CHAPITRE VI

Des idées de fonction et de variable indépendante ;

de la mesure du temps et des principes

du calcul infinitésimal.

51. — On a VU plus haut par quelle étroite parenté sont unies les idées qui servent de point de départ à la syllogistique, et celles sur lesquelles se fonde la théorie des nombres et des quantités ; on vient de voir comment l'esprit humain est conduit à une logique supérieure qui atteint la raison des choses et distingue l'essentiel de l'accidentel : il faut bien, en vertu de la même affinité primordiale, qu'à cette logique supérieure corresponde aussi un étage supérieur dans le système des théories mathématiques ; et c'est précisément cet étage supérieur que les travaux des modernes ont concouru depuis deux siècles à édifier.

Le mouvement fournit l'exemple le plus simple et l'image la plus sensible de l'idée de variation ou de changement en général. Dans le langage subtil de la dialectique grecque, que quelques écoles modernes ont plus ou moins imité, les termes de mouvement, de moteur, sont pris le plus souvent dans un sens abstrait, pour désigner un changement quelconque ou le principe du changement. Il suit de là, pour le remarquer en passant, que l'esprit humain doit constamment tendre à expliquer tout changement par le mouvement, et à supposer des mouvements qui se dérobent à notre perception, partout où nos sens nous apprennent qu'un changement s'est opéré.

Cela posé, nous concevons clairement que des mouvements peuvent être indépendants les uns des autres, ou liés au con-

traire les uns aux autres ; et il en est généralement de même des changements d'état, quels qu'ils soient. Or, la liaison n'est pas toujours réciproque. Sur le cadran d'une montre, l'aiguille des minutes entraîne ou conduit l'aiguille des heures, sans que ■ celle-ci conduise l'aiguille des minutes. En d'autres termes, le mouvement de l'aiguille des heures est solidaire de celui de l'aiguille des minutes, tandis que le mouvement de l'aiguille des minutes est indépendant de celui de l'aiguille des heures. Ces idées de sohdarité et d'indépendance sont d'une continuelle application dans la philosophie mathématique, dans la philosophie naturelle et dans toute philosophie. Pour poursuivre notre exemple, dans d'autres parties de l'engrenage toutes les pièces sont soUdaires quant à leurs mouvements ; le mouvement de chaque pièce entraîne celui des pièces adjacentes, de manière à nous laisser ignorer celle qui conduit l'autre, si nous ne savons pas où gît la force motrice de tout l'appareil, et surtout si nous n'avons même pas l'idée de force motrice. Pourtant, comme nous ne tarderons pas à l'expliquer, et en vertu de principes déjà indiqués (6), cette absence de l'idée de force ou de cause motrice n'est pas nécessairement uii| obstacle à ce que l'esprit juge et décide de la pièce qui mai-' trise l'autre, du mouvement qui est le principe ou la raison d'un autre mouvement.

52. — Observons maintenant que l'idée de mouvement, qui conduit à l'idée d'un changement quelconque d'état, soumis à la loi de continuité, conduit plus particulièrement, dans l'ordre mathématique, à l'idée d'un changement continu de grandeur. Les géomètres appellent grandeurs variables les choses qui passent successivement par divers états de grandeur, et ils donnent le nom de fonction à la variable dont le» changements de grandeur sont entraînés par ceux d'une autre grandeur variable qui prend alors, au moins dans un sens relatif, la qualification de variable indépendante. Ainsi l'élasticité de la vapeur d'eau, dans un espace saturé de vapeur, est une fonction de la température de cette vapeur ; la température d'une source artésienne est une fonction de la profondeur de la nappe qui l'alimente ; et ainsi de suite.

En général, il n'est pas permis d'intervertir les rôles entre'j les fonctions et les variables dont elles dépendent. Car si, par exemple, la tension maximum de la vapeur d'eau, dans un^

DE L'IDÉE DE FONCTION. b^

espace saturé, s'élève par suite de l'élévation de température, il serait déraisonnable d'admettre que, réciproquement, la température varie par suite de la variation de la tension de la vapeur. Cette tension joue donc nécessairement le rôle de fonction et non celui de variable indépendante. Au contraire, dans cet exemple, la température joue le rôle de variable indépendante par rapport à la tension de la vapeur, dont elle entraîne la variation, quoiqu'elle puisse et doive même être considérée comme une fonction subordonnée dans sa variation à celles d'autres grandeurs variables, dont nous n'avons point à nous occuper ici.

53. — A ce propos, nous compléterons ce que nous avons dit dans le chapitre III des caractères de l'idée de temps, et d'abord nous devons parler de la mesure du temps. Déjà, à propos des principes de la théorie du mouvement, nous avons eu plusieurs fois l'occasion d'employer ces expressions : temps égaux, temps doubles, triples, etc. En effet, nous concevons clairement que la durée est en soi une grandeur mesurable, homogène, identique dans toutes ses parties comme l'étendue: de quelque manière que nous puissions parvenir à la mesurer effectivement. Que s'il s'agit de procédera cette mesure effective, nous reconnaissons bien vite qu'il y a à cet égard, entre la durée et l'étendue, une différence capitale, correspondant à une différence non moins marquée dans la hiérarchie de nos facultés intellectuelles et dans l'ordonnance de nos connaissances scientifiques.

La mesure de la longueur ou de l'étendue hnéaire, la mesure d'un angle ou d'un arc de cercle, s'opère par superposition^ c'est-à-dire par le procédé de mesure le plus immédiat, le plus sensible, et en quelque sorte le plus grossier de tous. A ce procédé élémentaire de mesure, la construction géométrique et le calcul fondé sur une première intuition sensible rattachent, par une suite de définitions et d'identités, toutes les mesures que l'on peut prendre dans l'espace, aussi bien pour les recherches les plus délicates de la science que pour l'application aux besoins les plus vulgaires. Par exemple, on mesurera sur le terrain avec grand soin, en appliquant bout à bout des règles métalliques, en tenant compte des variations de température, en armant les yeux de loupes puissantes, une longueur de quelques milliers de mètres, et à cette base, comme on l'appelle, on rattachera des triangles dont les angles seront mesurés, au moyen d'un cercle répétiteur, avec une grande

précision. De là et d'autres observations astronomiques on déduira successivement par le calcul la longueur d'un arc de méridien terrestre, la longueur du diamètre de la terre, les distances et les dimensions du soleil et des planètes ; mais il aura toujours fallu mesurer directement, par superposition, une longueur et des angles.

Au contraire, la superposition est inapplicable à la mesure de la durée, et quand on dit que le temps se mesure par le mouvement, sans autre explication, on tombe dans un cercle vicieux : car, si le mouvement n'est pas uniforme, comment pourra-t-il servir à mesurer le temps? Et comment s'assurer qu'il est uniforme, ou que le mobile décrit des espaces égaux dans des temps égaux, si l'on n'a pas un autre moyen de mesurer le temps, pour comparer les temps aux espaces décrits? L'objection est la même, soit qu'on emploie une clepsydre, une horloge, ou que l'on consulte cette grande horloge construite par la Nature, et dont les astres sont les aiguilles indicatrices.

54. — C'est ici qu'intervient, pour le dénouement de la difficulté, la notion suprême de la raison des choses. Je ne sais pas suivant quelles lois s'écoulent le sable ou l'eau qui sortent de la clepsydre ; je puis n'avoir aucune idée des causes physiques de cet écoulement, de la structure des grains de sable ou des gouttes d'eau ; mais j'affirme que, si toutes les circonstances sont les mêmes, la clepsydre se videra toujours dans le même temps, parce qu'il n'y aurait aucune raison pour que l'accomplissement du même phénomène exigeât, tantôt une portion de la durée, tantôt une autre. A la faveur de cette maîtresse idée, je suis (provisoirement au moins, et sauf à contrôler l'hypothèse qu'effectivement toutes les circonstances sont les mêmes, comme elles me le paraissent) en possession d'un étalon du temps : car je pourrai constater que tel autre phénomène s'accomplit pendant que ma clepsydre se vide une fois, deux fois, trois fois, et ainsi de suite. Je pourrai donc suivre un autre mobile dans son mouvement, et s'il arrive que des espaces égaux parcourus par le mobile correspondent à des temps égaux mesurés avec ma clepsydre, non seulement j'en conclurai que ce mobile est doué d'un mouvement uniforme, mais je m'en servirai pour contrôler l'hypothèse qu'il n'y a rien de changé dans les conditions de l'écoulement de la clepsydre ; car, comment admettre que ce mobile, dont le

mouvement n'a rien de commun avec le renversement de mon sablier, change de vitesse justement quand il le faut, et exactement dans les proportions qu'il faut, pour que les mêmes espaces parcourus par ce mobile correspondent toujours aux durées de l'écoulement du sable, supposées inégales? Ce contrôle pourra être tant de fois répété, dans tant de circonstances différentes, qu'il n'y aura plus moyen d'élever le moindre doute sur la justesse de mon étalon du temps.

On raisonnerait de même pour les battements du pendule dont la durée est généralement plus courte, pour les révolutions de l'aiguille de l'horloge dont la durée est généralement plus grande. Les astronomes font sans cesse des comparaisons et des raisonnements semblables ; le soleil n'est pas exactement d'accord avec les étoiles ; ni les étoiles, ni le soleil ne sont exactement d'accord avec la pendule de l'Observatoire. Qui a tort et qui a raison, de la pendule, du soleil ou des étoiles? Où est le mouvement uniforme, et par suite l'étalon du temps? Ils ne tardent pas à s'apercevoir que, plus on met de soin à éviter ce qui pourrait mettre de l'irrégularité dans la construction de la pendule, et plus elle tend à se mettre d'accord avec les étoiles, tandis qu'on ne peut jamais la mettre d'accord avec le mouvement du soleil, et mille raisons du même genre, que nous ne saurions détailler ici, leur montrent que tout s'expHque, que tout s'ordonne avec une régularité parfaite, dans la supposition de la parfaite uniformité du mouvement apparent des étoiles ; qu'ainsi, lors même que l'on n'aurait aucune idée de la cause physique de ce mouvement, on est bien sûr d'avoir, dans la durée du jour sidéral, un excellent étalon du temps.

Donc, la mesure de la durée suppose la notion de la raison et de l'ordre des choses, elle requiert l'intervention de principes rationnels, parce que (20) l'idée du temps est dans une liaison plus immédiate avec le système des conceptions purement rationnelles ; tandis que, l'idée de l'étendue nous étant donnée par les sens externes, la mesure directe de l'étendue tombe immédiatement sous les sens, et que la mesure de l'étendue, même indirecte, n'exige que des constructions, des raisonnements, des calculs fondés sur le principe d'identité et sur une assise inférieure de la logique qui n'est pas celle à laquelle nous devons emprunter les principes propres à nous guider dans la détermination d'une mesure du temps.

55. — Le temps, tel que nous le concevons, s'écoule uniformément et indépendamment de tous les phénomènes qui s'accomplissent dans le temps. Quand nous parcourons une route, l'espace décrit à partir d'un certain point et d'un certain instant est une grandeur qui ne croît pas nécessairement d'une manière uniforme, tandis que le temps écoulé depuis le même instant est une grandeur qui, par- son essence, croît toujours uniformément. De là l'idée qu'a eue Newton de comparer le changement, ou, pour employer son langage, l'écoulement {fluxio) de toutes les grandeurs à l'écoulement du temps, et de considérer toutes les grandeurs variables comme des fonctions du temps. Ge n'est point là, comme des esprits éminents l'ont pensé, une comparaison artificielle et arbitraire ; elle tient au contraire à l'essence des choses, autant qu'il nous est possible d'en juger.

A cette idée se rattache celle de comparer entre elles les vitesses avec lesquelles s'x)pèrent les changements d'état de toutes les grandeurs variables, et notamment les vitesses avec lesquelles varient les fonctions, quand on suppose que les variables dont elles dépendent varient uniformément, comme le temps. Dans l'application aux phénomènes du mouvement, le mot de vitesse conserve son acception primitive, qui est aussi la plus usitée, quoique son acception cxtensive, dans l'application à d'autres phénomènes, s'offre si naturellement à l'esprit, qu'elle se retrouve dans le langage le plus familier. On dit d'une étoffe qu'elle s'use vite, et d'une autre qu'elle s'use lentement. Pour prendre un exemple moins vulgaire, on conçoit que, lorsqu'un corps échauffé se refroidit, la température de la surface est une grandeur qui varie avec le temps, et qui même, en général, ne doit pas varier uniformément, le refroidissement étant d'abord plus rapide, et allant ensuite en se ralentissant, de manière que des pertes égales de température ne correspondent pas à des temps égaux. On se fait de la vitesse variable du refroidissement une idée aussi directe et aussi claire que de la vitesse variable d'un mobile.

Cette vitesse de refroidissement, tout comme celle du mobile (34), peut varier sans cesse d'une manière continue. Elle sera, par exemple, de cent degrés dans une heure ; mais elle aura pu être de dix degrés dans la première minute, et n'être plus que d'une très petite fraction de degré dans la

soixantième minute qui termine l'heure. Pour définir cette vitesse en chaque instant précis, il faudra fractionner le temps, à partir de cet instant, en intervalles de plus en plus petits, comme nous l'avons expliqué ci-dessus ; et la limite dont s'approche de plus en plus le rapport entre la perte de température et l'intervalle de temps, à mesure que l'on resserre cet intervalle, est l'expression rigoureuse de la vitesse du refroidissement à l'instant que l'on considère.

56. — Les géomètres ont une autre manière d'exprimer la même chose, en disant que la vitesse de refroidissement a pour mesure le rapport entre la perte de température et l'intervalle de temps, quand ces deux grandeurs deviennent infiniment peiiies (22). Or (et c'est là le point qui intéresse particulièrement la philosophie), on aurait tort de ne voir dans cette seconde manière de s'exprimer qu'une abréviation convenue, une forme de langage, apparemment plus commode puisqu'elle est plus usitée. Elle n'est effectivement plus commode que parce qu'elle est l'expression naturelle du mode de génération ou d'extinction des grandeurs qui croissent ou décroissent par éléments plus petits que toute grandeur finie. Ainsi, quand un corps se refroidit, le rapport entre les variations élémentaires de la chaleur et du temps est la vraie raison du rapport qui s'établit entre les variations de ces mêmes grandeurs quand elles ont acquis des valeurs finies. Ce dernier rapport, il est vrai, est le seul qui puisse tomber directement sous notre observation, et lorsque nous définissons le premier par le second en faisant intervenir la notion de limite, nous nous conformons aux conditions de notre logique humaine : mais, une fois en possession de l'idée du premier rapport, nous nous conformons à la nature des choses en en faisant le principe d'exphcation de la valeur que l'observation assigne au second rapport. C'est pour cette raison que la notation des quantités infinitésimales, imaginée par Leibnitz, constitue une invention capitale qui a si prodigieusement accru la puissance de l'instrument mathématique et le champ de ses applications à la philosophie naturelle i.

1 On peut voir sur ce sujet notre Traité élémentaire de la théorie des fonctions et du calcul infinitésimal, particulièrement les chapitres III et IV du livre I.