DU MOUVEMENT PARABOLIQUE DU À UNE FORCE CONSTANTE

49. Un point matériel dont la masse est m possède à un iirstant initial une vitesse v qui, si aucune force n'agissait actuellement sur le mobile , lui ferait parcourir dans le temps t l'espace rectiligne AB (fig. 8) , que nous désignerons par X; ainsi

X = AB = vjt.

Hais pendant le même temps le point est sollicité par une force ou par plusieurs forces dont la résultante est JR, laquelle accompagne le mobile en restant constante en intensité et parallèle en même sens à une droite fixe. Soit parallèlement à cette droite la longueur AC ou Y égale à l'espace rectiligne que la force R ferait parcourir au point matériel, si la vitesse ini-

tiale v n'existait pas. Ainsi (30) Y = AC = - — f 2 .

La détermination du mouvement effectif qui résulte des deux circonstances d'une vitesse initiale et de forces agissantes repose sur le principe expérimental qui est énoncé au numéro 15, et qui nous a servi à établir que dans le mouvement rectiligne l'accélération est indépendante de la vitesse acquise.

Si Ton imagine un système de comparaison doué de la vitesse de translation v , la droite AC, considérée comme une suite de points géométriques liés à ce système, se trouve, au bout du temps t, transportée en BM, droite parallèle et égale à AC. Or,

44 dynàmiqub d'un point MATÉRIEL. SBGT. I, CHÀP. III.

pendant ce temps le point matériel dont il Vagit doit, en vertu de son mouvement relatif, passer successivement par ces mêmes points géométriques ; donc il se trouve en M à la fin du temps t . On déduit de là les conséquences suivantes :

4° Le point M, dont la position varie avec le temps #, ne sort pas du plan déterminé par les directions initiales de la vitesse et de la force ;

2° Ses coordonnées par rapport à ces directions étant désignées par x et y, après un temps t quelconque, sont exprimées

par les formules X = vjt et Y =— — **, d'où, en éliminant t,

on déduit Y = - -X*, équation de la trajectoire, rapportée

aux axes AX, AY.

3° Cette courbe, qu'il est facile de construire par points, est une parabole (*) ayant son axe principal parallèle à la direction AY de la force constante jR et sa tangente en A, suivant la direction de la vilesse acquise par le mobile à l'instant de son passage en ce point.

4° Pendant tout le temps f, les projections du mobile sur les axes coordonnés AX, AY se transportent suivant les lois exprimées par les équations x = v t et Y = - — fi , savoir : sur AX par un mouvement uniforme avec la vitesse v , et sur AY

(*) On voit qu'il faut se garder de croire que le mobile décrive la diagonale du parallélogramme ABMC, comme si la vitesse v équivalait à une force constante agissant en même temps que celles dont la résultante est A. On peut très-bien dire que les espaces dus à la vitesse et à la force se composent pour produire le déplacement du mobile de A en M ; ou bien encore

que la vitesse t? se compose avec la vitesse ~t due à la force R agissant pen-

dant le temps t pour produire la vitesse vi que possède le mobile à la fin de ce temps; mais il serait très -incorrect de dire que la vitesse et la force, deux choses hétérogènes, se composent pour produire une résultante qui ne pourrait être ni un espace, ni une vitesse, ni une force. >,