CHAPITRE VI

DES CONDITIONS DE STABILITÉ D’DN ASSEMBLAGE DE VOLTES, DES VOUTES EN DOME, DES VOLTES U'ARÉTES, ETC.

Les ponis, les grands viaducs et les édifices présentent souvent plusieurs voûles, dont les |)0U8sées réagissent les unes sur les autres et modifient leurs conditions d'équilibre. Une voûte unique est souvent poussée par des terres soutenues par les murs qui lui sen’ent de culées. Il est donc essentiel de se rendre compte de l’action des forces extérieures sur une voûte quelconque. Quel que soit l’assemblage de voûtes qu’on considère, il est toujours soûteuii par un certain nombre de piles ou piliers et c’est, comme on le verra tout à l'heure, de l’équilibre de ces piliers que dépend celui des voûtes. Nous allons donc d'alwrd examiner d’une manière plus complète que nous ne l’avons fait dans le chapitre 11 l’équilibre de ces massifs verticaux.

Quel que soit le nombre d’étages de voûtes auxquels ces piliers servent de points d’appui, il est clair que ces points d’appui sont soumis à une force inclinée de haut en bas dont la composante verticale représente le poids d’une partie de la voûte et la composante horizontale, sa poussée. Dans sa généralité, le problème ne présente pas plus de difficulté que le tracé de la courbe de pression dans les voûtes. .Vinsi, si nous considérons une tranche quelconque du massif dans laquelle il s’agit de déterminer la courbe de [iression [jig. 52), il suffira de prolonger la résultante, appliquée sur la face

CHAP. VI.— DES CONDITIONS DE STABILITÉ D'UN ASSEMBLAGE DK VOUTES, ETC. 133

supérieure et qui est censée connue, puis d’élever une verticale par le centre de gravité G de la tranche ou assise considérée. Ces deux droites se rencontreront en un certain point G'. Si, à partir de ce point, on prend sur chacune des lignes des longueurs proportionnelles aux forces dont elles représentent la direction, on obtiendra par le parallélogramme des forces le point de passage de la résultante sur le joint inférieur et, par conséquent, un nouveau point de la courbe des pre.ssions qui permettra de la prolonger dans la partie inférieure du massif. Cette méthode suffit parfaitement pour résoudre tous les problèmes que peut présenter le tracé de la courbe de pression dans un massif vertical ; mais il est utile d’avoir à priori une idée précise de la nature de ces courbes, parce que cela permet de résoudre beaucoup de problèmes pratiques à la seule inspection des figures et que, pour les autres, il suffit de déterminer un très petit nombre de points.

Prenons sur la surface supérieure le point de rencontre t» de la force R pour origine des coordonnées {fig. 52).

Appelons : (j, la composante horizontale de la force R;

V, la composante verticale de celte force ;

l’abscisse de la résultante du poids du massif considéré et de la force verticale V ;

S, la distance du point d’application .de la force R à la verticale passant par le centre de gravité du massif inférieur ;

l'équation générale de la courbe de pression étant, comme nous l’avons démontré dans le chapitre II,

on a, pour un massif vertical et prismatique divisé en assises horizontales.

et

p = ay

I3S CfUP. VI.— DES CONDITIONS DE STABILITE D'UN ASSEMBLAGE DE VOUTES, ETC. d’où

- \ + ay'

mettant ces valeurs dan.s l’équation de la courbe des pressions, il vient

équation qui représente une hyperbole ; si y = oo , on a

L’hyperbole a donc une assymptote verticale située à la distance - du

centre de gravité du massif ; cette verticale est celle qui correspond au cas où V = 0, c’est-à-dire, au cas où il n’y a qu’une poussée horizontale. Nous avons vu, en effet, dans le chapitre II que, dans ce cas, la courbe de pression se réduisait à une parallèle à la verticale qui contient les centres de gravité.

Remarquons en passant que si on appelle p la densité de la maçonnerie, « l’épaisseur du massif, on aiu’a, dans le cas où la force Q est appliquée à

l’extérieur du massif, « = ?«, S = g«, et, par conséquent, pourx = f.

(*) On pfut démontrer immédiatement celle formule en supposant le massif d'une hau* leur H pousisé par la force Q. On a alors, eu prenant les moments par rapport h rarèlo extérieure,

QH = |e'H,

d'où 1 00 tire la valeur de « ci«deBsus qui est indépendante de H , parce que la ligne de prea* eion est sur l'aréte extérieure.

CHAP. VI.-DES CONDITIONS DE STABII.ITP. ÜX'N ASSEHBI.AGE DR VOUTES, ETC. 137

Ainsi, pour une poussée de 0000 kilog., la densité de la maçonnerie étant 2000 kilog., «=3“ serait une épaisseur de culée mathématiquement sufTisante pour une hauteur de pied-droit quelconque.

On voit donc (|ue dans un pilier vertical, qui sert de culée à plusieurs étages de voûtes, la courbe de pression se wmjwse d’une série d'arcs d'hyperboles concaves vers la poussée résultante.

L'intensité des forces intérieures n’est pas toujours déterminée; il en est spécialement ainsi lorsqu’il s’agit de réactions moléculaires qui se produisent à certains points d’appui. Il est souvent nécessaire d’en calculer l'intensité. Prenons un e.xemple simple.

Soit ABDC un massif pesant poussé par une force extérieure R contre une saillie B et reposant sur un plan horizontal {jig. 53).

Soient Q, la réaction ou poussée en B,

P, le poids du massif,

p, le poids de la partie supérieure au point d'application de la force R,

H, la hauteur totale du massif,

K, l'ordonnée du point d'application de la force R au-dessous de A B,

«, l’épaisseur du massif.

Si R = 0, Q = 0, la courbe de pression se réduit à la verticale MP (ligne

ponctuée 1). Si R n’est pas nul, mais plus petit que — -, on a toujours

0=0, mais la courbe de pression devient MnS (ligne 2), ntS étant une branche d’hyperbole, comme on l’a vu tout à l’heure. .\ mesure que R croîtra, le point S s’avancera vers le point D et l'atteindra pour la valeur

il - !;■

138 CHAI'. VI.— DES CONDITIÜN.S DK STADIi.lTE DXN ASSEMBLAGE DE VOUTES, ETC.

Pour cette valeur, on a toujours Q=0 et Mw pour courbe de pres.sioii dan.s la partie supérieure ; mais dans la partie inférieure, cette courbe devient wD (ligne 3).

Dès que

0 n’est plus nul et on peut le déterminer par l’équation

d’où

R(H-!0=Qn + |Pe,

R(H-D-i Pe

Dans le cas d’un levier sans pesanteur, le moment de la réaction serait Q H = R (H — 0.

ce moment est donc diminué du moment du poids du levier. Quant à la courbe de pression, elle sera dans la partie supérieure Bi»' et dans la partie inférieure «l'D (ligne -t).

A inesiut! que la force H augmentera, le point m s’avancera vers le |xiint r sur la paroi où elle est appliquée et l'atteindra lorsqu’on aura

à ce moment, la courbe de pression sera BrD (ligne 5).

.Mettant cette valeur de Q dans l’équation précédente, on en déduit

pH+Pi;

ClIAP. VI DES CONDITIONS DE STAHIUTÉ D'ON ASSEMBLAGE DK VOUTES, ETC. 139

[tour la valeur à partir de laquelle la courbe de pres-sion sortant de la paroi en r et en D, la partie supérieure du massif serait renversée à gauche, tandis que la partie inférieure serait renversée à droite.

Ce que nous avons voulu démontrer surtout dans cette analyse, c’est que la force K ne fait naître une réaction opposée en B que lorsqu’elle a atteint une intensité suffisante pour renvei-ser le solide auquel elle est appliipiée. Pour trouver l’équilibre du massif ABDC, il suffit donc de faire d'abord abstraction de la réaction Ù; si, dans cette hypothèse, la courbe de pression est comprise tout entière dans le solide, elle est la courbe réelle; si elle sort du solide, il faut tenir compte de la force (j, dont on déteimine l’intensité par la condition que son moment rétablisse l’é<|uilibre.

Dans le cas où la force R serait appliquée au-dessus du point A, il suffirait de changer le signe de î dans les formules précédentes pour avoir toutes les circonstances du mouvement.

Appliquons maintenant ces principes aux voûtes soumises à des forces extérieures. Soit /ïÿ. 54 une voûte incomplète dont la culée est poussée par la force extérieure R, appliquée au-dessous du joint dit de rupture. Voyons les effets de cette force à mesure qu’elle va croître d'intensité.

Traçons d'abord la courbe KDP pour R = 0, et appelons ;

Ou, la poussée initiale de la voûte avant l’application de la force R,

O, la poussée résultant du poids de la voûte et de la

force R,

P, le poids total de 1a voûte et du massif,

P, le poids de la partie supérieure au joint de rupture,

p', le poids de la partie supérieure au point d’application de la force R,

Ç, l’abscisse du centre de gravité de la partie supérieure au joint de nipture,

ü, l’abscisse du centre de gravité de la partie supérieure au point d'application de la force R.

<40 CH4P. VI.— DES CONDITIONS DE STABILITE D'UN ASSEUBLACE DE VOUTES, ETC.

H, l’ordonnée de la poussée par rapport au plan inférieur du massif,

ï, l’ordonnée du point d’application de la force H, li, son abscisse,

l’ab.scisse du centre de gravité du poids P,

X, celle du point S.

Pour une petite valeur de Ft, l’influence de celte force ne se fera pas sentir au-dessus de son point d’application, parce que le massif inférieur au joint CD ne sera pas ébranlé; seulement au-dessous du point d’application r, la courbe de pression changera, .son pied s’avancera vers S et atteindra ce point pour la valeur de R donnée par l’équation

c’est-à-dire, pour

au-dessous de celle valeur de R, la poussée 0, reste constante; mais des que cette valeur est dépassée, la poussée Q augmente et on en obtient l'intensité par l’équation

(I) R(H-0 + P(X — E)=QH,

d’où

ou, en tirant de l'équation précédente la valeur de P(X — 5),

Q=oo

On voit que la valeur initiale 0« augmente, à [«rtir de R = H„, d’une

CUAP. VI.-DES CONDITIONS DE STABILITÉ DTN ASSEMBLAGE DE VOLTES, ETC. lil

quantité qui dépend du rapport de la hauteur de son point d’application à la hauteur totale.

Par l’elïct de cette valeur de y, la courbe de pression ne passe plus par le joint de rupture 1), le joint DC. s’est fermé, ce qui à la clef fait descendre le point K en K', de sorte que la courlie de pression est devenue K'si'S. R augmentant successivement, le point m' finira par atteindre l’extrados en r pour une valeur telle qu’on ait

Qï = p'(a/-Î')î

mettant cette valeur de Q dans l’équation (I), il vient

„ Ç'j-PïiX-E)

îiiH-ï:)

Au-dessus de cette valeur de R, la courbe de pression sortirait de la paroi et la voûte serait renversée. On voit que tout se passe comme dans le cas du massif vertical.

Les calculs précédents supposent que la voûte est soumise à deux forces égalés et contraires R; mais si cette force n’agissait que sur une culée, la courbe de pression toujours symétriipie dans les deux demi-voûtes jusqu’au niveau de la force R, pourrait, dans celle où cette force ne serait pas appliquée, sortir extérieurement du massif, avant que R n’eijt atteint l’intensité déterminée ci-dessus. Dans ce cas, le renversement de la voûte aurail lieu plus tût et s’opérerait du côté opposé à celui où la force R est appliquée.

Lors<|ue la force extérieure est au-dessus du joint de rupture D, on obtient des résultats analogues. Soit fig. oü KmDR la courbe de pression avant l’application de la force R. Dés que cette force prendra une certaine intensité, elle aura pour cITet d'augmenter la force Q, car elle n’a ici aucun solide à ébranler pour se faire sentir. Ainsi, en conservant les notations précédentes et en appelant

Iti CHAP. VI. — DES CONDITIONS DE STADILITE DTN ASSEMBLAGE DE VOUTES, ETC.

r’, y', les coordonnées du joint de rupture D,

Ç', l'abscisse du centre de gravité de la voûte au-dessus du joint de rupture,

P, le poids de cette partie,

p", le poids de la partie de voûte située au-dessus de r,

on aura

et

d’où

Qy' = p'(a/ — S-j + Rty' — 0,

La force 0 augmentant, la courbe de pression se modifie immédiatement depuis le point K jusipi’au joint où la force R est appliquée, le point n» vient en m'; à partir de ce point, elle passe par le point D, son pied R se rapproche de S et vient en R'. Elle atteindra le [loint S lorsque le solide inférieur à D (commencera à se renverser en avant et quand, par conséquent, on aura

(4) qH = P(X-H)+R(H-Q.

Cette équation combinée avec l’équation (2) donnera l’intensité de la force R qui transporte l’a.\e de rotation de D en S, ainsi que la forcé Q ; à l’aide de ces deux forces, on pourrait facilement tracer la courbe K"*»”S qui correspond a ces valeurs. A mesure que R augmente, le point se transporte vers r qu’il atteindra pour les valeurs de R et de 0 données par l’équation

QÏ=/(x"-5").

combinée avec l’équation (4).

Au-dessus de cette valeur, la courbe de pression sortirait du massif et la voûte serait renversée. Elle pjourrait l'être avant, si une force égale et con-

CIIAP. VI. -DES CO.NDITIOXS DE STABILITÉ DTN ASSEMBLAGE DE VOUTES, ETC. U3

traire à R n’était pas appliquée .symétriquement à l’autre demi-voûte et que la courbe de pression currespondanl à une certaine poussée sortit par l’extrados du massif. C'est un cas tout à fait semblable à celui des voûtes non symétriques.

Les voûtes complètes donnent lieu à des phénomènes du même genre. Ainsi, dans la fig. 56, où on suppose la force R appliquée au-dessous du joint de iupture, la courbe des pressions, à mesure que R augmente, prend successivement les positions 1 , 1 , 1 , 2, 1 ,2, 5, 1 ,3, c’est-à-dire, que tant que la branche inférieure tombe dans l’intérieur du pied-droit, la branche supérieure et le joint de nipture D demeurent invariables et par conséquent la poussée Q ; mais lorsque la branche inférieure a atteint l'arête intérieure de la culée S et que R augmente, la courbe de pression pénètre dans l’intérieur de la voûte en abandonnant le point D et s’avance vers le point r, la branche inférieure passant toujours par le point S, la poussée augmentant et son point d’application descendant. Enfin, quand la courbe atteint le point r, on est à la limite de la stabilité et, si la force R continue de croître, la voûte est renversée. Le tracé de la courbe de pression n'offre d’ailleurs aucune difficulté, et ce qu’il y a de plus simple, c’est de l’obtenir par tâtonnement. Ou tracera d’abord la courbe dans l'hypothèse où la force R serait nulle jusqu’au niveau de cette force, puis on en tiendra compte à partir de ce point. Si cette branche inférieure ne perce pas l’intrados audessus de S, on aura la courbe cherchée; si elle perce l’intrados au-dessus de S, on recommencera l’opération en prenant ce point pour joint de rotation, en donnant à Q la valeur qui convient à ce point, c'est4-dire,

^ RtH-O-t-PîX-S)

et en supposant cette force appliquée au point B; si la nouvelle courbe ainsi déterminée ne perce pas l'extrados, l’équilibre aura lieu et on pourra apprécier le degré de stabilité de la voûte par la distance de la courbe de pression à l'extrados.

tu CHAP. VI,— DES CONDITIONS DE STABILITÉ D’DN ASSEMBLAGE DE VOL'TES, ETC,

Si la force R est appliquée au-dessus du joint de rupture Cl) {fig. 57), elle le fera descendre immédiatement, parce que la poussée 0 augmentera fmr l’effet de cette force et fera descendre le joint île rupture de I) en I)„ ainsi de suite, jusqu’à ce que la courbe, touchant l’extrados, atteigne les limites de la stabilité. Or, il peut arriver qu’à cette position extrême, le joint de rupture se trouve en 1), et n’atteigne pas encore le |)oint S.

tjuant au tracé de la courl>e de pression, on l’obtiendra facilement par un tâtonnement graphique.

Supposons le point 1) déterminé dans l’hypothèse R = 0, et cherchons à reconnaître le changement de position que vont amener l’augmentation d’intensité de la poussée (,) et la présence de la force R. On suit que la tangente en Ü passe par le point G (fig. 58), projection' du centre de gravité de la partie de voûte DR. Si par ce point nous menons la résultante qui convient à la nouvelle intensité de la force (j, nous aurons une ligne Gm plus oblique que Gl) et si, par son point de rencontre a* avec la direction de la force R, nous menons une tangente à l’intrados, elle le rencontrera néces-sairement en ü' plus bas que U ; or, ce nouveau point 0' est lui-même plus haut q\ie celui qui appartient à la courbe des pressions, car il correspond au point G, abscisse du centre de gravité de DR, tandis qu’il devrait correspondre à G', abscisse du centre de gravité de RD'.

Geci posé, pour tracer la courbe des pressions par tâtonnement, on prendra d'abord un point D, au-dessous du point D (fig. 57), puis un calculera la force y nécessaire pour faire passer la courbe de pression par ce point d’après la formule

Oÿ = p (X — Çm- R (ÿ — Q,

® et y étant les coordonnées de 1),,

P, le poids de la partie de voûte supérieure au point D,,

Ç, l’abscisse de son centre de gravité;

0 étant déterminée, on tracera la courbe de pression qui, en général, coupera l’intrados en deux points. Un recommencera ensuite l’opération en

CHAP. VI.— DES CONDITIONS DK STABILITÉ D’UN ASSEMHI.ACE DE VOUTES, ETC. 1*5

preiiBiil pour joint de rotation le milieu entre ce.s deux points, ce qui en di’tcrmineru presipie toujours la |Kisilion avec une exactitude suflisantc. On pourra d’ailleurs recommencer l’opération, si on a besoin de plus de précision dans les résultats.

D'après ce qu’on vient de dire, on doit reconnaître que, à mesure que R augmente, le point de rotation de la voûte descend de plus en plus, de sorte qu’il finit par atteindre le point S à l'intrados; la courbe de pression s’avance de même vers le point r à l’extrados, qu'elle atteint à la limite de l’équilibre ; R continuant à croître, la voûte est brisée en r, la j>artie supérieure s’élève et la partie inférieure tombe en dedans. Remarquons en même temps que la rotation qui tend à se produire en r a pour efl'et de faire descendre la pression vers le point R de la clef.

Les procédés que nous venons d’indiquer s’appliqueraient à un nombre quelconque de forces extérieui-es. La courbe de pression ayant toujours pour équation

Qy=p{x— Ç) + R(y — Ç) + R'(y — î') +etc.,

on en déduira facilement le point de rotation par tâtonnement; en prenant un point quelconque de la courbe d’intrados, en substituant ses coordonnées dans l'étpiation précédente, on aura une valeur de y qui permettra de tracer la courbe de pression; cette courbe, si elle ne passe pas par le point pris au hasard, coupera l’intrados en deux points et permettra de considérer le point milieu comme le nouveau point de rotation, avec une approximation presque toujours suffisante pour la pratique.

Sans entrer dans plus de détails, nous pouvons aborder maintenant le problème de la stabilité d’un assemblage de voûtes.

Nous considérerons d’abord le cas où deux voûtes ayant des naissances à même hauteur sont séparées par un pilier vertical. Il est évident que si les deux arches sont égales, la courbe de pression dans le pilier est celle (|ui aurait lieu dans le cas où les deu,x voûtes n’existeraient pas et que, dans les voûtes, cette courbe est celle qui se réaliserait dans le cas d'une voûte unique comprise entre deux culées immobiles.

146 CHAP. VI,— DES CONDITIONS DE STABILITÉ D UN ASSEVBLACE DE VOUTES, ETC.

Il n’y a donc lieu de s’occuper que du cas où les voûtes sont inégales, comme dans la fig. îî9. Traçons d’abord dans les deux voûtes, depuis lu clef jusqu’aux naissances, les coiirlws de pression KH, kM', comme si le pilier était immobile. A partir du joint horizontal DD', la courbe de pression devient une branche d'hyperbole DS dont l’équation serait

(Qi— Qi)y=P(Æ— ï),

en appelant :

0, , 0„ les poussées des deux voûtes,

f), le poids du pilier juseju'à l'assise considérée, y compris celui des deux demi-voûtes,

5, l’abscisse du centre de gravité des forces verticales qui agissent .sur le pilier.

Si, comme l’indique la /fÿ. o9, la courbe DS sort du pilier, ce pilier sera d’alsird renversé en tournant autour de l’arète E; pendant ce mouvement, une courbe dynamique passant par ce |)oint se formera; mais le pilier, en se renversant, poussera la voûte de gauche sur la culée D"M; ce mouvement tendra à fermer le joint D'C et à faire descendre le point k' vers cette poussée se transmettra en D", et si la culée D''>L\L n’est pas renversée, ce qu’on rei’onnaitra par le tracé de la courbe de pression, l’équilibre se maintiendra. Il est facile de reconnaître la courbe de pression qui correspond à ce cas. Il n’y a, en effet, qu’à donner à Q, la valeur qui a pour résultat de faire passer la courbe des pressions par le point E. Or, en appelant :

A, la hauteur du pilier DF,

«, l’épaisseur de ce pilier,

P, son poids,

p', celui de la demi-voûte DB,

0, , la poussée de la grande voûte,

Q, , la poussée de la petite voûte.

CHAP. VI.— DES CONDITIONS DE STABILITE DTJN A.SSF.MBLAGE DE VOt'TES. ETC. U7

on aura, en considérant l’étiuilibre du pilier par rapport à l’axe de rotation E,

d’où

Q^ = Q<-{lP + p')p

on aura donc la valeur de la poussée de la petite voûte ; à l’aide de cette valeur de Q, et du point de rotation ly, on pourra tracer la courbe de pression dans la petite voûte. Si son sommet se trouvait plus bas que 4, cela indiquerait que la courbe ne passe pas par la naissance et l’on prendrait sur le joint de naissance un point plus élevé, de manière à obtenir ce résultat. On ne peut pas affirmer que cette courbe sera celle qui se réalisera, parce que des vices de construction pourraient changer le point d’application de la poussée à la clef, mais ce sera au moins une parallèle, et le constructeur pourra prendre celle qui sera le plus défavorable à l’équilibre. Une fois ce parti pris, on tracera la courbe de pression symétri(|ue dans l’autre demi-voûte, puis dans le massif formant culée, et si cette courbe ne sort nulle part du dernier massif, tout le système de voûte est en équilibre. Cela lient à la résistance de la culée extrême, sur laquelle se reporte la poussée de la grande voûte par l’intermédiaire de la petite. Or, pour que celle-ci puisse le faire, il faut qu’elle remplisse certaines conditions sur lesquelles nous devons immédiatement appeler l'attention du lecteur.

D’abord il est facile de reconnaître que la (lèche de la courbe de pres-sion dans la petite voûte ne variera qu’en raison du poids de la demi-voûte, tandis que la flèche de la demi-voûte peut subir des variations telles que la courbe de pression ne puisse plus y être contenue ; car en appelant ;

fl, la demi-ouverture,

p", le poids de la demi-voûte,

f, la flèche de la courbe de pression ,

tks r.iur. VI — DES CONDITictXS DE STAIIII.ITÊ DX'X ASSEMRI.AGE DE VODTKS, ETa

on a

Or, a et (J. sonl in^’ariables, il n’y a donc ([ue jj" qui puisse augmenter la flèche. Si 0i est très-grand, f sera très petit et la forme de la voûte peut être telle qu'on ne puis.se loger la courbe de pression dans le prolil de la petite voûte.

Supposons, par exemple, qu’on ait substitué à la voûte surbais.sée de la fig. 50, le plein-cintre fg. 60. Dans celte disposition la courbe dépréssion, même dans la position la pins favorable, passant au-dessous de la clef, l’équilibre ne pourra plus avoir lieu ; la culée ne sera pas renversée, il est vrai, mais le pilier intermédiaire le sera et la petite voûte sera soulevée à la clef.

On voit que, dans ces circonstances, les plates-bandes ou les voûtes trèssurbaissées sont préférables |K)ur transmettre des pressions horizontales. Du reste, reniarquons-le en passant, à moins de conditions d’architecture bien impérieuses, la disposition de la fig. ott serait vicieuse en pratique, parce que le pilier intermédiaire portant sur l’angle E éprouverait dans sa partie inférieure des pressions tellement considérables qu’elle.s pourraient amener l’écrasement des matériaux. Si rien ne s’y opposait, il faudrait tâcher de ramener la courbe des pressions vers le milieu de El’, en cliargeatit soit la petite voûte, soit le pilier, soit même la grande voûte près de la naissance, ou cnliii augmenter l'épaisseur du pilier.

C’est là même une observation générale (pii s’applique à tons les cas que nous allons considérer. Dans une construction .solidement établie, telle que celles qu’exigent les travaiLV publics, il ne faut pas que la courbe des pressions passe par les angles des piliérs qui la supportent, quoique dans ces conditions l’éqnilibre puisse être très stable. Donc si, comme dans la fig. 59, on trouvait par le premier tracé que la courbe de pression naturelle sort des piliers comme D S, au lieu de chercher la courbe de pression définitive, il serait préférable de modifier les dispositions du projet, de manière à ramener la courbe de pression dans l’intérieur des bases, auquel cas ces

ClIAP. VI.— DES CONDITIONS DE STAUlUTÈ DTN ASSEMBI.AOK DE VOt’TFJi, RTC. U9

courlics se coiifomlenl. Il semhlerail donc «ju’il n’y a pas lieu de s’oceupier du cas où les voûtes se pous.sent les unes sur les autres, pui.siju’un ne doit pas le rencontrer dans la pratiipie ; mais nous croyons que le constructeur ne doit rien ignorer de ce ipii concerne ré<|uilil)re des constructions, que de plus, il peut se rencontrer des circonstances exceptionnelles qui obligent à avoir recours à cet expédient ; enfin on verra plus tard que dans les grands ponts où, par économie, toutes les arches ne sont [>as construites à la fois, on tire parti de la poussée réciproque dos voûtes pour obtenir leur é(|uilibre provisoire sur des piles qui sont loin d’avoir l’épaisseur nécessaire pour résister comme culées.

Ainsi supposons qu’on ait plusieurs petites voûtes situées à la suite de la grande et cherchons comment s’établit la poussée d’une voûte a l’autre (/fÿ.

Nous avons déjà déterminé plus haut la poussée de la première demivoûte par l’équatii'in

Q«=Qi — (î? +

en apfielant p" le poids d’une des fietiles demi-voûtes, on aurait de même, en considérant l'équilibre du second pilier,

Qa=Q=- +

et, en considérant celui du troisième,

Q. = Q.-gp+P")|;

on voit que la poussée décroit d’une voûte à l’autre suivant une progression arithmétique dont la rai.son est

150 CIIAP. VI — DES CONDITIONS DE STABII.ITÉ O'L’N ASSEMDI.ACE DE VOUTES, ETC.

Si donc sur le milieu de la première demi-voûte, on élève une verticale égale à U, et sur la seconde, une verticale égale à (),, et qu’on joigne l’extrémité de ces deux lignes, on aura une ligne inclinée qui déterminera la poussée de chaque voûte et le nombre de voûtes nécessaire jiour faire équilibre à la grande voûte. On le déterminerait analytiquement en remarquant qu’en faisant l’addition des équations précédentes, on a

on aurait donc «en égalant à zéro le .second membre de cette équation, .\insi on peut faire équilibre à une voûte pur une série de voûtes accolées à la culée; ce n’est certes pas un moyen économique, mais des convenances architecturales peuvent conduire à adopter ce système.

()n remarquera que quoique les petites voûtes soient toutes égales, la courbe des pressions est ilill'érente dans chacune d’elles, car elles sont soumises à des pous.sées dilTérentes; la flèche de la courbe augmente à mesure qu’elles s’éloignent de la grande voûte précisément en raison de la poussée, t in voit ainsi se réaliser dans une même voûte cette inFinité de courbes de pressions possibles qu'admet la théorie actuelle et qui sont, il est vrai, toutes compatibles avec l’équilibre de la voûte, mais qui ne peuvent se produire que sous l’influence de forces extérieures.

La poussée horizontale d’une voûte étant la même dans tous les voussoirs, il en résulte qu’on peut contre-buter une voûte par une demi-voûte de même rayon, comme dans la/fÿ. 02; alors dans le pilier intermédiaire, la courbe de pression se réduit à une verticale comme dans le cas de deux voûtes symétriques et la hauteur de la culée diminue de toute la flèche de la voûte, ce qui permet d'en réduire (amsidérablement l'épaisseur. C’est sur ce principe qu’est fondée la théorie des arcs-boutants, qui difl'i'rent du cas de la fig. 00, en ce que la seconde voûte n’est pas continue. Quoi qu’il en soit, la poussée que ces arcs doivent fournir doit se calculer comme pour le cas de la fig. îiO. La valeur de Q' étant obtenue par l'équation

ClUl'. VI.— DES CONUITIO.NS UE STABIUTE D'UN .ASSEMULAEE DE VOUTES, ETC. 151

on la partagera enire le nombre n de.*; arcs-boutants, puis, au moyen de cette valeur, on déterminera la courbe des pressions dans chacun d’eux et dans leurs culées, auxquelles on devra donner une épaisseur suflisante pour prévenir le renversement. On pourra diminuer cette épaisseur en chargeant la partie supérieure de la culée. Inutile de s’arrêter sur ces détails qui sont une conséquence directe de la théorie que nous exposons.

Passons au cas où la naissance des voûtes n’est pas située à la même hauteur et considérons d’abord celui où la petite voûte est au-dessous île la grande. Si, dans la /fÿ. 59, nous supposions la petite voûte de.si'endne parallèlement à elle-même, de manière que sa naissance fût au-dessous du jHiint S, il n’y aurait pas d’équilibre possible, car toute la partie située audessus de la naissance la plus basse est dans les conditions d’une voûte simple et doit être en équilibre par elle-même. Il faut donc su(>poser la voûte placée au-dessus du point S {fig. 63), pour qu’il y ait lieu à vérifier l’équilibre. Dans cette hypothèse, pour que le pilier intermédiaire ne soit pas renversé, on doit avoir

Q,H = Q.A + c^p'-l- ip).

on voit qu’ici la poussée de la petite voûte doit avoir une intensité plus grande que dans le cas où les deux voûtes sont au même niveau. La petite voûte sera donc astreinte à avoir une flèche plus petite; mais si cette condition est remplie (elle le serait toujours pour une plate-bande), l’équilibre ne dépendra plus que des dimensions de la culée. Or, 0, étant déterminé pour la petite voûte, on peut y tracer la courbe de pression et vérifier si elle est contenue partout dans le massif. Ce cas ne peut donc pas présenter plus de difficulté que les précédents.

IH Cll,\l>. VI. -DES r.ONDmOXS de STAKIMTÉ D'DN ASSEHBI.ACE de VOl'TES, ETC.

Si la petite voûte est placée au-dessus de lu grande [ftQ. fil), la valeur de (,). est déterminée jiar la même éijiiatioii, seulement on remarquera que h étant plus grand que H, Oj est plus petit que dans le cas pnv-éilenl. Cependant il peut être encore assez considéralile pour détruire l’équilibre de la [>artie du pilier située au-dessus de la nai.ssance do la grande voûte, ce qui aurait lieu, par exemple, si la courbe de pression dans la petite voûte prenait une position telle que K’S'. Celle voûte, avec ses pieds-<lroiLsju.squ'à la naissance de la grande voûte, peut être considérée comme une voûte surélevée dont la poussée compatible avec l'équilibre est limitée. Ainsi une fois la valeur de Q. obtenue, on devra considérer la construction comme en danger si la courbe de pression rencontre le pilier au-dessus de F. Si cela n’a (uis lieu, la courbe de pression de la petite voûte viendra tomber sur le jtunt de naissance de la grande voûte et modiliera la courbe de pression DS, qui deviendra DE. Le pilier intermédiaire sera en équilibre; il ne restera plus qu’à vérifier, par le tracé de la courbe de pression, s’il en est de même pour la culée.

Si la culée était remplacée par une série de voûtes quelconques, on trouverait évideminent par le même procédé les poussées (J,, (Ji> relatives à ces voûtes.

Si le pilier était soutenu par deu.x étages de voûtes ou par un plus grand nombre [pg. C’i), il deviendrait impossible de déterminer exactement la pou.ssée de chacune des demi-voûtes. C'est une indétermination inévitable et de même nature que colle qui existe au sujet du point d’application de la (•ousséc. L’équilibre est, en etl'et, compatible avec des intensités de poussée très dilTérentes dans chacune des deux demi-voûtes ; ainsi en appelant Q', et h' la poussée et la hauteur de la voûte inférieure, on aura, jiour déterminer (ji et y,, l'équation unique

Qi/n-Qi'/«' = 0> A — c

Il ne suit pas de là qu’on puisse donner à tjj et tj', des valeurs quelconques depuis zéro; il est évident, en elTet, que ces quantités ont au

CHAP. VI — DES rOXIHTIOSS DE STAWLITÉ D IX ASSEMBLAGE DE VOUTES, ETC. 1S.1

moins rintensité due au p<)ids et à la flèche de chacune des voûtes, comme dans le cas où le pilier serait immohilc. De plus si un suppose ipie la résultante passe par le pied du pilier, il y a un cuminencement de renversement du pilier KL qui aura nécessairement pour efiet de déjilaeer les naissances D' et D" de quantités proportionnelles aux hauteurs h et h'. Il est donc permis de supposer comme approximation

Q't : Qi : : A' : A,

ce qui donnerait

Celte ét|ualion, combinée avec la précédente, ilonncrait (Js et O'i > ce ipii [lermettrait de tracer la courbe de pression dans la culée. Sans doute le procédé que nous indiipiuns n’est qu’une approximation, et s’il s’agissait de trouver les dimensions limites de l’équilibre, il ne mériterait jias grande conlianee, mais comme dans la pratique, on se lient toujours loin de ces limites, l’erreur qu’on peut commettre en le suivant ne saurait avoir de conséquences fâcheuses.

Dans les exemples que nous venons d’examiner et dans tous ceux qu’on pourrait se proposer, on voit tiu'il s’agit toujours d'établir les conditions d’équilibre du pilier sur lequel les voûtes prennent leur naksoncc. Pour cela, la première chose à faire c’est de tracer la courbe île pression dans l'hypothèse où les voûtes auraient leur poussée naturelle, c’est-à-dire, celle qui est due à leur poids. Si celle courbe de pression est contenue tout entière dans le pilier, le problème est résolu ; mais si elle sort du pilier, cela indique que celui-ci pousse les voûtes du côté où il doit se renverser.

t.tn cherche alors quelle doit être la pioussée de ces voûtes pour que l’équilibre soit rétabli, ce qui délciTiiinu la poussée des voûtes pressées et leurs courbes de pression. Si la forme des voûtes pressées permet à lu jioussée d’atteindre l’intensité voulue |iar l’équilibre, il ne reste jtlus qu’à

i5i CHAP. VI— DES CONDITION» DE STMllUTP, D l’.N ASSKMULAGE DE VOETES, ETC.

vérifier si la courbe de pression ne sort pas de la culée opposée. Si au lieu de culée, il y a un second pilier cl d’autres voûtes, on procède pour ce second pilier comme pour' le premier, etc.

Il peut arriver qu’une voûte s’appuie sur une autre directement sans l’intermédiaire d’aucun pilier. Soit, par exemple, le cas de la fig. fit}, qui représente un cvidement sur une pile de pont dans le genre de ceux qu’on exécute aujourd hui. Il est clair que dans la petite voûte, la courbe de pression se détermine (rorame dans le cas le plus simple. Elle passera a la naissance et par un point à lu clef qui sera d'autant plus élevé i|ue la grande voûte s’abaissera davantage au décintrement. Voyons maintenant ce qui se passera dans la grande voûte ; si elle était isolée, on aurait une certaine courbe KsII, correspondant à une poussée (J, facile à déterminer, car le point de rupture i est connu. Comme nous l’avons vu plus haut, la force extérieure appliquée en M, se trouvant au-dessus du joint de rupture, la pous.sée de la grande voûte sera augmentée et il est très facile d'en avoir mie valeur approchée. Soient en ellel :

x„ y., les coordonnées du point de rupture o pour la grande voûte, indépendamment de la petite voûte, X, y', les coordonnées du nouveau point de rupture o' produit par lu poussée de la petite voûte, x", y", les coordonnées du point .M, p„ p', les poids de lu demi-grande voûte de B en S et de B en S',

p", le poids de la petite demi-voûte,

5', les abscisses des centres de gravité des portions de voûte Bô, B5',

0,, la poussée de la grande voûte, indépendamment de la petite voûte,

(j, la poussée eu égard à la petite voûte,

B, la poussée horizontale de la petite voûte.

CHAI’. VI.— UKS CONDITIONS DE STABILITÉ D'UN ASSEMBLAGE DE VOUTES, ETC. 155

on aura pour l’équation d’équilibre autour de l’a,\e

Qy' = p’ix' — Ç') + pf' ( æ " — x ') + R iy' — y"),

d’où

le terme

P'jx' — l')

dilTère peu de

qui correspond à la |HUiss(-e du cas oi-dinaire (il est un peu plus petit, puisipie le point dont les coordonnées sont x, et y, est celui qui donne le

maximum de la fonction on peut donc le remplacer par (j„.

Le second terme sera en général fort petit et d’autant plus négligeable qu’on a augmenté la valeur du premier. On peut donc ccrii'e comme valeur approximative de 0

q=q,4-r-rÇ,'

«piantité facile à calculer à priori.

A l’aide de cette valeur de (J, on tracera facilement la courbe de pression. Si on a pris pour 0 une valeur un peu trop faible, elle coupera l’intrados un peu au-dessus et un peu au-dessous du point et on prendra le milieu entre ces deux points pour le nouveau j)oint de rotation. Si on a pris, au contraire, une valeur trop forle, la courbe de pression sera tout intérieure et on prendra sur l’intrados le point qui en sera le plus voisin. Il ne serait même pas nécessaire de calculer d’abord une valeur de 0 approximative, ce calciü préliminaire ne fait qu’abréger le tûtonnemenl. tfuoi qu’il en soit, on voit qu’il sera très facile de déterminer la courbe de pression, quel que soit le procédé qu’on adopte.

I5fi UIAl*. Vl.-DKS CONDITIONS UE STAUIUTÈ Ü't'N ASSEMBLAGE UE VOUTES, ETC.

Le cas que nous venons de enn.sidércr n’esl qu’une application tie celui que nous avons exaininé, d’une voûte pressée par une force horizontale extérieure et .supérieure au point de rupture; nous croyons inutile de faire une ap|iIicatioii spéciale du cas où la voûte pnus.s4iiite serait située nu-des.sous du joint de mpture de la voûte poiissrie. Il est évident, du loste, (pi’il est impossible d’épuiser toutes les combinaisons (pi’on pourrait imaginer; nous nous bornerons donc aux exemples que nous venons de choisir cl qui sufliront pour donner la marche à suivTe dans les cas les jilns compliqués, qui tous trouveront une solution par quelques làlonnemenls faciles et rapides.

Nous allons examiner maintenant le cas où les voûtes se trouvent con-' solidées par des armatures spéciales ou par des supports intermédiaires.

Imaginons que dans la voûte de la figure 1)7, on ait solidifié par des armatures toute la partie inférieure au joint de rupture o; il est évident que cela ne changera rien à la courbe des pressions et que le renversement de la voûte se fera comme dans le cas ordinaire. Ces armatures devraient donc être considérées comme peu utiles, tant qu’elles ne franchiraient pas le iK)inl «; mais si elles montaicnl jusqu’en ?, elles diminueraient la poiis,<ée, la courbe de. pression qui était KoR, deviendrait KJ'aH', le point R' s’avancerait vers E, à mesure (jue le point S monterait vers la clef, et l'atteindrait pour un certain point S" où la poussée atleinl son minimun). Il faut remarquer, en effet, qu’il y a ici deux forces en présence; la partie supérieure pousse la partie inférieure comme une voûte incomplète, mais celte pous.sée va sans cesse en diminuant à mesure que le monolithe inférieur s'accroil et que la partie supérieure non armée décroît. D’un autre côté, le monolithe inférieur penche de plus en plus en dedans, à mesure que l’abscisse de son centre de gravité pas.se plus en avant du point E et il arrive un moment où la pou.ssée de la voûte ne fait que suffire à l’équilibi-e du monolithe; à partir de ce point, si le monolithe augmente aux dépens de la voûte, c’est lui qui pousse la voûte, de sorte que la poussée reste constante et la courbe de pression conserve la position K» E. On remarquera que dans cet exemple, l’équi-

ClUP. VI.— DES CONDITIONS DE STAHIUTÉ D'EN ASSEBBI.ACE DE VOUTES, ETC. 157

libre ii’exige plus que la eoiirlie de pression soit tout entière comprise dans la surface de la voûte, elle peut en sortir dans toute la partie qui forme munolitlic et qui alors résiste par la cohésion des matériaux.

Considérons maintenant le cas où c’est la partie supérieure .AHIF qui est armée de manière à former monolithe, {fig. 07, coté droit). partie ne poussant pas, il suflit de dé'terminer la jioussée de la partie inférieure. Or, elle peut être considiirée comme une voûte en ogive chargée à la clef d’un poids égal à celui de la partie de voûte fil. On déterminera le point de rupture ô, en cherchant .sur l’intrado-s un point tel que sa tangente vienne rencontrer sur l'horizontale KJ la projection du centre de gravité de la partie de voûte cl com[H>sé avec le poids qui agit en I. Le point S étant déterminé, on en déduit pâlies procédés ordinaires la courbe de pression. On reconnaît facilement que l’armature de la partie supérieure de la voûte fait descendre le point de rupture et diminue d’autant plus la poussée que le raonidithe supérieur est plus considérable.

Cet exem])le résout le cas des tirants en fer qu'on place quelquefois dans les voûtes, surtout dans celles qui, couvrant des édifices élevés, exigeraient des culées très épaisses. On arrive par ce moyen à diminuer considérablement la poussée.

Si le tirant se trouve au-dessous du joint de rupture {/ig. 68, coté gauche), le mouvement de la voûte se fera comme dans le cas ordinaire, mais la culée pourra être moins épaisse, puis<|iie la piou.ssée est détruite par le tirant convenablement serré. La courbe de pression ipii aurait été KcR et aurait indiqué que le mur d’appui n’était pas en éipiilibre, devient KcR'.

Si le tirant est placé au-de.ssus du joint de rupture, comme dans la figure 68, côté droit, il aura pour effet de détruire la pous,sée de la partie supérieure de la voûte qu’on ne doit plus considérer que comme un poids vertical placé en T; la courbe de pression qui aurait été KSR devient KfR'.

I5« tllAP. VI— DES CONDITIONS DK STABIMTE O'CN ASSEMBUCE DE VOUTES, EIC.

On peul donc, au moyen de tirants reliés à l’exirados par des barres longitudinales , eombalire la poussée des X'oûles. Ce moyen peut être employé dans les édifices où la solidité et l'économie doivent être préférées à l’élégance de rarchilccliire. L’effet des tirants est trop facile à calculer pour que nous insistions davantage sur cette disposition. On devra toutefois se rendre compte de l’efiét de leur dilatation par la chaleur.

Imaginons maintenant qu’au milieu d'une voûte en plein cintre jig. (fiO), existe un sup|xirt vertical et cherchons à nous rendre compte des modifications qui [Kîuvent en résulter pour l’équilibre. Parlons du cas où la pression de ce support sur la clef de la voûte est nulle et supposons qu’elle aille en croi.ssant successivement. Pour une sous-pression égale à H, prenons, à droite et à gauche du support, une longueur de voûte telle que son p<jids soit égal à R. 11 est clair ipic jiour l’équilihre de cette fMirtion de voûte, il faut que les pressions sur les joints extrêmes soient horizontales; en efiel si elles ne l’étaient |«s, leurs directions .se rencontreraient sur l’axe vertical île la voûte et auraient une résidiante. .\insi la courbe de [tression est horizontale sur deux joints situés à égale distance de l’axe et qui sont tels qu’ils détachent de la voûte un poids égal à H, car ()rès de la clef, les joints peuv ent être considérés comme verticaux, d'où il suit que la résultante des pressions est tangente à la courbe des pressions. Si maintenant on considère l’équilibre de la moitié du solide dont le poids • est égal à K, ou reconnaît que le point d’application de la poussée à la ciel doit être au-dessous de a, pour former un couple équivalent à celui ipii résulte du [aiids du solide et de la réaction de l’appui, ce qui donne à lu courbe des pressions lu forme indiquée par la figure 09. On la trouverait du reste par te procédé général; ce que nous venons de dire n’a d’autre but que de constater le ty|>e de la courbe. On peut considérer les arcs inférieurs aux joints m», m'a' ,’ comme des moitiés d’ogives pour lesipielles le tracé de la courbe des pressions ne présente aucune difficulté, suivant le procédé que nous avons indiqué [jour ces natures de voûte. K mesure que la souspression R croit, l’arc B« croît aussi, et le point a de la courbe finit par

CHAI*. Vl.-DES CONDITIONS DE STABILITÉ DX'N ASSEMBLAGE DE VOUTES, ETC. 159

alleindre l’extrados de la voûte; s’il était dépassé, la voûte serait renversée (*).

Il pourrait se faire qu’on ne eonnùt pas la réaction de l’appui B, comme cela arriverait, par e.xeuiple, si cet ajipui était laissé après le décintremenl. Alors la coiirlie de pression est indéterminée; on sait seulement qu’elle ne peut atteindre la limite qui amènerait le renversement de la voûte, car ce renversement supposerait un soulèvement de la clef.

Si l’ap[iui n’était pas situé au milieu de la voûte [fig. 70), on déterminerait aussi facilement la courbe de jiression. Siqiposons d’abord que la compression de l'appui soit é^ale au poids de la partie de voûte comprise entre l'appui et la clef; il est clair i|ue cette partie pourra être considérée comme une voûte incomplète, dont le point d’appui formerait la culée et dans laquelle la courbe de pression viendrait percer l’intrados sur l’appui même. On la tracerait ensuite dans la partie inférieure comme dans un massif poussé liorizoulaleinent à sa partie supérieure. Si la sous-pression du point d'appui est inférieure au poids de la partie supérieure de la voûte, la (T)urbe de pression ne viendra jias jusqu’à l’intrados sur le [joint d’appui. Elle n’en approchera qu’à une certaine distance qu’on déterminera par tâtonnement de lu manière suiv ante : prenant au-dessus du point d'appui un point a quelconque, on tracera la courbe de pression à l’aide de ce point et d’un autre pris au-dessus du milieu de la clef en tenant compte de la souspression. Si la courbe ainsi déterminée cou[ie l’intrados en deux points, c’est que la poussée est trop faible, il faut remonter le point a. jujspi’à ce ([u’elle devienne tangente. Si la courbe d’essai ne touchait pas l'intrados, ou descendrait le point a. On aura d'ailleurs une idée de la forme de cette court>e en remar(|uant que si on prend au droit du point d’appui un solide dont le poids soit égal à la sous-pression et dont le centre de gravité soit

(*) Cette recherche de la courbe de pression dans le cas où une force ~ R est appliquée à la clef suppose que cette sous^'pression est iransutisc aux joîiiU voisins par l'effet du frottement, car dans le cas où le frottement serait nul, il est évident que l'effet de la force R se bornerait à faire sortir la clef par l'extrados; mais dans 1a pratique il n'en est pas ainsi. La poussétf à la clef fait naître avec 1rs voussoirs voisins une adhérence à Taide de laquelle ils sont soulevés couiiuo s'ils ou faisoient qu'un monolithe.

160 CHAP. Vl.-BKS CONDITIONS DE STABILITÉ DXN ASSEMBLAGE DE VOUTES, ETC.

situé dans la dircc'lion de eetle force, on aura ainsi deuv joints sur lesquels la pression sera égale en intensité et en direction; d'où il suit que la courbe de pression présente, au droit du point d'appui, un point d'inflexion, comme nous l'indiquons dans la jiij. 70. On voit que ce point d'appui intermédiaire diminue la |M)ussée et fait descendre le joint de rupture.

Dans ce qui précède, nous avons supposé ipi'il y avait deux points d’appui symélriipieinenl placés par rapport à l'axe de la voûte. S’il n’y en avait que d’un coté, la voûte devrait être considérée comme non symétrique. On commencerait à déterminer la courlve de pression jiour le côté où il n’y a pas de point d'a|>piii, ce qui ferait connaitre la poussée; puis, à l’aide de cette donnée, on tracerait la courbe de pression dans l'autre demi-voûte et cette courbe ne loucherait plus l’intrados. Il n’y a plus alors d’autre tàtonnemcnl <|ue celui que comporte, dans le tracé de la courbe de [iression de la demi-voûte libre, la détermination du point d'application de la poussée à la clef.

^ous croyons que les principes que nous avons exposés et appliqués à un certain nombre de cas particuliers permettront de résoudre tous les problèmes que peut présenter la recherche de la stabilité des voûtes en berceau dans toutes les circonstances où elles peuvent se trouver. Ces voûtes sont à peu près les seules ([ii’on emploie dans la construction des ponts et nous pourrions peut-être nous dispenser de parler des autres voûtes; mais puisque nous avons été entraîné à exposer les principes généraux de la théorie des voûtes, nous croyons devoir compléter celte étude théorique par quelques considérations sur les autres espèces de voûtes.

Dans les ouvrages qui traitent de la stabilité des voûtes, on ramène le problème de la stabilité des dûmes à celui des voûtes en berceau, en considérant une petite portion de ces dûmes <'omprisc entic deux plans méridiens verticaux {fig. 71). I.’écpiilibre de cet élément du dôme i>eut alors se calculer de la même manière que celui d’une section de la voûte en berceau, en ayant soin de calculer le poids et la position du centre de gravité des portions de voûte depuis la clef jusqu’au joint considéré, non pas d’après la surface méridienne, mais d’après le solide. On peut imaginer, du reste, un extrados

C1UI‘. VI.-DES CONUITIOXS DE STABIUTÈ DX'N ASSEXItl.ACE DE VOt'TES, ETC. 161

fictif (ligne ponctuée), dont I» surface depuis la clef jusqu’au joint serait proportionnelle au volume de la voûte. Alors ou pourra opérer avec cet e.vtradüs comiiie s’il s’agissait d’une voûte en berceau. A l’aide de la figure, on voit que le joint de rupture est plus bas que dans la voûte en l)crceau extradossée parallèlement, car les absci.sses du centre de gravité des portions de voûte corresfwndant à un joint quelcoiupie sont plus grandes jKiur la voûte en dôme que pour 1a voûte en berceau; 1a tangente à l’intrados qui passe par la projection du centre du gravité s’approche donc plus de la verticale.

(juoi qu’il en soit, on voit que dans cette hypiotbèse rien n’est si facile rpie de calculer la courbe de pression correspondant au dôme ou à une fraction du dôme. On pourrait la continuer de même dans le mur qui porte le dôme et elle représenterait son état d’équilibre dans l’hypothèse où le dôme aurait été construit par plans méridiens juxtaposés .sans aucune liaison entre eux, ce (pii n’est pas la méthode ordinaire où, au contraire, des liaisons nombreuses sont établies dans les assises horizontales, de sorte (pi’une division par un plan méridien ne peut que difficilement se produire. Il résulte de cette observation que s’il y a équilibre dans l'hypothèse d’une divisiotl en plans méridiens sans liaison, il y a à plus forte raison équilibre dans le mode de construction ordinaire; mais s'il n’y a pas équilibre dans celte hypothèse, il n’est pas permis d’en conclure qu’il n’y aura pas non plus é()uilibre dans le mode ordinaire de construction, parce que les liaisons qu’on établit dans le sens horizontal s'opposent au renversement de la culée, puisque ce renversement ne peut avoir lieu qu’autant que le cylindre-culée se divisera suivant des arêtes verticales, .Ainsi, l'hypothèse de.s plans verticaux méridiens est très défavorable à l’équilibre et ne repriiscnle pas exactement la résistance de la construction. Il faut d’ailleurs ciimplélement l’abandonner quand le dôme est percé à sa partie supérieure par un vide circulaire, ce qui arrive souvent dans les édifices où ce vide porte une tour dite lanterne. -Alors l’assimilation à la voûte en berceau devient impossible, puisipie ces voûtes ne peuvent se passer de clef.

Avant d’expliquer comment s’établit l’équilibre des dômes tronqués, nous devons rappeler un tbéorcme connu de mécanique, qu’on peut exprimer

(6S CHAI’. VI.- «ES CONDITIONS DE STABILITE D'EN ASSEMBLAGE DE VOUTES, ETC. ainsi : (|uand un cercle est pressé ou tiré par des forces égales dans le sens des rayons, ces forces produisent une pre.ssion ou tension qui est T = FR, F étaiil la force c.vlérieure par mètre courant et U le rayon du cercle. On s’en rend facilement compte en construisant le parallélogramme des force.s sur un arc de cercle ds; la ligne DE {fig. 72) sera proportionnelle à Fds et la ligne DB à T; les triangles semlilaliles DÜE, .\BC donnent le rapport

DE AB ¥da dt

DB = fiC T-ïf

d’où

T=FR et F=ï.

Or, si l’on imagine qu’un dôme soit déeintré avant que la clef soit posée, ou qu’il entre dans 1a iialure de la construction d’avoir un vide circulaire à son sommet, il est évident que la partie inférieure no lomlæra pas et qu’il n’y aura qu’une légère inflexion vers l’intérieur de la partie supérieure au joint de rupture. Ainsi, si l’intrados occupait sur le cintre la position indiquée par les lignes pleines [fig. 71), il occupera après le décinlrement celle qui est indiquée jiar les lignes ponctuées, t.assement tout à fait analogue à celui des voûtes en berceau, Par suite de ce tassement, on voit que toutes les assises horizonlales du dôme qui forment des espèces de couronnes se resserrent, puisque leur diamètre diminue. Celte contraction étant exprimée

par T donne lieu à une force horizontale dans le sens du rayon ^ qui main-

lient 1 équilibre du voussoir sur son joint et remplace la poussée. ^ étant

l’expression de la force par mètre courant, il s’ensuit qu’elle est pour l’assise ..T

entière 2-H X = 2i:T et ipie, pour une partie aliquote de la circonférence

— =«, elle est aT.

(Cherchons maintenant à nous rendre compte approximativement de la valeur de T. Il est naturel de supfMjser que la compression est proportionnelle

CIIAP. VI.-DES CONDITIONS DE STABIUTÉ D'I'N ASSEMIll.AGE UE VOUTES, ETC. 163

à la (liiiiiniiüuii du développement circulaire des assises ou, ce qui revient au même, à la diminution du rayon. .Ainsi, on aura

„ EiR-U')

Or, il est évident sur la figure que R — R' va en diminuant du haut en bas d’une manière sensiblement régulière, tandis qu’au contraire R croit comme les abscisses du cercle; par ce double motif, la valeur <le T décroît rapidement à mesure que R augmente. Si, par exemple, on élève une per|>cndiculaire sE {fig. 7 1) et qu’on porte sur cette ligne des abscisses proportionnelles aux poussées correspondant à (!haque assise, leurs extrémités détermineront une courlie aigüe en 8, c’est-à-dire que les abseis.ses décroîtront [ilus rapidement que les abscisses de la droite TS. La surface du triangle rectangle à hypoténuse courbe représenterait la poussée du dôme tronqué et le point d'application de cette force passerait par le centre de gravité de ce triangle. Pour calculer exactement l'intensité de la poussée et son point d'application, il faudrait faire des hypothèses sur la courbe Tb 8; par conséquent, les résultats n’auraient pas beaucoup d’exactitude. Ce que nous avons voulu surtout mettre en évidence, c’est la dilTérencequi existe entre la voûte dôme et la voûte en berceau. Dans cette dernière, la poussée est con.slanle dans tous les voussoirs, ou plutôt c'est la poussi'-e à la clef qui se transmet dans tous les voussoii-s ; dans la voûte en dôme, chaque assise a une pousvsée spéciale, de sorte (pie le tracé de la courbe de pre.ssion aurait lieu d'une manière dilTérenle. .Ainsi, pour trouver le point de jia.ssage sur un joint donné, il faudrait d'aliord, comme pour la voûte en Iterceau, chercher l’abscisse du centre de gravité de la partie de la voûte supérieure au joint ainsi que son poids, mais encore la résultante de la poussi'e de toutes les assises supérieures et son point d’application, résultante qui croîtrait et point qui descendrait à mesure (pi’on considérerait un joint plus bas. Cela est vrai pour les dômes complets comme pour les dômes tronqués; c’est à tort, selon nous, que .M. Navier, dans ses Leçons de mécanique, établit une di.stinclion entre eux sous ce rap|)ort. Il est vrai (|ue dans le dôme complet la

<6i CIIAP. TI. —DES CONDITIONS DE STABILITÉ D UN ASSEMBLAGE DE VOUTES, ETC.

poussée à la clef pourrait tenir lieu des poussées élémentaires de chaque assise, qui dés lors ne s<int pas indi.spensables à I équilibré; mais pour être convuiiicii qu’elles se produisent, il suflit d’observer que même dans le dôme complet, il se produit un tassement général qui fait descendre la clef de B en B' (fig. 71). Toutes les assises eireuluircs de la voûte se resserrent donc et cette contraction fait naître une poussf'e horizontale qui tend à les ramener à leur position primitive. .M. Dejardin, dans sa llouline des voûtes, nous parait avoir plus exactement rendu compte du phénomène en disant : « Dans la « réalité, il est probable que l’équilibre naturel participe des deux modes « de résistance que l’on vient de spécilier, sans qu’il soit possible d’assigner « à chacun son degré de prépondérance. »

Nous dirons cependant que si la voûte est bien construite, la poussée ne doit pas prendre de valeur finie à la clef, et que ce qu’il y a de plus rationnel à supposer, c’est qu’elle croit graduellement depuis le joint de rupture jusqu’au sommet suivant une loi inconnue. Ouoiqu'il en soit, il résulte de cette analyse que le point d'application de la résultante des poussées est sensiblement plus bas que ne le donnerait l’hypolhese des onglets compris entre deux plans méridiens, ür, comme la tangente à l’intrados au point de rupture doit rencontrer la direction de la résultante des jioussées sur la verticale qui passe par le centre de gravité de la partie de voûte supérieure, il s’ensuit que l’abaissement de la résultante des poussées doit relever le point de rupture. Pour s’assurer de cette conséquence, supposons qu’on ait déterminé le point de rupture S (Jig. 73) correspondant .«u point d’application d, la tangente «G coupera la direction de la poussée d(j au point G, abscisse du centre de gravité de la partie de voûte supérieure au [loinl S, tandis qu’elle coupera la droite rf'G à un point G' plus éloigné que G. 11 faudra donc remonter sur le cercle en o' pour que la tangente Î'G" rencontre l'horizontale d'G' au même point que la verticale passant par le centre de gravité de la partie supérieure de la voûte. Kn résumé, la forme sphérique de la voûte fait baisser le point de rupture par rapport à la voûte en berceau, tandis que la résultante de la compression des assises circulaires qui tient lieu de poussée, se trouvant plus basse que n’est celte dernière force, le fait remonter. Un peut donc admettre

ClIAP. VI.— DES CONDITIONS DE STABILITÉ DIN ASSEMBLACE DE VOLTES, ETC. 165 que ces deux influences contraires se détruisent et que, dans le dème, le joint de rufjture est situé à peu près à la même hauteur que dans la voûte eu berceau. Pour le déteniiiner exactement, il faudrait faire une hypothèse sur la position de la poussée et ici le champ de l’incertitude est beaucoup plus considérable que dans les voûtes en berceau, parce que, dans ces dernières voûtes, la poussée passe néces.sairement dans l’éjiai.sseur de la clef, tandis que dans les dômes la résultante des poussées peut être [ilus ba.sse.

On remarquera qu’au-dessous du joint de rupture et même un peu audessus, la courbe de pression peut se tracer par le procédé ordinaire, c’està-dire, en supposant la poussée constante en intensité et en direction ; on pourrait donc chercher le point de rupture par des tâtonnements analogues à ceux que nous avons indiqués pour les voûtes en berceau. En commençant le tracé de la eourl)e par le joint de naissance sur lequel on se donnerait un point, on éviterait la complication qui résulte de la nature spéciale de lu poussée.

Au-dessus du joint de rupture, toutes les assises du dôme sont de plus en plus contractées; au-dessous de ce joint, elles sont distendues par la poussée. Si l’on appelle

la poussée totale du dôme, c’est-à-dire, le poids de la calotte au-dessus du joint de rupture multiplié par la distance du centre de gravité de l'onglet à l’arête du joint divisé par la hauteur du point d’application de la poussée, la

poussée par mètre courant de circonférence sera et la distension sui-

vant un plan vertical — . La tour qui supporte le dôme ne pouvant être

renversée qu’autant qu’il se formera une disjonction par un plan vertical, on voit que ce renversement ne pourra avoir lieu qu’autant que la cohésion sera vaincue. Si donc il se forme des fissures verticales dans la tour, elles se produiront nécessairement suivant les arêtes qui se trouvent interrompues par des portes, fenêtres ou ouvertures quelconques et pre-

166 CUAP. VI.-DES CONDITIONS DE STABIUTÉ DTN ASSEMBLAGE DE VOUTES, ETC.

sentent le moins de résistance. Il suit de là aussi (|u’on |>eut empêcher le renversement de ces tours au moyen de cercles en fer placés au-dessous du joint de rupture. Prcs<|ue tous les dômes sont pourvus de ces armatures qui tiennent lieu des tirants employés dans les voûtes en bereeau, mais qui ici ne sont pas apparentes et ont ainsi l’avantage de ne rien enlever à l’élégance et à la hardiesse de la construction.

Nous avons déjà luit remarquer que d’après les conditions spéciales d’équilibre du dôme, celte construction n’avait pas besoin d’être fermée à la [lartie supérieure ; nous ajouterons (]u'elle peut être ouverte aussi par des plans méridiens et qu’une fraction de dôme se trouve en équilibre quand l’arc conservé dans chacpic assise horizontale est assez grand pour que la tendance de l’assise à augmenter de rayon ne puisse faire glisser les pierres evirèmes. L’onglet compris entre deu.v plans méridiens (|uclconqites et limité à la clef se trouve nécessairement en équilibre, si l’on suppose que les a.ssises soient des monolithes et que le centre de gravité de la somme des assises supérieures tombe dans l’intérieur de la corde de l’assise inférieure. .Vinsi, si nous considérons l’hémicyle de la fig. 75, il est évident que si, comme nous venons de le dire, toutes les assises forment monolithe, aucune d’elles ne pourra tourner autour de son diamètre. .Maintenant si les assises sont composées de voussoirs, chacune d’elles pourra être considérée comme une voûte placée sur la surface conique de l’assise inférieure. Ur, pour que cette voûte se disloquât, il faudrait (pie ses parties glissassent sur le joint inférieur, ce qui ne peut avoir lieu à cause du frottement. On remarquera du reste que rhémicycle supprimé peut être remplacé par des forces horizontales perpendiculaires à la tète de l'hémicycle conservé ; que, p>ar consé- (picnt, on peut considérer les pierres de tête comme poussées au vide par l'elTet de la poussée; en général, le frollijnicnt .snfiira [amr les maintenir, mais on ajoutera à la puis.sance de son effet en les reliant au mur de tête avec lequel elles sont engagées. Il y a souvent en architecture une disposition qui contribue puissamment à l’équilibre de l’hémicycle, c’est que cette construction termine une voûte en berceau de même profil. L’équilibre est alors aussi solidement établi que pour le dôme complet.

CIIAP. VI.— DES CûNIlITlONS DE ST.ABILITÉ DTN ASSEMBLAGE DE VOUTES, ETC. I«7

Comme nous l’avons déjà dit, les voûtes en dôme jwuvent être tronquées [lar le sommet et l'on peut élahlir sur le cercle supérieur des tours ou lanternes; il est évident que le [loids de ces constnictions et leur influence sur la position du centre de gravité doivent entrer dans le calcul de la poussée qui nécessairement s'en trouvera augmenlée. .Nous croyons inutile de nous arrêter à ces cas particuliers où l'on ne rencontre aucune difficulté qui ne soit résolue par la théorie générale que nous avons exposée.

On appelle voûtes en arc de cloître celles qui, recouvrant des polygones en général réguliers, sont formées par des portions de voûte en berceau coupées par des plans méridiens se réunissant au centre du polygone {fig. 70). Ce sont, pour ainsi dire, des voûtes en dôme dans lesquelles on aurait remplacé les cercles par des polygones. Il est évident qu’on peut, pour ces voûtes comme pour les dômes et mieux encore, considérer l’équilibre de deux f>orlions opposées, mais on ne tiendrait pas compte ainsi de l’efTct de la contraction des assises horizontales d’où résulte dans les plates-bandes de chaque a.ssise une force qui pouscse à l’extérieur. Par des calculs et des raisonnements analogues à ceux que nous avons faits pour le ca.s du dôme, on trouverait que la compression de chaque assise engendre une poussée d'autant plus grande qu’elle est plus près du sommet.

Par ce motif, les voûtes en arc de cloître peuvent être tronquées à leur partie supérieure et recevoir des lanternes ou tours. Le calcul de leur équilibre étant tout à fait analogue à celui des voûtes en dôme, nous ne nous en occuperons pas davantage.

Les voûtes en dôme et en arc de cloître s’appuient, en général, sur des murs continus sur lesquels l'intrados prend naissance. Les voûtes d'arête [jig. 77) n’ont besoin que de quatre jiiliers; elles sont formées par la pénétration de deux cylindres à angle droit. Pour calculer leur équilibre, on peut isv)ler par la pensée les parties triangulaires eu plan et opposées au sommet, qui appartiennent à une même voûte en berceau dont les éléments vont en croissant depuis la naissance jusqu'à la clef. Pour cette partie de voûte, le joint de rupture et la courlw de pression seront faciles à calculer.

ie> CII.VP. VI.-DES CONDITIONS DE STXIUUTE D L'N ASSF.MBI.ACE DR VOUTES, ETC.

Ainsi on voit de suite que le joint de rujiture doit être plus élevé que dans une voûte en berceau ordinaire, |uiisque le centre de gravité de la voûte l’est davantage lui-même. Quoi qu’il en soit, en opérant de la même manière sur les deux autres parties de voûte, on déterminerait facilement les arêtes de rupture, séparant la partie centrale de la voûte tendant à tomber verticalement au milieu de l’espace couvert par la voûte d’arête, des parties renversé'cs dans la direction des diagonales, il est évident que si 0 est la poussée due à un système de voûte et que l’espace couvert soit un quarré, la poussée suivant la diagonale sera <Jv'2 et l’on donnera au pilier des dimensions en consi'quence.

Ces dimensions seraient en général considérables; aii.ssi les voûtes d’arêtes ne sont-elles guère employées (|ue pour couvrir de petits espaces ou de gnmds esjiaces divis«’“s en beaucoup de compartiments. .Alors les poussées se détruisent sur les piliers qui ne supportent plus que le poids des voûtes, et elles sont reporté>es sur les murs d’enceinte dont il est plus facile d’augmenter les dimensions.

Nous avons pris, pour génératrices des voûtes que nous avons considérées, des circonférences de cercle, mais on comprend que, comme pour les voûtes en ben’cau, on j>eut prendre des ellipses, des ogives, des droites et même réunir ces divers«is formes dans une même voûte. Si la surface ABCD (/fÿ. 77), au lieu d’un carré était un rectangle, que le cûlé .AC fût plus grand que le côté AB. on pourrait couvrir res|>ace par une voûte d’arête qui serait elliptique pour les triangles AOC, BOl), et circulaire pour les triangles At tlt, CftD ; mais ces divers(!s combinaisons se rattachent toutes aux exemples que nous avons cités et la recherche de leur stabilité doit être faite d'après les mêmes principes. Nous ne pousserons donc pas jdus loin cette étude, dont le développement appartient plutôt à l’art de l’architecture qu’a la science de la mécanique.

ClUP. vil. — DE I.’KPAISSEI'R A DONTIER ADX VOUTES, ETC.