CHAPITRE II Des idées de genre et d'espèce

DE nombre et de COMBINAISON, ET DES THÉORIES LOGIQUES ET MATHÉMATIQUES DONT ELLES SONT LA SOUCHE.

8. — Parmi les idées que la nature même des choses nous suggère et qui ne tiennent pas seulement à notre manière de les concevoir, il n'y en a pas de plus simple, de plus claire, de plus générale que l'idée de nombre. Mundum regunt numeri : cet adage de la sagesse antique, que les découvertes du génie moderne ont confirmé d'une manière si éclatante, suffit pour montrer que les nombres ne sont point une création de l'esprit humain ; car l'esprit humain ne saurait honnêtement prétendre à être le régulateur du monde.

Mais, cette idée même de nombre en suppose une autre ; car, lorsque nous disons que la planète de Saturne a sept satellites, qu'une fleur de crucifère a quatre pétales et six étamines, qu'un cube de galène a six faces, douze arêtes et huit angles solides (tous exemples pris assurément dans la Nature), nous reconnaissons implicitement que les satellites d'une planète, les pétales et les étamines d'une fleur, les faces, les arêtes et les angles solides d'un cristal sont des objets congénères, ayant chacun leur individualité propre, et pourtant naturellement associés aux autres objets au nombre desquels nous les comptons, quel que soit le degré de ressemblance ou de dissemblance entre les objets congénères. Ainsi l'idée de nombre et l'idée d'association ou de groupement par genres sont deux idées corrélatives dont l'une implique l'autre. L'une est le point de départ des sciences mathématiques ; l'autre sert de base à l'édifice de la logique des écoles. Gela seul nous expli-

querait pourquoi les sciences mathématiques et logiques ont entre elles tant d'affinité. Nous voyons de prime abord pourquoi les auteurs des listes de catégories ont dû faire fausse route en séparant dés l'origine ce qui était indissolublement uni par des rapports naturels.

9. — Du reste, le caractère essentiel de l'idée mathématique s'annonce aussi dès le début. Car on pourra discuter sur les caractères qui distinguentle genre, prétendre, par exemple, que les pétales du lis ne sont pas des pétales, parce qu'il y a des motifs d'admettre que l'enveloppe florale, malgré son éclat, doit être réputée un calice et non une corolle : corolle ou calice, l'enveloppe florale n'en aura pas moins six divisions bien marquées ; et tout le monde sera forcément d'accord sur le nombre des objets congénères, sinon sur la définition du genre.

On pourra de même discuter sur ce qui fait Vuniié ou l'individualité de l'objet ; et souvent la question, étant de celles qui tiennent, non plus à la forme, mais au fond des choses, dépassera la portée de notre intelligence (2). En tout cas, la solution de la question reposera sur d'autres idées que celles qui nous occupent maintenant, et sur des idées d'origine et de catégories très diverses, selon la nature des objets nombres. Je compte les faces ou les angles solides d'un cristal, et j'ai par la géométrie seule, par la pure science des formes, l'idée la plus nette de ce qui constitue dans un corps polyédrique l'individualité, l'unité de chaque face ou de chaque angle solide ; mais il faut que je demande à la physique, et que j'essaie de tirer des idées premières sur lesquelles nos sciences physiques se fondent, une notion telle quelle de ce qui constitue l'individualité ou l'unité d'un cristal. L'individuahté de la planète n'est pas de même ordre ni de même nature que celle du cristal ; et l'éclat de roche, devenu un galet par le frottement des eaux, n'a pas une individualité physique, une unité que l'on puisse comparer à celle du cristal, ni même à celle de la planète.

Que s'il s'agit du dénombrement des êtres organisés et vivants, des appareils qui les constituent et des fonctions qu'ils remplissent, des races, des espèces, des familles dans lesquelles ils se distribuent, des produits auxquels ils communiquent, à des degrés divers, le souffle de vie, bien plus de voiles encore recouvriront pour nous le principe d'individua-

lité ou d'unité, certainement très distinct de ce qui fait l'individualité ou l'unité d'un cristal, d'un soleil, d'un système planétaire. A un étage encore supérieur, nous rencontrons, dans la personnalité humaine, un principe d'individualité ou d'unité qu'on ne saurait confondre avec ce qui fait l'individualité ou l'unité de la plante, du zoophyte, de l'animal ; et de là enfin le métaphysicien s'élèvera jusqu'à la conception d'une unité transcendante, dans la contemplation de laquelle sa raison pourra s'égarer ou se fortifier, selon que la trempe de son esprit le disposera à l'extase mystique ou à la méditation circonspecte. Donc l'idée de l'unité, ainsi entendue, et en tant qu'elle s'applique à la connaissance de ce que les choses sont foncièrement et intrinsèquement, est une idée qui subit de continuelles transformations : d'abord très claire, puis obscure, puis mystérieuse, selon les objets auxquels elle s'applique. Il ne faut donc pas, comme tant d'auteurs de catégories l'ont fait, mettre l'idée de Vunité en regard de l'idée de pluralité ou de nombre. Au sens mathématique, l'unité n'est qu'un nombre, comme deux, trois, quatre, etc. ; et en ce sens par conséquent, sens purement formel, l'idée de l'unité est aussi claire, aussi précise, aussi invariable que celle de tout autre nombre, sans qu'il y ait lieu de faire contraster l'une avec l'autre. Dans l'autre sens, l'idée de l'unité se retrouve partout, mais partout transformée, et constituant en effet autant d'idées différentes qu'il y a de catégories différentes pour la distribution des objets de la pensée.

10. — L'idée de nombre n'est pas moins intimement unie à l'idée d'ordre qu'à l'idée de genre. Les langues en fourniraient la preuve, en nous donnant, à côté de la série des noms de nombre que les grammairiens qualifient de cardinaux, la série des noms de nombre ordinaux. Nous ne pouvons faire un dénombrement, qu'en comptant les objets dans un certain ordre, ni fixer un ordre que par une étiquette numéri^^ue ou par des étiquettes, telles que les lettres de l'alphabet ov. les notes de l'échelle nmsicale, dont nous connaissons déjà le numéro d'ordre.

H. — A côté des idées de groupe ou de genre, de nombre et d'ordre vient se placer l'idée de combinaison binaire, ternaire, etc. On ne peut considérer les combinaisons directement et en elles-mêmes (par exemple pour les applications du jeu,

pour la détermination des formes du syllogisme, pour la systématisation de la chimie, etc.) sans que le procédé pour former toutes les combinaisons, en s'assurant de n'en omettre aucune, n'implique un procédé arithmétique pour calculer le nombre de ces mêmes combinaisons.

Réciproquement, l'arithmétique la plus vulgaire, comme la science des nombres dans ce qu'elle a de plus élevé, impliquent les idées d'ordre, de groupe, de combinaison, en même temps que l'idée de nombre. L'artifice de la numération repose sur la conception de groupes hiérarchiquement ordonnés (dizaines, centaines, etc.), c'est-à-dire sur l'idée fondamentale de toute classification ; dans la multiplication, il s'agit, pour obtenir tous les produits partiels, de combiner successivement chaque chiffre de l'un des facteurs avec chaque chiffre de l'autre ; plus loin l'on démontre que le produit de plusieurs facteurs est une combinaison qui ne change pas selon l'ordre dans lequel les éléments de la combinaison sont rangés, et ainsi de suite.

La syntadique, c'est-à-dire la science des combinaisons et de l'ordre, s'apphque donc à V arithmétique, comme l'arithmétique s'applique à la syntactique, en tant qu'elle fournit le moyen de calculer, par des procédés expéditifs, les nombres des combinaisons possibles : nombres immenses, pour peu que le degré de complexité des combinaisons s'élève, et dont il importe cependant de pouvoir assigner les rapports ; car de ces rapports dépendent la rareté ou la fréquence avec laquelle apparaissent les combinaisons de chaque sorte, soit dans la succession des phénomènes naturels, soit dans les choses que l'esprit humain invente ou dirige. Aussi la partie purement mathématique de la science de l'ordre est-elle celle qui comporte le développement scientifique le plus étendu et les applications les plus dignes d'intérêt.

12, — Toute distribution par groupes et par classes présuppose certains caractères tranchés, servant de base au groupement ou à la classification ; de sorte que la classification cesse d'être possible quand il y a passage continu d'un caractère à un autre. En conséquence, tout l'échafaudage de la logique proprement dite, la classification, la définition, la construction syllogistique cessent d'être apphcables aux objets sensibles ou purement intelHgibles dont les caractères ou les

attributs n'ont rien de fixe ou de tranché, et peuvent passer d( l'un à l'autre par une multitude indéfinie de nuances intermé diaires. Chaque objet devient alors sui generis, comme les logiciens disent, et sur de tels objets l'appareil logique n'< point de prise.

De leur côté, les nombres, en tant qu'ils s'appliquent ai dénombrement ou au compte d'objets individuellement déter minés, se distinguent les uns des autres d'une manière parfai tement tranchée, et offrent le type le plus net de la discontinuité. Telle constellation comprendra 15 étoiles, telle autre 16 sans qu'il y ait de passage ou d'intermédiaire possible, di nombre 15 au nombre 16. Voilà pourquoi les nombres soni aussi appelés des quantités discrètes, dénomination peu juste car les nombres, par eux-mêmes, expriment des quotités, nor des quantités. Cependant l'idée de nombre, même appliquée è des objets individuellement déterminés, et dans lesquels on ne considère ni l'étendue, ni la durée, qui sont choses continuer de leur nature, conduit aussi à l'idée de continuité, et voie comment.

L'idée de nombre conduit à l'idée de rapport. Par exemple quand on se livre à des recherches de statistique, le but peu! être de déterminer des nombres absolus et de savoir notam ment combien la population d'une telle ville compte annuelle ment de décès ; mais plus ordinairement, surtout lorsque l'or a en vue des comparaisons, il s'agit moins de connaître da nombres absolus que le rapport du nombre des décès au chiffre de la population ; car on admet aisément que, toutes chose.^ égales d'ailleurs, le nombre des décès sera double ou triple poui une population double ou triple, et ainsi de suite. On pourra donner à l'expression du rapport dont il s'agit diverses formes en disant par exemple qu'il y a 3 décès pour 100 habitants ou un décès pour 33 habitants, mais en comprenant aussi que toutes ces expressions ne sont qu'approchées, <ît que le rapport dont il s'agit peut avoir une infinité de vateurs différentes comprises entre 3 pour 100 et 4 pour 100, entre 1 pour 32 et 1 pour 33. En multipliant les observations, en opérant sur des nombres de plus en plus grands, l'on conçoit que l'on pourra avoir une expression arithmétique de plus en plus rapprochée de ce rapport, qui ne comporte peut-être pas une expression arithmétique rigoureusement exacte. L'on conçoit

pareillement que ce rapport peut changer, d'un pays à un autre, d'une époque à une autre, et changer en passant par une infinité de valeurs intermédiaires. Donc l'idée de rapport, même appliquée à des nombres absolus qui ne peuvent que changer brusquement de valeur, suffit pour nous conduire à l'idée d'un changement continu dans la valeur du rapport. De là le passage de l'arithmétique des nombres entiers à l'arithmétique des nombres fractionnaires qui servent à exprimer les rapports.

13. — On est encore conduit à la notion de la continuité et au calcul des nombres fractionnaires par l'idée de mesure et par la considération des grandeurs mesurables. Rien de plu& aisé que de trouver des exemples de grandeurs mesurables parmi les choses dans la détermination desquelles entrent l'étendue ou la durée ; mais par là on aurait l'air de subordonner les théories d'arithmétique pure aux notions de l'espace et du temps, qu'elles surpassent pourtant, quant au degré d'abstraction et de généralité. Afin d'éviter cet inconvénient, prenons pour exemple l'idée que nous avons du prix ou de la valeur commerciale des choses. Cette idée n'a pas besoin d'être ici l'objet d'une discussion approfondie : il nous suffira de remarquer que l'habitude d'échanger comme équivalentes des quotités différentes d'objets de diverses sortes, par exemple tant de bœufs contre tant de moutons, tant de poules contre tant d'oeufs, conduit nécessairement à abstraire de l'idée d& ces objets divers, l'idée d'une valeur qui y est attachée, et à évaluer tous ces objets en prenant pour terme de comparaison ou pour unité arbitraire la valeur de l'un d'entre eux, celle du bœuf ou celle du mouton, celle de la poule ou celle de l'œuf. On pourra varier les appoints d'une infinité de manières différentes, et conséquemment l'on a ainsi l'idée de quelque chose qui peut passer par tous les états possibles de grandeur. Selon l'unité choisie, la mesure de la grandeur sera un nombre entier ou fractionnaire : ce nombre est ce que l'on nomme proprement une quantité (12).

En général, la mesure est le procédé artificiel de l'esprit, qui veut appliquer les nombres à la détermination des grandeurs et qui pour cela fait arbitrairement choix d'une grandeur de même espèce, comme unité de mesure. La raison de cet artifice est dans la constitution de l'esprit humain qui a besoin

de signes, et de signes discontinus, tels que ceux que nous appliquons à la désignation des nombres, pour exprimer toutes choses, mêmes celles qui varient d'une manière continue, telles que les grandeurs. Les nombres tiennent à la nature des choses et les grandeurs aussi : mais la mesure ou l'application des nombres à la détermination des grandeurs ne tient qu'aux procédés de l'esprit humain. Il y a dans la Nature des quoiiiés, comme le nombre des étoiles au firmament, celui des arbres d'une forêt et des grains de sable d'une plage : il n'y a point de quanlilés ; car la quantité, c'est le nombre, appliqué artificiellement à la détermination ou à l'expression (exacte ou approchée) d'une grandeur mesurable. Les auteurs de tables ou de hstes de catégories n'ont pas fait ces remarques, et l'on doit sentir qu'il était pourtant essentiel de les faire.

14. — C'est aussi l'usage, dans les tables de catégories, d'opposer la qualité à la quanlilé, le tto'ov au ttoçovt, : on le peut sans doute, pourvu que l'on ne persiste pas à considérer (ainsi que semblent l'avoir fait Aristote et ses successeurs) la quahté et la quantité comme des prédicaments ou des catégories de même ordre. Il faut au contraire, pour la justesse de l'idée, entendre que le rapport entre ces catégories est celui de l'espèce au genre, du cas particuUer (ou plutôt singulier) au cas général ^.

Effectivement, cette espèce singulière de qualité, qu'on appelle grandeur ou quantité, se prête dans ses variations continues à des procédés réguhers de détermination que nulle autre quahté ne comporte, dès qu'elle varie de même avec continuité : et de plus, dans l'état de nos connaissances, il est au moins loisible de concevoir que la continuité de toute variation qualitative a son fondement dans la continuité inhérente à des variations quantitatives d'où les variations qualitatives dépendent.

15. — Prenons pour exemple les étoiles du firmament, et considérons leurs diverses qualités, qui peuvent servir de fondement à autant de classifications. En premier lieu ce qu'on appelle improprement leur grandeur, c'est-à-dire leur éclat, qui n'est pas une grandeur à proprement parier, et qui ne comporte pas de mesure directe. Cependant l'éclat varie certaine-

> Essai sur les Fnndrmrnts de nos connaissances, chap. XIII, et principalement les no» 197 et suivants.