Projections sur un plan. — (Fig. 2). Si la figure for

mée des droites AM', AM", AM r ", AM IV qui représentent les forces F', F", F'", F IV , et du polygone gauche AM' m" m f " M dans l'espace (dont les côtés M'm", m'W, m'"M t sont respectivement égaux et parallèles à AM", AM'" et AM 1 *), est projetée sur un plan xOy par des projetantes parallèles à Taxe Oz quelconque, on voit que la projection BQ de la résultante AM est la résultante des projections des composantes.

Projections sur un axe. — On voit de même que , suivant un théorème fondamental de géométrie analytique, la projection CF de la résultante AM sur un axe Ox par des plans parallèles à un plan directeur quelconque yOz est % pour la grandeur et le sens t égale à la somme des projections des composantes, ces projections étant prises avec le signe qui convient à leur sens. Cette propriété très-importante est exprimée par la formule

ou, en abrégé,

JRx = S F x .

Une droite qui part d'un point donné étant déterminée en grandeur et en direction par ses projections positives ou négatives sur trois axes coordonnés (Géom. anal.), on connaîtra de même une force R quand on aura , outre son point d'application, les valeurs de ses projections sur trois axes Ox, Oy, Oz, et il suffira pour cela d'avoir les sommes algébriques des projections de ses composantes ; c'est ce qui résulte des formules

Rx = 2 F x , Ry =s S F y , Hz = S F z .

30 DYNAMIQUE DUN POIHT MATÉRIEL. 8BCT. I, CBAP. II.

34. Forées équivalentes. — De même qu'on peut remplacer plusieurs forces appliquées à un point par leur résultante, sans changer l'effet produit, on peut remplacer un groupe de forces F (savoir F', F", F"' ...) par un autre de forces F t (savoir F,', F/', F/" ...), pourvu que les deux groupes aient la même résultante ; il faut et il suffit pour cela que les deux polygones analogues à AMWW'M partant d'un point A aboutissent à un môme point M, ce qui peut s'exprimer soit par la simple notation Rés (F', F" ...) = Rés (F/, F/' ...), soit analytiquement, en écrivant que, pour trois axes non situés dans un même plan, les sommes de projections des deux groupes sont égales. C'est ce que nous désignons en abrégé par

S F x = S F lX , S F y = S F iy , S F, = S F t „

ou plus simplement encore

en énonçant que cette condition a lieu pour les projections conjuguées des forcés sur trois axes non parallèles à un même plan, ce qui revient à dire qu'elle se vérifierait pour un axe quelconque.

Les deux groupes de forces qui, appliquées à un même point, ont la même résultante, sont dits équivalents.

Si aux forces de deux groupes équivalents on joint dans chaque groupe une même force, évidemment les deux nouveaux groupes seront encore équivalents : c'est une opération analogue à celle par laquelle on ajoute une même quantité positive ou négative aux deux membres d'une équation. Si la nouvelle force est égale et opposée à Tune des composantes d'un des deux groupes, la force disparaîtra de ce groupe et entrera dans l'autre avec un sens contraire. Ainsi, par exemple, de l'équivalence des deux groupes F', F", F'" et F/, F/', F/", on conclut l'équi valence des deux autres groupes F', F", F'" f — F/, d'une

part, et F/', F,"', d'autre part, en entendant que par — F/ on désigne une force égale et opposée à la force F/ qui appartenait au second groupe. En employant la notation abrégée ci-dessus proposée, on voit que de

Rés (F', F", F'") = Rés (F/, F/', F/ r )

on conclut

Rés (F', F", F'", —F/) = Rés (F/, F/'),

de sorte qu'on fait passer une force de l'un des deux groupes équivalents dans l'autre en changeant sa direction, absolument de même qu'on fait passer un terme de l'un à l'autre des deux membres d'une équation en changeant son signe.

38. Paralléliplpède des forces. — Lorsque l'on connaît les projections, ou seulement les sommes des projections des composantes sur trois axes coordonnés, on peut en conclure la ré* sultante en construisant un parallélipipède dont trois côtés partant d'un même point sont les trqis sommes des projections des composantes : la résultante est la diagonale partant du même point.

De là se déduit réciproquement la décomposition d'une force appliquée en un point O en trois autres, suivant trois droites Ox, Oy, O*. Ces trois composantes sont les projections conjuguées de la force considérée sur les trois axes.

36. Si l'on prend trois axes conjugués, dont l'un Ox soit parallèle à la résultante, la direction de celle-ci pouvant, dans certains cas, être connue à priori, on en conclut les relations :

n~HF z , S F y = 0, S F z = 0.