CHAP. VU. — DE L'EPAISSEEH A DONNER AEX VOUTES, ETC

La cotirhe des pressions se trouve donc modifiée, .\vant l’application du poids n, son équation était

après l'addition du poids n, elle devient, à partir de la clef jusqu'au point où le poids est appliqué ,

Pour la même abscisse, on a

y Q' P(a — HH- n la— a)

y' est donc plus petit que y dans un rapport con.stant; ainsi, à partir de la clef, les deux courbes se séparent et vont en s’écartant; donc la nouvelle courbe coupera l'extrados si cet extrados est peu écarté de l'intrados.

Il faut observer, en effet, que la courbe de pression est discontinue dans le côté de la voûte où le poids additionnel est appliqué. Depuis la clef jusqu’à l’abscisse du point d’application du poids tl, son équation est

et, depuis ce point jusqu’à la naissance,

p<x—^ + n(x—oi)

de sorte que le rapport ~ n’existe (|ue dans la partie supérieure de la

m CHAT. VII. - DE L’ÉPAISSEIR A DONNER AUX VOUTES, ETC.

voûte; mais dans l’autre demi-voûte, s’il n'y a pas de poids additionnel symétrique, ce rapp<)i t existe dans toute l’étendue de cette demi-voûte et la différence y — y' étant proportionnelle à y va en croissant depuis la clef jusqu’à la naissance. On se rend facilement compte géométriquement de ce résultat en traçant les courbes de pression sans surcharge et avec surcharge. On remarquera de plus que le |sjint de rupture qui se forme à l’c-xtrados a pour effet de faire descendre la poupée à la clef, parce Tjue la partie supérieure de la voûte tend à se relever. Nous n’avons pas tenu compte de cet effet dans les formules précédentes, parce que la position exacte de la poussée à la clef est indéterminée, mais ce déplacement est certain et, lorsiju'il est possible, il facilite l’équilibre. Nous ne pousserons pas plus loin cette recherche, nous ne voulons que faire voir que l’addition d’une pression accidentelle sur une voûte a pour effet de déplacer la txiurbe do pression dans l’épaisseur de la voûte et que, par conséquent, plus celle-ci est épaisse, plus elle est susceptible de se maintenir en équilibre sous des charges accidentelles. Or, dans la pratique, les voûtes sont nécessairement soumises à quelques-unes de ces charges; on ne peut donc les construire avec les dimensions qui ne donnent que l’équilibre mathématique. Le calcul, comme nous l’avons déjà dit, ne peut déterminer les épaisseurs convenables, mais il fournit quelques indications sur les circonstances qui sont de nature à les augmenter ou à les diminuer. Si nous reprenons l’équation

nous remarquerons que le déplacement de la courbe de pression est proportionnel à y; or, comme la courbe primitive est toujours contenue dans la voûte, on j>eut dire que ce déiilacement est projKirtionnel à la flèche et que, par conséquent, pour as.surer la même stabilité à deux TOÛtes d’égale ouverture, il faut donner plus d’épaisseur à celle qui a le plus de flèche. Ce résultal peul paraître paradoxal, attendu que raugmenlation de la flèche est considérée comme un moyen d’augmenter la solidité des voûtes, mais on ne doit pas perdre de vue qu’il y a pour les massifs de maçonnerie deux

CHAP. VU. — DE LÉPAlSSEEn A DONNER AUX VOUTES, ETC. I7J

modes de destruction, le defaut de stabilité et l’écrasemenl des matériaux; or, nous ne ronsidérons pour le moment que la stabilité et sous ce rapport, moins les voûtes ont de flèche, plus elles sont stables. Ainsi, par exemple, une plate-bande est toujours stable et si mince qu’elle soit, la courbe de pression ne sortira pas de son profil, quel que soit le poids additionnel appliqué à son extrados. En effet, comme on vient de le voir, ce poids rend cette courbe plus horizontale, de sorte qu’elle ne peut jamais couper l’c-Xtrados horizontal de la plate-bande. Si maintenant on se rend compte de l’influence du facteur

n (fl — a) 1

P(a — H)-f-n(fl — g)~ P(a— S) .

on voit que le déplacement de la courbe dépend du rapport g, que plus

la voûte sera légère par rapport à la charge accidentelle, plus il faudra lui donner d'épaisseur pour que la courbe de pression ne sorte pas de la section. En résumé, plus la flèche de la voûte est considérable et moins cette voûte a de pesanteur, plus il faut pour la stabilité lui donner de l'épaisseur.

Nous abordons maintenant la partie difficile et théoriquement insoluble de la question. Quelle éfiaisseur faut-il donner aux voussoirs pour qu’il n’y ail pas écrasement? Nous avons vu dans les chapitres précédents que, dans l'hypothèse de voussoirs incompressibles, la courbe de pression passait toujours par l’intrados et qu’elle était tangente en ce point, dans le cas d’une voûte dont la flèche dépassait la moitié de la montée d’une voûte complète. Il en résulterait donc, dans celte hypothèse, une pression infinie en ce point et c’est en vue de cette difficulté que M.M. Lamé et Clapeyron avaient fait un appel aux constructeurs exercés. .Nous avons ensuite cherché à expliquer comment il se faisait que les matériaux des voûtes n’étaient pas écrasés au point de nipture, comme cela semblerait inévitable si la pression devenait etïectivement infinie. .Suivant nous, cette résistance est due à la compressibilité des matériaux des voussoirs et sur-

174 CIIAP. VII. — KF, I.KPAISSECn A UONNEIl AUX VOUTES, ETC.

Iiuil ft celle tlii mortier inlerpo.sé entre eux, (|ui change eu surface de dimension finie l'arête de contact théorique. Nous avons fuit voir en même temps combien rouvcrtiirc de l'angle de la rotation qui se faisait autour de l’arête de rupture, était de nature à rapprocher de l’extrados la ligne de pression. 1^ grandeur de cet angle e.sl le seul élément que le mode de construction puisse modifier, c’est |>ar là seulement (|ue le constnicteur peut diminuer la pression élémentaire; il est évident, en effet, que la longueur du joint serait sans aucune influence sur le n-sultat, puisque le contact n’a lieu que prés de l'intrados. \ ce sujet, il est hon de faire observ'er comment la forme ou plutôt l'amplitude de l’arc de la voûte peut modifier la pression au joint de rupture. Si cette amplitude est telle que la courbe de pression soit tangente à l’intrados, il est clair que plusieurs joints voisins du point de tangence se trouveront dans une position à peu prés identiijuc et que l’angle total de rotation a se partagera entre eux de manière que la rotation de chacun d’eux se trouvera sensiblement diminuée. Or, en se re- [torlant à la fig. et au chapitre III, page 73 , on verra que la longueur

du contact roD est exj)rimée par 4^ et qu’on a

on a donc

À siu a

et comme le courbe de pression passe au tiers du contact, on j>cut en

conclure que ki distance a l’intrados est proportionnelle à — • Cette

quantité n’est pas susceptible de se calculer, puis4(u’il faudrait pour cela déterminer la constante A\ nous ne voulons que constater l’influence de l'angle « de rotation et faire voir <pie quand celle rotation se partage sur plusieurs joints, comme cela a lieu dans les voûtes où la c,ourl)e de pres-