PROPRIÉTÉS DES MOMENTS DÉS FORCES CONCOURANTES ET DE LEUR RÉSULTANTE

40. L'étude des propriétés des moments des forces se rattache à l'utilité qui se présente souvent dans la mécanique de considérer une force eu égard à sa grandeur et à sa direction dans l'espace, sans s'occuper de son point d'application, ou de l'origine de la droite qui représente cette force.

Pour mettre de la précision dans notre langage, nous dirons que :

Deux droites, ou deux forces parallèles de même sens, dans l'espace ont même situation angulaire, parce qu'elles font les mêmes angles avec trois axes coordonnés ;

Deux droites limitées, ou deux forces situées sur un même axe indéfini, ou coïncidant avec cet axe, ont même alignement, quels que soient leurs origines et le sens dans lequel chacune d'elles est supposée engendrée ou agissante ;

Deux droites, ou forces de même alignement et de même sens, ont même direction; elles peuvent différer par l'origine et la grandeur; ainsi deux droites ou forces parallèles de même sens n'ont pas même direction, mais seulement même situation angulaire ;

Deux droites, ou forces de même alignement et de sens contraires, sont directement opposées.

41. moments autour d'un point» — Supposons qu'une force F, représentée par AM, étant située dans un plan, on

MOMENTS DBS FORCB8 CONCOURÀWTI8. 35

connaisse ses projections coordonnées F x , F y sur deux axes concourants de ce plan. Il est aisé d'en conclure graphiquement ou par le calcul sa grandeur F et sa situation angulaire ; mais cela ne détermine pas son alignement. On pourrait compléter sa détermination en donnant l'équation de cette droite ; mais un autre moyen très-simple et très-utile consiste à introduire dans le calcul la distance de la force à un point fixe du plan. Soient O ce point (fi g. 4) etp sa distance. Le produit F/? est en valeur absolue ce qu'on appelle le moment de la force F autour du point O (*) , et pour distinguer ce moment de celui de la force F' représentée par A 'M' égale et parallèle en même sens à F ou AM et située à une distance p' de O égale et opposée à p, oïl convient de prendre pour positif le moment de toute force F ou AM tellement placée, par rapport à l'observateur qui considère la figure, que le rayon vecteur allant de OA à OM tourne autour de O dans un certain sens adopté comme positif, par exemple le sens qu'oiFre à nos yeux la rotation d'une aiguille d'horloge ; et l'on prend pour négatif le moment de loute force qui, telle que F', est dans le cas contraire. 11 est clair d'après cela que, si Ton connaît la grandeur et la situation angulaire d'une force dans un plan, il suffit d'avoir en outre la grandeur et le signe (ou sens) de son moment autour d'un point de ce plan, pour en conclure l'alignement de cette force. Ainsi trois quantités algébriques, savoir : les deux projections F x et F y , et le moment positif ou négalif Fp, déterminent la grandeur et la direction de la force F dans le plan des deux axes O x , O y .

Cela posé, on peut démontrer comme il suit que, Si plusieurs forces partant d f un même point A sont situées dans un mêmeplan y te moment de leur résultante H autour dun point O de ce plan est

(*) L'importance du rôle que joue une force dans l'équilibre du levier simple se mesurant, comme on renseigne en statique, par le produit de cette force multipliée par sa distance au point d'appui, c'est de là que ce produit a reçu le nom latin de momentum pris daus le sens d'influence ou importance, et traduit en mécanique par moment.

36 DYNAMIQUE D'il! POINT HATttlBL. 8ECT. I, CHIP. n.

égal (grandeur et signe) à la somme algébrique des moments des composantes autour du même point.

Soit F une de ces forces, représentée par AM ; menons par A Taxe Ax perpendiculaire à OA et dans le sens de la rotation positive ; appelons F x la projection rectangnlaire de F sur cet axe, projection positive si le moment de F étant positif elle tombe comme dans la figure en An suivant le sens positif de Ax, projection négative dans le cas contraire. Nous voyons que le moment de F autour de O est (grandeur et signe) égal à F x .OA, parce que les aires des triangles OAM et OAn, respec-'

tivement égales à -Fp et à ~ Fx . O A, sont égales entre elles

(même base OA et même hauteur An). La somme algébrique des moments des composantes désignée par £ Fp est donc aussi exprimée par OA S F x . Or (34) on a SF X = Jt x , et le produit OA.Ji x est, d'après ce qu'on vient de voir, pour une force F quelconque, le moment de la résultante R ; donc la proposition ci-dessus énoncée est démontrée.

42. Moments autour d'un axe. — Cette proposition s'étend aisément à la résultante de plusieurs forces appliquées à un même point, mais non situées dans un même plan : pour cela, au lieu de prendre les moments autour d'un point, on prend les moments autour d'un axe.

Définition. Ayant un axe quelconque dans l'espace, si Von projette une force F rectangulairement sur un plan perpendiculaire à cet axe, le moment de la force P obtenue en projection, autour du point O où F axe perce le plan, s'appelle le moment de la force F autour de Faxe. Sa valeur absolue est le produit Pp de la projection P par la distance de Taxe soit à la force F, soit à sa projection P; son signe est celui qui convient au moment de P suivant le sens de la rotation positive autour du point O ou de Taxe.