CIIAP. II. — DR I.A STABILITÉ DES MASIIFS EN MAÇONNERIE

résultante déterminée par la première opération comme une force appliquée sur le joint supérieiu' de la seconde assise. Composant cette force avec le poids de la seconde assise et avec les forces qui peuvent lui être appliquées, un aura la seconde résultante qui donnera un nouveau point de la courbe sur le second joint. On opérera de même pour la troisième assise, et ainsi de suite. On [leiit aussi regarder comme une seule assise toutes celles qui sont supérieures au joint (pie l’on considère; cette méthode est même plus simple que la première.

Si la courbe de (iression ne sort pas du ma.ssif, il est en équilibre et on peut considérer la courbe des pressions comme donnant le point d’application de la résultante. Il ne reste plus qu’à examiner si cette force n'excède pas la résistance des matériaux, ce dont il est facile de se rendre compte.

Si la courlie de pression sort du massif, il n’est plus en équilibre et le constructeur doit évidemment en changer la forme. La courbe indiquera même dans ipicl sens cette foi-me devra être changée, puisqu’il n’aura qu’à enfermer la courbe dans le nouveau profil. Il est vrai qu’en changeant le profil, la courlre change aussi et qu’il y a par conséquent une petite vérification à faire; mais c’est là une alTaire de tâtonnement trop simple pour nous y arrêter.

Pour l’étude que nous avons à faire, il est cependant utile de se rendre conqite du inoiivemcnt qui se produit dans un massif (pii n’est pus en équilibre.

Il est bon de faire remarquer (jue, (piund la courlie dite des pressions sort du ma.ssif, elle n’indique plus le ptussage des résultantes sur les joints, attendu qu’elles n’en sauraient sortir. Ainsi, dans ee cas, cette courlw que nous appellerons s(alii/ue, n’est plus qu’une construction géométri(pie, propre à faire reconnaiire si le massif est en é(piilibi-e et de (|uel c(’>té se fera le mouvement s’il n’y t>st pas; mais si on veut connaître les circonstances de ce mouvement et comment se comporte lu courbe des pressions pendant qu’il a lieu, il faut avoir reiîours à d’autres considération» que nous allons exposer. Il semble au premier abord que cette recherche

iO CIIAP. U. — DK l.A STAtlILITÉ DES MASSIFS EX MAÇÜXXERIE.

n’ait i>oint il’ulilitv pratique, [misque les constmctions en maçonnerie sont évidemment destinées à l’équilibre et qu’on doit s’assurer d’avance qu’elles en remplissent les conditions; mais nous devons faire observer que certains massifs comme les voûtes sont construits sur des moules ou cintres en l)ois destinés à les porter jusqu'à leur achcvcinent cl que, quand on enlève les cintres, ces massifs doivent nt-cessairemeni faire un fjetil mouvement |»our faire naître des réactions moléculaires ijiii remplacent la réaction du cintre. Or, quoique ce mouvement soit très-petit, il suffit ce(tendanl pour amener dans les mas.sifs une certaine dislocation qu'il est essentiel de connaître pour se rendre compte des conditions de leur stabilité définitive.

Dans le ras d'équilibre d’un massif, il est facile de calculer la pression des diverses assises, qui est toujours |>rodiiile par des forces égales et opjHisé'es. .Ainsi, dans ceux que nous avons considérés, en décomposant les forces auxquelles ils sont soumis en forces verticales et forces horizontales, on a vu que les premü'res étaient détruites par la réaction du plan de fondation et tes .secondes pur le frottement. Il en est de même dans le mouvement uniforme.

Considérons, à cet effet, un massif en maçonnerie (/fy. 21) simplement soumis à l'action de la pe.sanleur et [lour leipiel la courbe de pression Ks/lt sort de la paroi dans ré'lendue si. Dans toute celle étendue, le mouvement de rotation de la partie supérieure par rapport à une assise quelconque ma est possible, mais ce serait une erreur de croire que le massif, en tombant, va se diviser en autant de p,arlies qu’il y a d’assises. .Au-dessous de l’assi.se qui correspond au point s, le massif suja'rieur n’est plus en équilibre et si la partie inférieure à l’assise mn était un monolitlie solide, il est -clair que cette partie supérieure tomberait en tournant autour du [siinl a; mais comme un mouvement semblable peut avoir lieu par ru[iporl à toute autre assise, il s'agit de savoir celle autour de laquelle il aura lieu en elfel. Or, il est évident que si nous cherciiuns la force horizontale (J qui, appliquée au sommet du massif, établirait l’érjuilibre par rapport à une arête quelconque dont l'ordonnée serait y, nous allions :

CHAI». II. - DE LA STABIUTK DES MASSIKS EN M il^ONNERIE- 41

Qy = l>{x' — x) ou Q =

en appelant x', l’al»cisse de la paroi,

X, l’abseisse de la eourlio de pression,

p, le fwids de la parlie supérieure à l'assise considérée.

Or il est évident (|ue si on détermine la valeur de (J pour chaque assise, celle (pii donnera le inaviinnni déterminera l’assise aulour de iuipielle le mouvement de rotation aura lieu, car ce serait le seul possible si on appliipiail une force un peu inférieure.

Il faut donc chercher le mavimum de l’expression

or, le |ioids p de la partie supérieure est ply, en appelant p la densité du massif, / la largeur moyenne du massif jusi[u’à l’ordonnée y. L’expression ci-<lessus revient donc à :

Si lu largeur du massif était constante, le maximum de cette expression corres|»ondrait rigoureusement à celui dex' — x, c’est-à-dire, au |ioint oii la courlie de pression est le plus éloignée de la {laroi; or, à moins de donner au ma.ssif une forme tout à fait exceptionnelle, il en sera toujours à peu prés ainsi, bm effet, / exprimant la largeur moyeiiHe du massif siipcrirur est très peu variable d’un point à un autre, de sorte que pour le |winl oii x' — X est un maximum, la condition

d! + U [xf — x) = 0

est toujours à peu prés satisfaite, car dl étant très jwtit, rf(x' — x) doit être à peu pri s nul. Du reste, si on avait la largeur du massif en fonction de

4t CIIAP. II. — DE LA .HTAItlLITÉ DES N.ASSirS EN HAÇU.N.NKRIE.

y. on fHiiirrail résoudre exaclemcnl r(H]iiulinn, mai.« celle snlulion précise est inutile |K>iir la pratiipie. 1^ coiirlie de pression indique sufflsiinnienl la place à de l’arèle de rotation comme <’orrespondiuit à sa plus grande distance de la paroi.

Dans le cas tpie nous considérons, le nom de courte de preteinu ne convient pas à la courlie K.v/lt, qui n’indique le centre de pre.ssioii sur les assises qn'anlant ipi'il \ a cqnililire ou mouvement imirorme; mais, dans le nnmvemenl accéléré, la pression sur nue assi.se st; détermine par d’autres considérations que nous crojous devoir exposer d’une manière sommaire, dans le linl «'e bien faire comprendre ce qui se passe dans la rotation du massif.

(ainsidi-rons d'airord le cas plus simple d’un corj>s supposé* sans pesanteur, dont la masse est .M {/ig. 22), poussé par une force hori/ontale (.» à une extrémité et par une force liori/.onlale II à l’autre extrémité, cl cherchons 1a pression sur un joint tjuelconque ma en up{>elanl jx la masse compice a partir de A.

Si H était égale à tj, lu pression serait évidemment (.1; c’est l’élal d'cquilihre que nous avons considéré justpi’ù présent; mais si II est plus petit que (J, il X aura un niouvemeni dont l’équation sera, d’après- le princi|>e connu de lu mecaniipie :

mais on aurait de même |)onr la fiartie antérieure du evirps, dont la masse est ,M — jx, en appelant </ la pression cherchée sur le jrunl ma,

d’où l’on lire, en appelant m la masse de lu partie antérieure au joint mii.

CIIAP. II. — l»E LA STABILITÉ DES PASSIFS EN MAÇOSNEHIE. A3

donc polir trouver la jires-sion sur une tranche, il faut ajouter à la force retardalrice une force capable de produire ré(|uilihre de la mas.se. On ramène ainsi la recherche de la pression au cas de requilibre, en supposant appliipicc à chacjue l'dément dm de la masse anterieure une force csale h

dm—. C’est une extension ou l'application du principe de d'.VIenihert. dt

On a aussi en vertu des cipiations précédentes : >

dv

C-ette (‘((nation fait voir ((ue la pression Q qui a lieu à l’origine, ne se transmet pas inlégralemcnt aux tranches suivantes, comme dans l’élal d'é(|uilibre; elle est suceessivemeiil absorbiie par l'inertie de la masse ipii précède la tranche.

En mettant dans l’é(piation précédente pour ^ .sa valeur, on obtient celle de y, en fonction des forces et des masses ;

9=Q-^iQ-R).

Pour avoir une représentation graphiipie de la loi (|iie suit la pression, en supposant que le corps en mouvement ait une section constante, élevons sur l’extrémité (loussée (lar la force (J et sur l’extrémité retardee par la force II des verticales proportionnelles à t'es forces et joignons leurs extrémités [lar une droite Cl); les ordonnées de cette ligne représenteront les pressions éprouvées [>ar chacune des tranches vertical!» du corjis. Si la force H devenait égale à Qj la ligne CD dex iendrait horizontale, la [>rcssion serait partout constante et égale à Q. .Ainsi on voit (pie rinlluence de la force R diminue depuis H jusqu’en .\ où son influence e.sl nulle.

En considérant le mouvement d’un corps par rapport à trois axes rectangulaires, on arriverait, par des formules analogues, à résoudre d’une

4» CHAP. II. — l>K I.A STABILITÉ IlES MASSIFS ES MAI..OS.NERIK.

itianÜTe gi-nérale le jirobléme de la délerminatiim de la pression dans les tranches d’un coq>.s en mouvement; mais nous ne voulons nous en occuper ici que sous le rapport de ce qui peut être npplicalile au mouvement des massifs de maçonnerie ipii ne sont pas en équilibre.

Consiilérons maintenant un moiivenieiil de rotation tel que celui qui aurait lieu autour du point è pour le massif de la fig. 21.

Si nous cherchons d’abord quelle est la pression sur le premier joint ab, nous reconnaîtrons i]u’clle doit être telle que combinée avec la jiesinteur de cette assise, elle lui imprime l'accélération île vitesse ipii a lieu dans le mouvement. Si nous décompo.sons la réaction ipii a lieu sur ab eu deux forces. Tune verticale H„ l'autre horizontale K», nous aurons, en ap{«lnnt ;i le pouls siq^érieur au Joint :

= Vhi

rf’j

* ■“ llf

Pour trouver les intégrales du second membre, il faudrait, proci-dant comme ou le fait iM)ur le pemhile composé, déterminer la vitesse angidaire au bout du temps t et le moment d'inertie. Les érpiations |irécédentes donneraient d'ailleurs l'intensité de la pres,sion sur iiu joint quelconque, en étendant la limite de l’intégration à tout le massif sup4'rieur au joint considéré. I..e calcul rigoureux de la courbe de pression serait as-sez compliqué, mais il est facile d’en avoir le résultat apiiroximatif, car deux points de cette courbe, l’origine K et le point t étant connus, il suffit de les réunir [lar une ligne courbe pour avoir une idée de la courlie de pression dynamique. Kn eîTet, que donnerait le calcul exact dont nous venons d’indiipier la marche? Supposons d'aliord qu’au sommet du ma.«sif, on ait appliqué la poussée IJ minimum capable de jiriKluire l'éspiilibrc et, par coiiséqucnl, amenant la courlie de pression tangentielleiuent en S; l'équation de celle courlie