MOMENTS DB LA VITESSE ET DES FORCES

La distance du point A au point M étant infiniment petite, tandis que les distances des côtés du parallélogramme à Taxe des moments sont finies, on peut remplacer les côtés MP et MQ par

des parallèles égales partant de A. L'équation précédente devient

ou, en divisant par et en employant la notation qui convient aux limites,

ADïLy 31UR ADïLv 231LF

e= ou s= ; qonc :

At . m At m

Théorème. Dans le mouvement d'un point matériel, la dérivée par rapport au temps du moment de la vitesse autour d!un axe fixe quelconque est égale à la somme des moments des forces agissantes autour du même axe, divisée par la masse (*).

D'après la notation indiquée au numéro 52, si l'on prend successivement pour axes de moments les axes coordonnés rectangulaires Ox, Oy, Oz, le point mobile ayant la masse m et les coordonnées x a y % z, l'équation précédente se traduit, eu égard aux signes, ppr celles-ci qui se déduisent Tune de l'autre par permutatiop tournante :

A I Az dt/\

autourdeO*,-(j,-*-J =

A / Ax Az\

» Oy, — \z x — \ =

19 At\ At At)

d / dy • Ax\ X

» Oz, — [x y — I = —

' d# \ At <U/

yÇ~zY

. Avx 2Fx (*) On remarquera l'analogie des deux formules (n°« 52 et 59), — = -jjr

et d ^Vi = 1 ■-. Les opérations qui, dans la première équation, consistent At m

à projeter là vitesse et les forces, sont remplacées dans la seconde par celles qui prennent leurs moments.

56 DYNAMIQUE D'tm FOUIT MATÉRIEL* SECT. I, CHAP. III.

d a * d*y yZ — zY

. û*x d*z zX—xZ

ou bien < * — - — x —^ = »

dp dfi m

A*y d*x xY — yX

Sous la seconde forme ces équations, dont l'une est implicitement contenue dans les deux autres , résultent immédiatement

des relations fondamentales m —~ = jr, m--z = Y,i* — - =Z;

df* df* dl*

et en remontant à la première forme on obtient la démonstration du théorème des moments qui précède ; mais ces déductions analytiques sont moins naturellement amenées que les considérations géométriques qu'on vient de voir et dont l'idée est due à M. le général Poncelet.

60. Cas particulier. — Si la résultante passe constamment par Taxe des moments ou lui est parallèle, son moment est nul et le moment de la vitesse est constant. Dans ce cas projetons le mobile en mouvement sur un plan perpendiculaire à Taxe ; soit MM' (fig. 11) Tare parcouru en projection pendant le temps df, et soit p sa distance à Taxe O des moments ; le mo-

ment de la vitesse est — — . p ; or MM' . p est le double de l'aire

df '

du triangle MM'O, décrite par le rayon vecteur OM dans le temps dt ; donc le6 aires infiniment petites ainsi décrites dans des temps égaux df sont égales, c'est-à-dire que les aires décrites dans des temps finis sont proportionnelles à ces temps (*).

•• (*) Si Ton appelle o Taire décrite par le rayon vecteur projeté à partir d'une position initiale, on peut écrire «du — MMfp — 0]^v dt.

du *0lli> d*» 231LF On a ainsi en général 3Ttv =■ 8 — - et ■ ,. s= 2 -— = •