SI CHAP. IV. — RECIIEHCHK DE LA POSITION DES JOINTS DE ULPTURE, ETC

donc

valeur facile à con.siruire; il suffit de prendre KK'=UK et de faire passer par les jmiiits K' et R un cercle ayant son centre sur AK prolongée; KO est d'ailleurs la valeur de la poussée, quand on représente le [^wids de la demi-voûte par a. l'inlin si on fait passer un cercle par K et par E qui sont deux jaiints de la courbe de pression, on aura, en apy>elant H le rayon de ce cercle,

d’où

équation qui fait voir que le centre O' de ce cercle n’est qu'à une distance

égale à du point O précédemment obtenu, quantité négligeable par

rapport au rayon. On peut donc poser comme règle pratique (jue, dans une plate-bande, les joints normaux à la résultante sont les rayons d’un cercle qui passe par les naissances et |>ar le point d’application de la poussée. Si on prend un rayon plus petit , cela n’aura d’autre inconvénient que de donner dos angles de voussoirs trop aigus, sans utilité pour la stabilité de la voûte ; si on prend un rayon plus grand, les voussoirs auront une tendance à glisser. Il e.st donc Iwn de connaître la courbe type , dont on ne devra s’écarter que pour satisfaire à d’autres convenances plus impérieuses. On remarquera qu’une charge uniforme répartie sur toute l’ouverture de la voûte ne modifie pas le

tracé des joints, parce que le rapport ^ ne change pas. La pression qui

agit sur chaque joint augmente, mais ne change pas de direction.

Il nous reste à exposer comment les princi])cs précédents sc modifient, lorsque la courbe d’intrados n’est pas symétrique.

CHAP. IV. - lirXllERCOE DE LA POSITION UES JOINTS DE REPTIDE, ETC. 99

Examinons ce qui se passe pour une pareille voûte au moment du décintrement {fig. iO).

Il est évident que la grande voûte va tourner autour du joint de rupture absolument comme si elle était conircbulée par une demivoûte symétrique et qu’elle ne s’arrêtera ([ue lorsque la poussée de la petite voûte sera devenue précisément égale à celle que produirait la voûte symétrique. .Ainsi, pour le côté de voûte où la poussée est la plus grande, tout se pa.sse comme si la voûte entière était symétrique et la courbe de pression se détermine de la même manii'rc; mais pour l’autre côté, la poussée se trouvant dépasser la limite de celle qui se serait spontanément produite, la courbe doit être tracée en tenant compte de cette intensité de la poussée, d’où il suit qu’elle peut s’avancer plus ou moins dans l’intérieur des maçonneries; il n'y a plus de joint de rupture à l’intrados, il peut même passer à l’extrados, en renversant la voûte. Le tracé de la courbe des pressions pour ces espèces de voûtes ne présente donc pas plus de difUculté que dans le cas ordinaire, car une fois la courbe tracée dans la demi-voûte où la poussée est la plus grande, au moyen du joint de rupture, on connaît pour l'autre côté de la voûte l’intensité de la poussée et son f«)iiit d'application, ce ipii permet de déterminer complètement la courbe, tjuant au point d'application de la fHJussée sur le joint de la clef, il est évident rpie cette disjiosition de voûte est de nature à le faire descendre vers l'intrados. En elTet, les calculs que nous avons faits plus haut dans le cas de deux demi-voûtes symétriques ne sont plus afiplicables. Les points .A et ü se portent à droite de la verticale, la petite voûte se renverse légèrement en arrière, ce qui augmente lu pression en li et la diminue en A, la résultante doit dès lors descendre vers le point B. Il serait donc prudent de vériüer les conditions d‘é(pûlibrc de la petite voûte et de son pied-droit en faisant passer la poussée par le point U.

Il est à peine besoin de s’arrêter aux conditions d'tspiilibre des arcs rampants, car ce cas peut être ramené à celui des voûtes non symétriques,’ En effet, en menant une tangente horizontale à riutrudos ainsi que le

100 C11AP. IV. — IICCIIEItClIE DE L.A POSITION DES JOINTS DE REPTIHE, ETC.

joint vertical qui lui correspond {fig. il), on a d'un côté un arc dont on déterminera les condilion.s d'éijuilibre comme pour une voûte sjmétrique. L’intensité de la poussée étant donnée par celte première opération, on en conclut facilement la cuurlie des pressions pour le jælit are op|»osé au Krand arc. Il est évident que ce procédé s’ap|dii|uc à toute espèce de courbe et à toute espece d'inclinaison.

Lorsqu'une voûte n'est |ias symétri((uemeiit chargée, il se passe ijuclque chose d’analogue au cas des voûtes non symétriques, pmint de rupture 011 plutôt de rotation non-seulement peut disparaître dans la demi-voûte moins chargée, mais il peut se transpiorler à l’cvtrados. Cherchons la courbe de (iression [Kiiir la voûte de la fig. f -2 fortement chargée sur le côté gauche. I..a première chose à faire, c’est de déterminer le point de rotation de ce côté de la voûte; on voit de suite que ce point se trouvera lieaucoup plus bas (jiic dans le cas ordinaire, piarce que la tangente en ce point devant rencontrer la verticale passant par le centre de gravité sur l'horizoutalc menée |)ar le point d'application de la poussée, se trouvera nécessairement peu inclinée. Quoi qu’il en soit, on arrivera facilement par tâtonnement à déterminer la tangente «G passant par le centre de gravité de la partie de voûte supérieure au joint de rotation. Lue fois le pioint Ô déterminé, ainsi que la direction sG, on en déduira facilement le tracé de la courlie Hîmiv |)résenlant un angle en «» à cause de la discontinuité de lu charge. De même, l’autre branche de la courbe de pression se déterminera facilement, puisqu’on connaît l’intensité de la poussée ; on aura d'abord une partie Ki«' symétrique avec Km, puis la partie m'R', s’écartant beaucoup plus de l’intrados que la branche mR, de sorte que si la culée droite n'avait pas une épaisseur sufTisaiite, elle serait renvei'sée à l'extérieur, poussée par la voûte du côté gauche, (pii tournerait autour du point 8 . Remarquons, en passant, le rôle que joue la charge par rap|>ort à la stabilité de la voûte du côté gauche. Le point R tombant tout près de l'intrados, on voit qu’on peut suppléer à l’épaisseur de la culée par une charge sur les reins de la voûte.

aiAC. IV. — RhCHERClIE UE I..I UOSITION DES JOINTS UE BUPIUHE, ETC. 101

Le principe général qni doil guider dans la recherche de la courbe de pression d’une voûte, c'est qu'il y a toujours à l’intrados un point autour duquel celte voûte tournera au décintrement pour s'aj»puyer sur la clef où se produit une réaction dite poussée. L’énergie de cette réaction, qui va croissant, s’arrête nécessairement au moment où se produit l’équilibre. On détermine facilement ce point qui devrait s’appeler point de rotation et non pas point de rupture, en imaginant que la demi-voûte est abandonnée à elle-même et va tomber, et en déterminant l'axe de rotation de cette chute. Ce n’est que pour les cas exceptionnels que cette recherche est néce.ssaire; fKuir l’immense majorité des voûtes, ce point se trouve déterminé, soit d’une manière absolue, soit avec une approximation suffisante dans la prali(]ue. Pour les voûtes elliptiques complètes, on peut le regarder comme situé à peu près à la moitié de la montée. Pour les voûtes incomplètes, il est situé à peu près au même point à partir du sommet, si la naissance n’est [las audessus, et à la naissance, si elle est au-dessus du point ainsi déterminé. On a donc un point de la courbe de pression et, dans certains cas, une tangente à la courbe en ce point. Dans cette dernière hypothèse, la courbe serait déterminée; on peut d’ailleurs, à raison de l’incertitude qui existe sur la position exacte du point de rotation, supposer que la courbe de pression passe au milieu de la clef et déterminer en conséquence la {Kisition qui en découle pour le point de rotation. Lorsqu’on n’a qu’un point de la courbe de pression, le point de passage à la clef est indéterminé, mais il est au-dessus du milieu quand ü n’y a pas de point de rupture entre le point de rotation et la clef, et au-dessous, dans le cas contraire. Dans le prémier cas, le constructeur peut sans inconvénient supposer le point de passage de la courbe de pression au milieu de la clef; dans le second, à l’intrados. 11 sera sûr que la courbe ainsi obtenue sera moins favorable à l’équilibre que celle qui existe réellement. D'un autre côté, elle s’en écartera trop peu pour entraîner dans sa construction des dimensions exagérées.

Qu’on nous permette d’insister sur la distinction que nous avons établie

lOï CHAI'. IV. - nKCIIERCIIE DE U POSITION DES JOINTS DE RtPlURE, ETC.

entre les points de rotation et les pfiinls de rupture, parce qu’elle est essentielle et féconde en applications pratiques, lin effet, il est toujours facile pour le constructeur de faire disparaitre les vrais points du rupture, tandis qu’il ne peut tout au plus que légèrement dé[dacer les j.ioints de rotation, ce qui n’a pas grand intérêt.

Quelques exemples feront mieux saisir cette distinction et nous donneront l’occasion de signaler qiiel(|ues conséciuences de cette théorie.

Considérons le plein cintre, /iÿ. i3, extradossé parallèlement. Cette voûte figure dans le mémoire de M. Mérj' que nous avons déjà cité plusieurs fois et voici ce qu’il en dit :

« La fig. 13 représente une voûte en plein cintre montée sur deux « pieds-droits, dont .M. .ludoy a déterminé l’épaisseur piu" ses formules, de « manière qu’il y ait équilibre mathématique. La ligne à traits interrompus « est la courbe des pre.ssions; en remarquant l’angle sous lequel elle coupe a chaque joint, on reconnaît que c’est aux naissances que le glissement est « le plus à craindre; mais le frottement est suffisant pour s’y opposer. »

Comme il vient d’être dit, et comme le fait voir la courbe des pressions, cette voûte est en équilibre mathématique, c’est-à-dire, qu’il n’y a d'équilibre possible qu’aiitant que cette courbe se réalisera. La première question à jaiser est donc de savoir si, en effet, cela aura lieu. Malhématiquemcnl cela est jiossible, pratiipiement cela ne l’est pas. En effet, si on suppose gu’aprè» U décinirement, la voûte a pris la forme de la fig. 13, ce qui n’a pu arriver qu’autant ipie le point D a légèrement reculé, ce mouvement a fait monter la pression en .4 et la courbe de pression a pris la forme indiquée par la figure. Or, la résultante ne sortant nulle part de la section de la voûte," il y a «piilibre. Elle est dans la position d’un mur en siu'plomb, quand son centre de gravité se projette sur la ligne extérieure de sa paroi. L’équilibre maüiématique existe, mais ce n’est qu’à la condition que la forme de la voûte est celle qui a lieu après le décintrement. Si c’était celle qui précède le décinirement, il se. ferait pendant celle opération une légère déformation qui détruirait l’équilibre mathématique. lÀn effet, la clef en s’abaissant aug-

ciui“. IV. — ntxiiEucHi-: de la position des joints de heptire, etc. io3

menterail la poussée et la courbe de pression sortirait du pied-droit, ce qui renverserait la partie DT à l'extérieur. On voit déjà que l’équilibre ne pourrait être que très difficilement obtenu et qu’on peut considérer comme certaine la cliule d’une voûte construite suivant le profil de la /ïÿ. 43. Ce profil devra donc être mmlifié, de manière à faire disparaître les points de rupture qui jieuvent amener le renversement de la voûte. Or, rien n’est plus facile. Ce dont il faut se préocciqier avant tout, c’est du renversement extérieur de la partie TD. On y parviendra facilement en augmentant le poids ou l’épaisseur de la culée ; alors l’extrémite inférieure de la courbe de pression s’éloignera de l’arête extérieure, (juant au point de rupture à la clef, il n’y a pas lieu de s’en préoccuper; si on a rendu le point D immobile, la chute de la voûte est par cela même impossible et, d’ailleurs, comme nous l'avons vu, le tracé de la courbe de pression ne peut être celui que la figure indique, lequel suppose que la voûte s’est ouverte à l’intrados à la clef. Or, si le point B s’est abaissé, si le point D est resté immobile, la. ligne DU s’est comprimée et nonseulement il ;i’y a pas d’ouverture en B, mais il y a compression ; d’où il suit que la courbe de pression passe au-dessous de A à une distance de plus du tiers de AB. Dans tous les cas, il faudrait bien se garder d’augmenter l’épaisseur à la clef, car cette surcharge contribuerait à détruire l’équilibre ; si la résistance de lu pierre le jiermettait , il serait, au contraire, avantageux de la diminuer à partir du point de rotation D. Cette seule correction pourrait sufüre pour donner une certaine fixité à l’équilibre de la voûte, le point D descendrait légèrement et la courbe de pression se rapiirocberait du point T. Ainsi , dans cet exemple, l’épaisseur à la clef nuit à la stabilité de la voûte et il y a intérêt à la réduire autant que le permet la résistance de la pierre; d’où il résulte que la condition d’avoir un extrados parallèle à l’intrados n’est pas favorable à la stabilité.

Considérons maintenant la voûte ogivale de la fig. 44 qui est encore un des exemples cités par M. Méiy.

« Li montée de cette voûte en ogive, dit-il, est égale à la moitié de

iOi CIIAP. IV. — RRCIIF.ncllE DE LA POSITION DES JOINTS DK IILTTIRB, ETC.

« rouvertiire et le rayon des ares de cercle est égal a celle-ci. Si on la « compare avec une voûte en [itein cintre de meme ouverture, on recon- « naîtra qu’elle exige une longueur de joint moins grande et que la « rupture s’y fuit en sens inverse. La clef tend à se soulever et les « parties inférieures à se renverser en dedans; le contraire a lieu dans la « voûte en plein cintre. »

Il est Imn d’observer d'abord cpie cette propriété de l’ogive de n’exiger que des joints plus courts ne tient qu’à la condition arbitraire de l’extradossenient parallèle, elle n’existe plus i|iinnd on se résigne à avoir des joints inégaux. ()uant à l’instabilité de l’é(]uilibre mathématique de cette voûte, nous ne [murrions que répéter ce que nous avons dit au sujet de la voûte piécedente. Construite sur ce type, la voûte tomberait au dcN;intrement, parce que, en tournant autour de son [Hiint de rotation D, le point d’application de la poussée descendrait et son intensité augmenterait, la limite de l’équilibre serait donc franchie. La modilicutioii qu’il convient d’apporter au prolil est indiquée par la nature du mouvement. Ici évidemment une augmentation extérieure de l’épaisseur de la culée ou plutôt de la partie infi’rieurc serait sans résultat, car, dans cette partie, la résultante de la pression tombe à l’intéTieur. Ce qu'il faut augmenter, c’est le poids de la partie supérieure, puisipi’elle se soulève. Nous avons d’ailleurs fait remarquer que la courbe de pression se porte à l’extrados quand on lui applique une charge, .\insi, si on voulait amener l’équilibre par une augmentation locale de l’épaisseur de la voûte, c’est vers la clef qu’il faudrait l’appliquer, comme nous l’indiquons par un tracé ponctué; autrement, il faudrait augmenter l’épaisseur générale. ,

On remarquera que ces modifications qui font disparaître les points de rupture sont sans influence sur les jjoints de rotation qui, tout au plus, peuvent être légèrement déplacés. Ces points, le constructeur n’a pias à s’en préoccuper autrement que pour en déterminer la position et en conclure la courbe de pression. Il n’en est pas de même des points de rupture qu’on doit toujours faire disparaître en modifiant le profil, à moins qu’ils ne soient situés à la clef.