BC X C
DC
Le triangle obliquangle DCA, dans lequel il connaît l'angle T, mesuré sur le terrain et les deux côtés adjacents CD = a et Ci =s d , lui donne la relation :
a + d : a — d = tang.i(i4 + />) : tang. i (^ — />). Les deux premiers termes sont connus ; le troisième est la différence entre deux angles droits et C, et le dernier se trouve en posant:
Tang.l(A-/>) = j^Xtang.H4 + />);
d*où résulte la connaissance des deux angles ii et 2>. Le premier donne la direction de AD par l'angle compris entre cette dernière ligne et JC, c'est-à-dire de l'est k l'ouest ; le second par l'angle A DC^ ou de l'ouest à l'est. Si les directions avaient été observées à la boussole, la différence des deux arcs , mesurés en C , aurait donné
tel GHAPITRB VIII. — lY*. SBGTlOHi
kr tahHir de Tangle DCn^iDC; d*tfù f^RèMI »Dà ^IS0^^{»ÙC'\^ GOJ), gradtialion âe la diret^rffl Vè^ Fést. Le oomplément à 360^ serAit Fanj^te foYMe ^ la bciusBoie placée en À, ic^qd'eHe tediqdé \ê dfreMiW lié Fest à Pouest. Enfin, ri la gradutftioii deê l%oel BCISiÉC « été prise en Tisant sur C des points A t^ B^W §MII de retrancher D de là graduation de BÙ et d'ajMliéi' jf à eelle de il(7.
La méthode des eoordonrnées p^f étr« âj^^déA â Att èàlenlsi J étant le point d'or^ife , les eoéi'ddtfèéM borivoniàles de C et de J? sont déterminées felafivemtîM A éfc point. />, sitiié sur le prolongement de ^j?, a 0ne ^ reciion connue ; il est donc facile de troiite^ If longitude et la latilude de />, en se reportant en T et fcisiRilC abstraction de J9.^
Les coordonnées sont en C et par rapport à J.
Longitude — — 31
Latitude — — 22
en outre, C/> = C/? + BD. = . . . -f ^^ L'angle formé par CB et le méridien. . ^9^
Elles sont pour D relativement 4 C Longitude 40 x sîn. 39'» *= . . . . — 25 17 Latitude 40 X cos. 39"= . . • . -f- ^f.OS El relativement à il.
Longitude (—31) + (—25.17) = . — t&,h Latitude (— 22) + ( + 31.08) = . + 9.08 Les coordonnées de A étant zéro , la direction de la eouche sera exprimée par un angle dont la tangCMé est r — 86*7
Hr-TÔ8=^^"«-^*^
c'est-à-dire qu'elle formera au point A àvèe te ttiôfidiéw w*gnétique ou réel, suivant le choix de l'dpératlflfry un angle à l'ouest de 8t\
PROBLÈMES ft&LATiFS AUX MINES. 52S
Qinml ft rinolinaisoD , le triangle rectangle A kC étant •otmci par son hypotbénuse JC ei par son angle aigu k^C /\\ calculera la projection horizontale kC. Le trietfigto mkCf dana lequel <7o = Cm est rexcés de la habtear de € aor à , loi donnera i
Tang. Ck 0 : R :=z Co : Ck
D'où Tang. Cko = 'clT^' La direction de la ligne de plus grande pente , formant un angle droit avec la direction de la coudie, est facile à obtenir.
1024. Déterminer par sondage tinclinmon ^ la direction et la puissance des couches.
Trois coups de sonde non en ligne droite donnent la position de trois points pris sur une couche ; si, pour deux d'entre eux , la rencontre a lieu au même niveau , la ligne qui les réunit sera la direction cherchée ; mais il est rare qu'il en soit ainsi. Lors donc que les trois points atteignent la couche à des profondeurs inégales , la direction et Tinclinaison de celle-ci résultent d'un tracé analogue à celui qui est exprimé sur le plan vertical P5P (fig. 3), dans lequel les altitudes, étant négatives, sont portées au-dessous de la ligne de terre , ou par des calculs identiques à ceux qui viennent d'être exposés.
Si le géomètre a eu le soin de niveler préalablement les trois orifices des trous de sonde , afin de les ramener au même niveau , il peut opérer immédiatement sur le terrain, lorsque , par la considération des triangles semblables, il a déterminé la longueur de la ligne C D , ainsi que cela a été indiqué ci-dessus.
Il cherche ensuite graphiquement la puissance de la couche y dont il a reconnu l'inclinaison par l'opération sui*
vante. En un point 6 (fig. 6) choisi arbitrairement sur un plan horizontal HO^ il prend hd égal au diamètre du trou de sonde ; il forme un angle NbH égal à l'tndi« naison de la couche ; puis, prenant les hauteurs où se trou* vait l'outil de sondage , soit au moment où celui-ci commençait à entamer la stratification , soit après Tavoir abandonnée , il en porte la différence de d en a ; et la ligne a c, abaissée normalement au mur , est l'expression de la puissance de la couche.
Pour opérer par calcul , il désigne par
J^ la distance verticale ad,
D, le diamètre du trou de sonde,
B , la puissance de la couche ,
t , son angle d'inclinaison ,
t; , l'angle que forme la verticale avec a h.
Les deux triangles rectangles frac et abd , ayant l'angle ead égal k cb H , égal à t , lui donnent :
Le premier, cos. (t-^v) : R ^^ B : ab. Le second, R : cosin. v = afr : /l.
Composant les deux équations , il en déduit :
^ ^ cosin. (i + v)
^ cosin. i;
Mais , cos. (t + w) = cos. t X cos. t — sin. t X sin. r j
cos. ( t + «^) . . . sin. V = cos. f — sin. I X —
cos. t? ^ COS. V
= COS. t — sin. t X tang. r.
bd D
En outre, tang. t? =; — ■ =?= -^
^ ^ ad J
Donc B :=iJ COS. t — D sin. i.
PROBLÂMBS ftfiLATIFS AUX BflN1!9. hiH
102S. Connaissant la position de deux points d^une couche et son inclinaison^ déterminer sa direction.
Soient^ et B (fig. 10 ilf etiV) les deux points donnés et t l'angle d'inclinaison, Topération graphique consiste à tracer sur une ligne horizontale m t (fig. N) un angle fntn égal à l'angle d'inclinaison; à prendre sur une per* pendiculaire quelconque mn, une hauteur mo s= ba ss(V — h) égale à l'excès de l'altitude de B sur celle de À , d'où résulte b t^ projection horizontale de la ligne de plus grande pente. Puis du point B (fig. ilf), avee un rayon égal à 6 ^, à décrire un cercle auquel est menée iine tangente partant du point J. T A sera la ligne de direction de la couche.
Ce tracé conduit à deux solutions TA et T A^ mais les données elles-mêmes ne laissent aucun doute sur la ligne à choisir, car il est facile de voir d'un premier coup d'œil que TA s'applique au cas où le point B serait situé au-dessous du point J .
La solution trigonométrique consiste à déterminer la
valeur de 6 1^ en fonction de A* — h et de l'angle t , au
moyen de la relation :
bt^-- :R.
tang. t
Puis BAT étant l'angle de direction égal à d , %m.d\R = bio\x (HT) : AB.
Substituant la valeur 6 1 trouvée ci-dessus , il vient :
Sm.rf = .4-^---
tang. i ^ AB
C'est ainsi que deux points de l'affleurement d'une couche
et son inclinaison permettraient de déterminer sa direction.
J02Q. fausseB lignes de direction et d'inclinaison.
De même que la ligne qui réunit les deux points eilrèmes d'une galerie dont le sol est de niveau dans toute son étendue , indique la vraie direction de la couche entre les |)oints donnés, et que la normale à cette ligne est Petpression de la plus grande pente ; de même aussi une ga-> krie diagonale exprime une fausse direction ou une fausse inclinaison. Il est toujours possible , dans les mines de houille , de se procurer ces fausses indications à défaut des vraies, et de déduire celles-ci des premières.
Voici les opérations à effectuer sur le terrain pour se pro* eurer les données nécessaires à cet objet. Après avoir choisj la partie de Tcxcavation où les roches encaissantes se mon-» treot à découvert sur la plus grande surface , ropérateur Hxe eu toit deux fils à plomb , dont Tun correspond à Taxe de ^ lunette de la boussole placée immédiatement au-dessous, e| Tautre, servant de point de mire, est éclairé par un pu« vrier ; celui-ci a le soin de placer la flamme de id le^pe à une hauteur au-dessus du sol égale k la difUipce verticale qui sépare ce dernier de Taxe de la luiiette. Le graduation indiquée sur le limbe azimutal et celle du dw^j^ cercle de pendnge sont réciproquement les valeurs de la fausse direction et de la feusse inclinaison qu'il s'agit de mettre en relation géométrique avec d'autres points de la mine. Si le toit était plus régulier que le mur, le rayon visuel serait porté parallèlement à ce dernier.
En Allemagne , où la boussole suspendue est en usage, un fil tendu parallèlement à la plus régulière des sal- )NtDde3 est le point de suspension de la boussole et du demi-c^rcIe.
PaOBLiMBS ABLATIFS ACX HINBfi. tt9f
1087. Connaiêsunt les fausses directions et les faussês inclinaisons^ trouver les vraies.
Ces lignes ayant été reconnues par le procédé précédent , ou par le levé de galeries ascendantes ou descendantes quelconc|ues , donnent lieu à l'opération suivante : Soit A B {fig, 8) la partie connue d'une galerie d'allongement; ^F 1q (lirection de la fausse inclinaison dont la valeur e$l connue, La somme des altitudes donne l'excès 4^ l^auteur du point B au-dessus de A , excès qui , porté en Bc perpendiculairement à JF, détermine le point d, après i|Voir fait Bcd égal au complément de l'angle de fausse inclinaison. La ligne 4 d exprime la vraie direction et JB/*, perpendiculaire k A d^ la direction de l'inclinaison dont Tangle Bfe indique la valeur. Le lecteur reconnaîtra immédiatement les motifs de ce tracé , s'il se flguf-e mentalemeni que les deux triangles rectangles cBd eieBf tournant autour de leurs bases Bd et Bf^ prises comme charnières, viennent prendre une position verticale sqr le papier, en sorte que les points t et c se confondent. Pour une altitude de B négative relativement k A, il faudrait rechercher la direction vers la tète de la couct)e ^n construisant sur XF le triangle hBg , dont hg est la différence des altitudes et hBg l'angle de fausse inclinaison : Ah serait la direction et iBk la valeur de l'inclinaisqn vraie.
Le cas dans lequel la fausse inclinaison est connue par le levé d'une galerie fortement inclinée rentre dans le problème général ( paragraphe 1023), puisqu'alors les coordonnées de trois points, non en ligne droite, pris sur la couche sont connues; mais il est plus expéditif de procéder, dans cette oiroonstanoe , d'une manière analogue à Vppération ci-dessus.
^28 CHAPlTftB VIlï, — tV*. SECTION.
Soient J, d {ûg. 9), les deux points extrêmes de U galerie d'allongement; BC une galerie ascendante dool la projection horizontale et la hauteur du point C relativement à À ont été préalablement déterminées. Traçant XY parallèle à 0(7 et prenant de ei ef respectivement égaux à la projection horizontale et à la hauteur, on forme le triangle rectangle fed; egr est l'excès de l'altitude de â sur A; gl parallèle à XY vient rencontrer en / le pro« longement de fd; alors, menant /t perpendiculaire à XF, A I est la ligne de direction cherchée. Pour trouver la direction et la valeur de la véritable inclinaison , Ik et gk sont menées l'une parallèle, l'autre perpendiculaire à Ai} prenant alors gh = gf, le triangle rectangle ghk fournit les déterminations cherchées. De petites modifications Introduites dans le (racé suffiraient, s'il s'agissait d'une galerie descendante, au lieu d'une galerie ascendante.
Calculs trigonométriques : 1^'. cas ( fig. 8).
Le triangle Bcd dans lequel est connu Bc excès de la hauteur du point B sur A , et l'angle BdCy donne Bd projection horizontale de la fausse inclinaison considérée comme une distance^ puisqu'on en connaît la direction et la longueur. Cette ligne et les distances mesurées entre il et £ permettent de déterminer les coordonnées horizontales du point d, comme s'il eût été accessible. Il ne reste plus qu'à établir la valeur de l'angle compris entre la ligne Jd et le méridien , par la formule (B) du paragraphe 1018.
Le calculateur peut encore, s*il veut rapporter Ad a AB^ calculer la longueur de la première et chercher l'angle BAd par la proportion.
Ad : Jffc/=sin, A Bd i sin. BAd^
l'angle A Bd étant connu , puisqu'il résulte des directions
TRACÉ D*CNE MÉRIDIENNE. 5^9
éonnues de il 27 et de Bd. Quant à rinclinaison , il considère d'abord le triangle dBf, dans lequel il connaît dB et r^ngle dBf^ dont la valeur se déduit des directions connues de dB et B f. La valeur de bf résulte des proportions :
Tang. efB i R^ Be . Bf ou bien Tang« efB : tang. cdB ==: Bf : Bd,
Dans le second cas (flg. 9), après avoir déterminé la direction moyenne de la projection horizontale de la montée BCf les deux triangles fed et dit lui donnent :
ef : ed = li : di^ d'où vient la valeur de d i au moyen de laquelle il établit les coordonnées horizontales du point i et la direction de J i. Enfin , la valeur de Tinclinaison résulte de la comparaison des triangles fglethgkeide la considération que gl=si ed-^- di.
1028. Tracé d'une méridienne par la méthode des hauteurs correspondantes du soleil , sans calcul et sans instruments.
Le soleil , depuis son lever jusqu'à son passage au méri* dien et du méridien à son coucher , est doué d'une vitesse angulaire sensiblement uniforme; ensorte que la hauteur de Tastre, considéré en deux points choisis, Tun avant, l'autre après-midi , sera la même s'il se trouve à égale distance du n^éridien. Tous les instants du parcours , pris ainsi deux à deux , constituent les hauteurs correspondantes du soleil.
Un style 9 ou verge en fer bien droite installée verticalement sur un plan horizontal , projette une ombre , dont la
