CHAPITRE VII Des idées de hasard et de probabilité

ET de leurs applications LOGIQUES ET MATHÉMATIQUES.

De l'arrangement synoptique des idées QUI tiennent a l'ordre et a la forme.

57. — Nous avons déjà eu l'occasion (36) de poser la distinction entre les mouvements absolus et les mouvements relatifs. Comme il n'y a pas de points de repère de la fixité desquels nous puissions être sûrs, il est vrai de dire que tous les mouvements que nous qualifions d'absolus ne le sont que par comparaison. D'ailleurs, il en est de la distinction entre les mouvements apparents et les mouvements réels comme de la distinction entre les mouvements relatifs et les mouvements absolus, soit que la différence entre l'apparence et la réalité tienne au mouvement dont l'observateur est lui-même animé (exemple, la rotation diurne de la voûte céleste), soit qu'elle tienne au mode de perception du mouvement par l'observateur, comme lorsqu'un point lumineux qui décrit effectivement un cercle dans l'espace, nous semble décrire la courbe ovale que l'on nomme ellipse, parce que nous ne voyons le cercle que dans une sorte de perspective ou de projection, sans pouvoir immédiatement juger de la distance du point lumineux à notre œil.

Le premier problème qui se présente en philosophie naturelle consiste à démêler les mouvements relatifs ou apparents, et ceux que (par comparaison du moins) nous pouvons quaUfier d'absolus ou de réels, et à choisir convenablement, d'après les suggestions du bon sens et les décisions de la raison, entre toutes les hypothèses que l'on peut faire sur les mouvements

réels ou absolus qui produisent les mouvements apparents ou relatifs que l'on observe. C'est ici qu'intervient nécessairement (comme nous l'avons abondamment prouvé dans d'autres ouvrages) l'idée de la simplicité des lois, et par conséquent l'idée même de loi, si naturellement connexe (41) à l'idée de mouvement.

Par exemple, notre intelligence est frappée de la simplicité avec laquelle les lois des mouvements réels des corps célestes, telles que Copernic les pose, expliquent les apparences de la station et de la rétrogradation des planètes, et elle n'hésite pas à préférer ces lois si simples aux lois si compliquées données par l'auteur de l'Almageste. Imaginons encore que l'on observe simultanément le mouvement d'un corps opaque qui décrit uniformément un cercle parfait, et le mouvement de l'ombre qu'il projette sur un corps voisin, à surface irrégulière : auraiton besoin de palper le corps et l'ombre pour s'assurer que c'est bien le mouvement du corps qui entraîne celui de l'ombre (51), et non le mouvement de l'ombre qui entraîne celui du corps? Ne suffirait-il pas, au contraire, de considérer combien la loi du premier mouvement paraît simple, combien l'autre mouvement est compliqué (eu égard à la forme de la courbe et à la vitesse variable avec laquelle les différentes portions de cette courbe sont décrites), et de songer combien il est peu naturel de chercher dans un phénomène si compliqué la raison d'une loi que signale une simplicité si grande?

C'est, en effet, un principe de la raison humaine sans lequel aucune critique, et par suite presque aucune science ne serait possible, que de chercher dans le simple l'explication ou la raison du compliqué. Voilà tel système d'apparences que l'on peut expliquer par telle hypothèse très simple sur les mouvements réels, si simple que nous n'hésitons pas à l'admettre. Pourquoi cela? C'est que le mouvement réel, quel qu'il soit, est certainement le principe ou la raison des apparences observées, et que nous concevons très bien que la simplicité soit le caractère essentiel des principes des choses, ou des choses les plus rapprochées de leurs premiers principes, tandis que, si l'hypothèse est fausse, si le principe des apparences observées doit se chercher ailleurs, c'est donc accidentellement, sans raison tirée de l'essence de la chose, ou en d'autres termes par hasard, que s'offre à notre pensée une combinaison ayant ce

caractère de simplicité remarquable, et qui par là simule un principe. Nous rejetons cette seconde alternative comme n'étant pas probable, et elle peut être en effet si improbable que nulle personne sensée n'hésitera à la rejeter avec nous (6).

58. — Une fois en possession de ce principe de distinction entre les mouvements absolus et les mouvements relatifs, entre les mouvements réels et les mouvements apparents, l'esprit humain a la clef de toute critique philosophique, car une pareille distinction est le schème ou l'exemple frappant sur lequel nous sommes fondés à modeler l'idée que nous devons nous faire de la distinction entre l'apparence et la réalité, entre le relatif et l'absolu en toutes choses. Les principes de distinction, d'analyse et de jugement sont exactement les mêmes. Nous concevons un espace absolu ; mais dans cet espace nous manquons de points de repère absolument fixes, ou de la fixité desquels nous soyons absolument sûrs, et par conséquent nous

ne pouvons affirmer d'aucun mouvement qu'il est absolu quoique, par rapport au système des points de repère, nous distinguions très bien des mouvements absolus d'avec de mouvements relatifs. De même, nous concevons une réalité absolue, mais il ne nous est pas donné d'y atteindre, ou pour le moins nous ne sommes pas autorisés à affirmer que nous y atteignions jamais. Toutefois nous pouvons pénétrer de plus en plus dans le fond de réalité des phénomènes, en le dégageant de plus en plus de ce qui tient uniquement à notre manière de les percevoir, et en opposant le phénomène, ou la réalité relative, à la simple apparence, qui prend le nom d'illusion, quand nous lui attribuons à tort une réalité qu'elle n'a pas '.

59. — Toutes ces idées que nous venons de rappeler, à savoir les idées de raison et de loi, d'essence et d'accident, de simplicité et de complexité, ne sont encore que les idées d'ordre, de combinaison et de forme, présentées sous jdivers aspects, ou, si l'on trouve plus commode de les distinguer, il faut dire qu'elles appartiennent au même groupe et s'attirent l'une l'autre. Mais nous avons en outre employé les termes de hasard et de jugement probable ou de probabilité ; ce sont ceuxci dont il s'agit maintenant d'éclaircir et de préciser la signification.

J Essai..., cliaj). î, passini.

Supposons que je veuille déterminer le poids d'une pierre qui me tombe sous la main, et que je n'aie d'abord à ma disposition que des kilogrammes. Tout ce que je pourrai faire, ce sera de constater avec la balance que le poids de la pierre est compris entre trois kilogrammes et quatre kilogrammes; j'écrirai quelque part le chiffre 3 pour me rappeler qu'il entre dans le poids de la pierre 3 kilogrammes, plus une portion de kilogramme.

Je me procure des hectogrammes, et je suis en état de déterminer de même combien il entre d'hectogrammes dans la portion de kilogramme dont il s'agit: j'obtiendrai ainsi un chiffre 3, que j'écrirai à la droite du chiffre 3 trouvé d'abord. Mais, sans avoir besoin de faire cette nouvelle pesée, je suis bien certain à l'avance qu'il n'existe aucune liaison nécessaire entre le chiffre déjà trouvé et celui que je vais obtenir, car quelle liaison peut-il y avoir entre les causes qui ont donné à ce fragment de roche le poids qu'il a au moment où je le pèse, et les raisons qui ont suggéré au législateur français l'idée de prendre le kilogramme pour unité de poids, et de le subdiviser suivant la progression décimale? Je ne m'attendrai donc pas à trouver pour le chiffre des hectogrammes tel des dix chiffres de notre numération décimale plutôt que tel autre. Si j'obtiens une seconde fois le chiffre 3, ce qui semblera donner à la combinaison plus de singularité, la rencontre n'en sera pas moins accidentelle et fortuite ; elle arrivera, comme on dit, par hasard, d'où cette conséquence que l'idée de hasard est l'idée d'une rencontre entre des faits rationnellement indépendants les uns des autres, rencontre qui n'est elle-même qu'un pur fait, auquel on ne peut assigner de loi ni de raison.

Après avoir déterminé le chiffre des hectogrammes, je pourrai déterminer de même le chiffre des décagrammes, et si je suis habile expérimentateur, si j'ai d'excellentes balances, je pourrai pousser ainsi jusqu'aux milligrammes, et je trouverai de la sorte une série de sept chiffres, où je ne dois m'attendre à rencontrer aucune régularité. Si quelque apparence de régularité se présente, c'est que les combinaisons réguhères figurent comme les autres parmi les combinaisons possibles, et qu'elles doivent se présenter comme les autres ', quoiqu'il

' « EoTi ôk ToCro tl/.ôç, ojcTicp 'AYi6o)v ).£-'£■.• tl/.ôç yàp YÎvîo-ôai 7ïo).),à •/ai -xoa. t6 ctxôç. » (Aristot. Poet. cap. XVIII.)

y ait, je ne dis pas une cause (qu'on le remarque bien), mais une raison pour qu'elles se présentent plus rarement, c'est qu'elles sont plus rares ou en moindre nombre.

Admettons que je trouve sept fois de suite le nombre 3 : ce sera le cas de la plus grande régularité possible ; il n'y a que 10 combinaisons ou chances sur 604 800, ou une sur 60 480 qui offrent ce caractère de constance et de régularité poussée à l'extrême. C'est comme si j'amenais un caractère fixé à l'avance en prenant au hasard dans une urne qui renfermerait 60 480 caractères différents (à peu près, nous dit-on, le nombre des caractères de l'écriture chinoise). Je trouverai donc le cas fort singuher, mais je ne l'en réputerai pas moins fortuit, parce que, encore une fois, ma raison conçoit très bien qu'il n'y a rien de commun entre le poids de cette pierre brute et la fixation légale de l'étalon des poids, ainsi que de l'échelle de subdivision.

60. — Que s'il s'agissait, non plus de la pierre brute contre laquelle mon pied s'est heurté, mais d'un certain volume de mercure contenu dans un vase qui me tombe sous la main, je tirerais de la singularité observée une conclusion toute autre.

L'arithmétique m'apprendrait que la fraction -, quand on

la convertit en décimales (41), donne la fraction décimale

périodique

j'en conclurais que j'ai affaire au tiers de dix kilogrammes de mercure, et qu'apparemment un physicien, après avoir pesé avec beaucoup de soin dix kilogrammes de mercure, en a fait trois parts égales, en vue de quelques expériences comparatives, et que je suis tombé sur une des parts mises en réserve. J'aperçois ainsi une haison possible, probable, entre l'unité légale des poids et le poids que j'ai à déterminer, et je ii'hé»ite pas à préférer cette exphcation rationnelle, quoique non catégoriquement démontrée, à l'explication par cas fortuit ou par hasard.

La lune met à tourner autour de son axe le même temps qu'elle emploie à circuler autour de la terre (39) ; cette coïncidence frappe les astronomes, et comme leur raison se refuse à la réputer fortuite, ils en concluent que ces deux mouve-

ments de notre satellite ne sont pas des phénomènes indépendants l'un de l'autre. Les géomètres, enfm, parviennent à assigner, non pas la cause physique (laquelle, remarquons-le soigneusement, nous est encore absolument inconnue), mais la raison mathématique de cette dépendance et de cette coïncidence.

Au contraire, le mouvement de rotation de la terre autour de son axe, son mouvement de circulation autour du soleil sont deux phénomènes indépendants l'un de l'autre ; et aussi arrive-t-il que lorsqu'on veut évaluer la durée de l'année solaire en prenant pour unité la durée du jour sidéral, on tombe sur une fraction qui ne peut jamais être qu'approchée, et dont les chiffres se succèdent sans offrir de trace de régularité. C'est comme lorsque je veux évaluer en kilogrammes et en fractions décimales de kilogramme le poids de l'éclat de roche que je rencontre sur mon chemin.

61. — Dans l'un et l'autre cas, de même que toutes les fois qu'il s'agit de mesures à prendre, l'imperfection de nos sens et de nos instruments pose nécessairement une limite à l'approximation que nous pouvons atteindre, et réduit même à un fort petit nombre, par exemple à six ou sept, celui des chiffres décimaux successivement obtenus. Il en résulte que nous pouvons à la rigueur être déçus par les apparences de régularité, même les plus grandes, faute d'être à même de prolonger la série autant qu'il le faudrait pour amener la disparition d'une régularité apparente et purement fortuite. Il est beau coup question dans la haute arithmétique d'un nombre que l'on appelle la base des logarilhmes iiaturels ou népériens^ et dont l'évaluation en décimales donne lieu à la série

Si l'on n'avait calculé que les neuf premiers chiffres de la partie décimale, le retour accidentel de quatre chiffres dans le même ordre aurait porté à croire que l'on a affaire à une fraction décimale périodique, conclusion démontrée fausse par la théorie, et qui se trouve renversée par le fait, pourvu seulement que l'on calcule un chiffre de plus. On peut faire tant de rapprochements différents entre des chiffres, même en petit nombre, qu'on finit presque toujours par découvrir quelque rapprochement singulier et purement accidentel, qui devient

le fondement de ce qu'on nomme une règle mnémonique. Ainsi, pour retenir les nombres 355 et 113, dont le rapport a été indiqué par Melius comme représentant, avec une approximation très grande, celui de la circonférence d'un cercle à son diamètre, on écrit ces deux nombres bout à bout, en commençant par le plus petit,

et la règle mnémonique consiste en ce que cette courte série de six chiffres se compose des trois premiers nombres impairs, écrits dans leur ordre de grandeur, et répétés chacun deux fois. C'est un de ces purs hasards, auxquels s'applique la remarque d'Aristote ou d'Agathon transcrite plus haut. Pour faire évanouir toutes les fausses inductions qu'on pourrait tirer de rencontres de ce genre, et découvrir les lois véritables qui régissent même le hasard, il faut considérer une série dont tous les termes soient rigoureusement déterminés, et qui n'ait d'autres limites que celles qu'y apporte la lassitude du calculateur. Déjà nous avons considéré au n^ 41 une série de ce genre, celle précisément qui donne en fractions décimales le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre :

Voilà 32 chiffres décimaux consécutifs ; on en a calculé des centaines ; on pourrait se passer la fantaisie d'en calculer de? milliers ; et chaque chiffre de la série, si reculé qu'en soit le rang, doit être conçu comme ayant actuellement, comme ayant eu de tout temps une valeur rigoureusement déterminée, quoique nous ne la connaissions pas et que nous n'ayons même aucun intérêt à la connaître. Mais, soit qu'il s'agisse de chiffres connus ou inconnus, nous sommes sûrs de pouvoir étudier et appliquer sur ce modèle tous les caractères qui tiennent à la nature du hasard ou de la succession fortuite.

Par exemple, nous trouvons que dans la série des 32 chiffres décimaux il y a

un chiffre (le zéro), qui ne paraît qu'. une fois ;

deux chiffres (1 et 7) qui figurent. , . . deux fois ;

trois chiffres (4, 6 et 8) qui figurent. Irais fois ;

deux chiffres (2 et 9) qui figurent .... qualre fois ;

un chiffre (le 3) qui figure six fois.

Tous ces résultats sont fortuits, irréguliers, et pourtant il y perce déjà un germe de régularité : car, si tous les chiffres qui ont même chance d'apparition apparaissaient effectivement avec la môme fréquence, chaque chiffre apparaîtrait une fois sur dix, ou trois fois sur trente, et nous observons effectivement qu'il y a plus de chift'res qui figurent trois fois que de chiffres qui figurent deux ou quatre fois, et plus encore qu'il n'y en a qui figurent moins de deux fois ou plus de quatre fois. Si la série était prolongée beaucoup plus loin, les résultats seraient bien plus nets. Les différences entre les nombres d'apparition, d'un chiffre à l'autre, auraient sans doute des valeurs absolues beaucoup plus grandes que celles ci-dessus, mais leurs valeurs relatives au nombre total des apparitions iraient en diminuant indéfiniment, et il viendrait un moment où le nombre des apparitions de chaque chiffre serait sensiblement la dixième partie du nombre total des chiffres calculés.

Il y a autant de chiffres impairs que de chiffres pairs (le zéro étant compris dans les chiffres pairs, eu égard à son rang), tandis que nous trouvons sur notre exemple qu'il y a dixhuit apparitions de chiffres impairs (deux de plus que la moitié) et seulement quatorze apparitions de chiffres pairs (deux de moins que la moitié). Mais, si l'on opérait successivement sur des centaines, des milliers, des myriades de chiffres dans la série suffisamment prolongée, on trouverait que le rapport du nombre des chiffres pairs au nombre total des chiffres

calculés approche de plus en plus d'être égal à la fraction -, et

n'en diffère en fin de compte que par des fractions d'une extrême petitesse.

La somme des dix chiffres de notre numération décimale vaut 45, et la moyenne quatre et demi. Si donc les dix chiffres étaient répartis dans la série en proportions égales, ou seulement si les irrégularités de même sens portaient aussi fréquemment sur les chiffres forts que sur les chiffres faibles, la moyenne des valeurs de tous les chiffres de la série serait encore quatre et demi. Nos 32 chiffres nous donnent pour moyenne quatre trois quarts, ce qui est un peu trop fort ; mais la dift'érence irait en s'atténuant indéfiniment quand on embrasserait de très grands nombres, ainsi qu'on vient de l'expliquer.

62. — Nous venons de prendre un exemple dans le monde des choses intelligibles, dans l'ordre des faits purement mathématiques, et partant nécessaires, pour que l'on reconnût mieux que ces raisons mathématiques, qui introduisent l'ordre dans le désordre même, et qui sont l'objet de la théorie mathématique des chances et des probabilités, n'impliquent pas la notion de cause physique, ne s'appliquent pas uniquement aux faits que nous réputons aléatoires ou contingents, ne sont pas, comme on l'a dit, relatives à notre condition humaine, mélangée de science et d'ignorance, et subsisteraient encore aux yeux d'une inteUigence supérieure qui lirait dans l'enchaînement des causes et des efïets les plus compUqués, comme nous lisons dans les formules miathématiques que nous avons construites ou découvertes par nos propres forces i.

Lorsque nous tirons dans une urne des billets de loterie dont chacun porte un numéro, l'extraction de chaque billet est déterminée par des causes physiques, comme l'avènement successif de chaque chiffre du rapport de la circonférence au diamètre est déterminé par des formules et des raisons mathématiques. Nous connaisssons ces raisons mathématiques, et nous serions hors d'état d'assigner les causes physiques qui déterminent l'extraction de chaque billet ; mais qu'importe? La succession n'en a pas moins, dans l'un et l'autre cas, tous les caractères de la succession fortuite. Elle conserverait les mêmes caractères pour une intelligence capable d'assigner les causes physiques qui nous échappent et de prévoir les faits particuliers qui se dérobent à nos prévisions. Et les caractères de la succession fortuite tiendraient, pour cette intelligence supérieure aussi bien que pour nous, à ce qu'il n'y a nulle solidarité, nulle dépendance rationnelle, d'une part entre l'échelle de la numération décimale et la grandeur qu'il s'agit de mesurer, d'autre part entre les causes physiques qui déterminent l'extraction d'un billet et le numéro inscrit à l'avance sur ce billet.