théorique, d'autre part au nombre des faits ou des groupes de faits qu'elle relie, le même groupe devant comprendre tous les faits qui s'expliquent déjà les uns par les autres, indépendamment de l'hypothèse

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théorique. S'il faut compliquer la formule, à mesure que de nouveaux faits se révèlent à l'observation, elle devient de moins en moins probable en tant que loi de la Nature : ce n'est bientôt plus qu'un échaffaudage artificiel qui croule enfin lorsque, par un siircroît de complication, elle perd même l'utilité d'un système artificiel, celle d'aider le travail de la pensée et de diriger les recherches. Si au contraire les faits acquis à l'observation postérieurement à la construction de l'hypothèse sont reliés par elle aussi bien que les faits qui ont servi à la construire, si surtout des faits prévus comme conséquences de l'hypothèse reçoivent des observations postérieures une confirmation éclatante, la probabilité de l'hypothèse peut aller jusqu'à ne laisser aucune place au doute dans un esprit éclairé.

66. — Cet accord soutenu n'emporte cependant pas une démonstration formelle comme celles qui servent à établir les vérités géométriques, ou comme la preuve qui s'attache à ces syllogismes rebattus, dont retentissaient les écoles aristotéliciennes. Tandis que la certitude acquise par la voie de la démonstration logique est fixe et absolue, n'admettant pas de nuances ni de degrés, cet autre jugement de la raison, qui produit sous de certaines conditions une certitude ou une conviction inébranlable, dans d'autres cas ne mène qu'à des probabilités qui vont en s'affaiblissant par nuances indiscernables, et qui n'agissent pas de la même manière sur tous les esprits.

67. — Nous venons de passer rapidement en revue, dans ces premiers chapitres, tout un groupe ou toute une famille d'idées fondamentales, ayant entre elles des rapports intimes, s'appelant ou se suscitant les

DE LA PROBABILITE.

unes les autres, possédant des caractères communs et intervenant de la même manière dans l'économie de tout le système de nos connaissances, mais pouvant aussi se suffire à elles-mêmes, et suffire à la construction de théories scientifiques dont les mathématiques nous offrent le type le plus parfait. Il ne sera pas inutile de montrer, par le tableau synoptique suivant, comment on peut résumer ou exprimer d'une manière concise les rapports dont il s'agit, tels qu'ils ressortent de toutes les expUcations qui précèdent.

L'ORDRE ET LA FORME