CIIAP. IX. — DU CHOIX DE LA COURBE D'INTRADOS

point m sur Am. Par m' et Ü', menons des parallèles à mn et n IJ, leur point de rencontre donnera le point n' cherché, lünfm, en menant par ces nouveaux points des parallèles aux rayons mO, rO, on aura les rayons et les centres de l’anse de panier cherchée.

Dans l’exemple que nous avons choisi, il arrive que le second rayon est plus grand que le troisième; cette progression anormale rendrait la courbe inadmissible, parce qu’elle .serait disgracieuse à l'œil. Nous n’avons voulu faire voir par cet exemple que l’étendue de l’indétermination du problème; quand on s’impose lu condition que les rayons croissent toujours dp la naissance au sommet, les points m et n ne [icuveiit être pris d’une façon aussi arbitraire. Supposons ipi’on les ait choisis de manière à diviser la demi-circonférence en parties égales (fig. !>3) et ré-pétons la même construction en prenant arbitrairement le premier rayon nous obtiendrons ainsi une anse de panier qui satisfait à la condition d’avoir des rayons croissants depuis la naissance juscpi’au sommet. Dans celte construction, il n’y a plus d’arl)itraire que l'un des rayons, si l'on tient a ce qu'ils fassent entre eux des angles égaux. Toutefois, cette condition non-.senlement n’est pas nécessaire, mais il parait préférable que les arcs décrits du même rayon soient à peu près égaux, ou que les rayons crois.senl eu progression arithmétique.

On peut arriver à ces résultats par le calcul ; mais comme ils ne .sont pas eux-mêmes nécessaires, nous croyons que des tâtonnements graphiipics siifllront. (tue veut-on, en elTel? une courbe qui donne plus de débouché que l'ellipse; or, on satisfera à celte condition en prenant pour la naissance

un rayon de courbure plus grand que cc’lui del'ellip.sc, — ; on veut ensuite

que la courl)e soit agréable à l’œil; pour satisfaire à cette condition, n’estil pas plus convenable de consulter l’œil (pie l’algcbre ?

Pour les grandes arches, on a pris des an.ses de panier ayant plus de ciiRi centres; ainsi les arches du |ionl de .N'enilly ont onze centres. l,e procédé que nous avons indiqué et ipi'oii doit a M. Michal, inspecteur général {Annales des pouls el chaussées, 1831), s’applique à un nombre de

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centres quelconque; seulement le nombre des rayons non déterminés augmente avec celui des centres, .\insi, cinq centres laissent un rayon

arbitraire, sept en laisseraient deux; en général, » centres en laissent " ^ -,

c’est-à-dire que la construction n’en détermine jamais que deux dans tous les cas. Celte latitude laissée au constructeur lui permet de faire varier la courbe à volonté et iM. Michal en profile pour déterminer ces rayons de manière que les anses de panier approchent le plus p<.issible de l’ellipse. Nous ne croyons pas devoir reproduire ici les méthodes de calcul <|ui conduisent à ce résultat.

L'cmfiloi de l'anse de panier à un grand nombre de centres ne nous parait fms rationnel. Déjà (laulhey, dans son Traité de la construction des ponts, trouvait qu’il était inutile d’en employer plus de cinq (pages 18ü et 180). Cu elTet, en multipliant les centres, on arrive à un tracé qui se confond à («u près avec celui de l’ellipse. Ainsi, si on compare l’anse de panier du pont de Neuilly à l’ellipse {fig. 9i), on voit que la dilTércnce des deux courbes est bien faible cl qu’elle a dû même être complètement effacce par le las.sement qui s’est opéré au décinlrement. Uesle donc la facilité du tracé de l’épure de grandeur naturelle; or, sous ce rapport, l'ellipse ne le cède en rien à l’anse de panier à un grand nombre de centres. Tous les traités de géométrie analytique contiennent une foule de procédés très simples pour le tracé de l’ellipse. Nous ne citerons que celui qui consiste à

réduire les ordonnées du cercle dans le rapport constant le mieux est

d’ailleurs de conslniiie la courbe au moyen de coordonnées calculées à l’avance; on a donc uiilanl de points ipi’on veut pour le tracé de l’intrados’; on peut, par des moyens très simples, mener des normales et des tangentes aux points délenninés, le tracé* de l’épure ne prii.scnle donc aucune difficulté; aussi aujourd'hui abandonne-t-on les anses de panier [mur y substituer des elli|ises. (l’est ce ipi’on a fait à Paris pour les derniers ponts construits (iNoIre-Dame, de l’.Uina, au Change, Louis-Philippe et de Bercy) et pour divere ftonts construits dans les dtipartemenis. .Nous croyons

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que l'usage de l’anse de panier est dû à l’ignorance scientifique des architectes qui ont été appelés à construire les premiers ponts. Si simfile que soit le tracé d’une ellipse, il repose cependant sur quelifues connaissances Uit'-oriqucs qui aulrerois étaient peu répandues; l’usage une fois introduit, il s’est continué par iialiitude et par routine, comtne beaucoup d’autres. Cet usage ne s’appuyant sur aucune raison sérieuse disparaîtra néces.sairement avec le lein|is, niais il a occupé une place trop grande dans la construction des ponts pour que nous ayons cm devoir le passer sous silem-e. Au reste, qu’on ailopte l’anse de panier des architectes ou l’ellipse des géomètres, les résultats sous le rapport mécanique ou économique sont les mêmes, car les courbes d’intrados difTcrent trop peu entre elles, jtour qu’il soit possible d’en tenir compte.

Laissant donc de côté les courbes ogivales qui ne sont employées <[ue dans des circonstances exceptionnelles, il n’y a réellement que trois esiwces de courlies d’intrados admissibles, le jilein cintre, l’arc de cercle et l’ellipse. Le plein cintre n’est possible qu’autant que la hauteur du rectangle de sujétion e.st égale ou supérieure à sa demi-largeur; les deux autres espèces d’intrados sont toujours concurremment possibles. Nous allons examiner les avantages et les inconvénients de ces trois espèces d’intrados.

Le plein cintre est la courbe la plus pure, la plus agréable à l’œil, gurtout lorsipi’clle est montée sur des pieds droits d’une certaine hauteur, et qui parait la plus rationnelle à priori. C’est aussi celle qui donne le minimum de poussée et, par suite, le maximum de solidité; elle est de construction facile et le joint de rupture y est peu accusé. En revanche, les tympans sont très massifs, à moins qu’on ne les évide, ce ((ui peut quelquefois j>résenler des inconvénients et devenir coûteux; le rapport du plein au vide est donc, en général, au maximum. S’il n’y a pas de |iicdsdroits ou si leur hauteur est peu considérable, les naissances sont habituellement plongées dans l’eau et à mesure que le niveau de la rivière s’élève, le déboiurhé et la largeur libre i>our la navigation diminuent rapidement; l’écoulement des eaux est gêné et il peut en résulter des remous et des couranis plongeants dangereux pour la solidité des fondations.

CHAP. IX. — DU CHOIX DE LA COlHIlE D IXTHADOS. SIS

Pour l’arc de cercle, il faut considérer deux cas, suivant que les naissances sont plongées dans l’eau ou que l’arc est élevé sur pieds-droits. Dans le premier, les tympans sont massifs, le débouché diminue rapidement à mesure que le niveau de l’eau s’élève et il fient en résulter des remous dangereux. Cette di.sposition d’intrados ne parait justifiée à aucun |Mint de xaie.

Si, au contraire, les naissance.s peuvent être élevées au niveau des grandes eaux ou à peu prés, le rapport du vide au plein est considérable, le débouché est au maximum, le passage des eaux est aussi facile que possible, enfin l’appareil et la construction présentent beaucoup de simplicité. En revanche, la poussée devenant alors très grande, il faut des matériaux plus résistants, par suite, plus coûteux; les culées doivent être très éfiaisses, ce qui n’entraiiie pas, il est vrai, une grande auginontalion relative de défiense, s’il y a plusieurs arches et si les piles ne doivent pas faire culées; le nombre des cintres doit être plus considérable; enfin, le joint de riqiture est fortement accusé et influencé par les variations de température.

L’ellipse participe des avantages et des inconvénients du plein cintre et de l’arc de cercle. Par rapport au plein cintre ou à l’arc à naissances plongées, elle donne plus de débouché, des tympans moins massifs, une poussée plus considérable. L’inverse a lieu par rapport à l’arc sur pieds droits. L’appareil et la construction sont un peu moins simples que pour les deux autres formes d’intrados. Le joint de rupture est peu accusé. En somme, le véritable avantage de l’ellipse consiste à augmenter la montée de la voûte par rapport à l’ouverture, ce qui diminue la poussée .sans trop réduire le débouché et permet ainsi l'emploi de matériaux moins résistants.

Nous ferons ob.server en outre, d’une manière générale, d’abord que, toutes choses égales d’ailleurs, la disposition la plus économique est celle pour laquelle le rapport du vide au plein, dans l’élévation, est un maximum; en second lieu, que toutes les voûtes de même ouverture, qui ont la même flèche depuis l’horizontale des naissances jusifu’à l’intitdos de la clef, ont sensiblement la même poussée. Mathématiquement, ce principe

tl« CIIAP. IX. — DU CROIX DE LA COURBE D'INTRADOS.

n’esl pas exact, mais ce que nous voulons dire, c’est que la différence entre les poussées est as.sez faible pour que le constructeur ne puisse y trouver un motif de préférence.

D’après cela, considérant d’abord le cas où les trois espèces d’intrados sont possibles, s’il n’y a pas intérêt à augmenter le débouché, ou doit préférer le plein cintre, surtout si la hauteur permet de l’élever sur des pieds droits. Si, au contraire, il y a nécessité d’augmenter le débouché, on devra recourir à l’arc de cercle ou à l’ellipse, (jui seraient alors montés sur des pieds droits; et si cette considération du débouché conduisait à donner à ceux-ci une grande hauteur, il vaudrait mieux prendre l’arc de même montée qui donnerait plutôt un peu moins de poussée, qui est d’un aspect [dus satisfaisant qu’une ellipse juchée sur des pieds-droits élevés et qui d’ailleurs paraît alors plus rationnel, puisque l’on perdrait le principal avantage de l’ellipse, consistant à augmenter la montée de la voûte pour en diminuer la poussée.

Si la hauteur du rectangle de sujétion est moindre que sa demi-largeur, on n’a plus de choix qu’entre l’arc de cercle et l’ellipse. Celle-ci est préférable, pour l’a.s[)ect et pour le débouché, à un arc à naissances plongées; mais s’il y avait nécessité de faire des pieds-droits d'une grande hauteur, les memes considérations que ci-dessus conduiraient à choisir l’arc de cercle.

ClIAP. X. - DES VOUTES BIAISES,

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