EFFETS DE L'IMPULSION
DES EFFETS DE L'iMPULSION ET DU TRAVAIL DES FORCES.
61 . Les équations obtenues aux numéros 52, 56, 59 et qui sont toutes implicitement renfermées dans l'équation —r = *
appliquée à des axes quelconques , donnent lieu par leur intégration à des conséquences utiles.
En multipliant par m &t l'équation de l'accélération suivant la trajectoire (56) et en l'intégrant, on a
mdv = Rcos(R, dj).df et mv — »v c = l Rcoa(R,ds).ût.
Définitions. I. F étant une force dirigée suivant une droite ou tangentiellement à une certaine courbe ', dam un sens positif ou négatif désigné par son signe, le produit F df s'appelle I'impclsion
élémentaire de la force F, et son intégrale j Fût est Fimpulsion totale de cette force pendant le temps t (*).
ds d*f
Par analogie avec les dénominations données à — et à — ,ona proposé
ût eu*
d'appeler — la vitesse aréolaire, et par suite -r- serait l'accélération aréooU or*
laire autour de Taxe fixe des moments. Ainsi le théorème numéro 59 peut être énoncé en ces termes : Théorème. Le double de l'accélération aréolaire autour d'un axe fixe quelconque est égal au moment de la résultante ou à la somme des moments des forces autour de cet axe. Il est entendu que Taire variable « est décrite en projection sur un plan perpendiculaire à l'axe des moments.
(*) Le mot impulsion, dans son étymologie, implique l'idée de pousser; il suppose une action répulsive ; mais scientifiquement il s'étend aussi bien à une attraction. Dans le langage ordinaire ce mot ne s'applique guère qu'à un choc, c'est-à-dire à une assez grande force exercée pendant un temps très- court; ou bien on l'emploie au pluriel pour désigner ce qu'on se re-
58 DYNAMIQUE D'UN POWT MATÉRIEL. SECT. I, CHAP. m.
II. Le produit mv s'appelle la quantité de mouvement du corps dont la masse est m et dont la vitesse est v (*).
présente comme une suite de petits chocs répétés à de petits intervalles. Nous lui donnons une signification plus précise et plus étendue. Un agent quelconque, qui met un corps en mouvement ou modifie son mouvement acquis, peut l'amener du premier au dernier état (je ne dis pas à la dernière position dans l'espace, mais au dernier état de vitesse) soit par une grande force de peu de durée, soit par une petite force dont l'action soit suffisamment prolongée. De là la nécessité de considérer la quantité complexe dont nous parlons et qui résulte de la combinaison de- ces deux choses si distinctes : la force et la durée de son action.
(*) L'expression quantité de mouvement est choquante sous plus d'un rapport : 1° le mouvement, d'après sa définition, n'est pas une quantité on plutôt n'est pas caractérisé par une quantité; s'il s'agit du mouvement d'un point, on mesure son déplacement pendant un certain temps, les angles que fait sa direction avec les axes de comparaison, sa vitesse, son accélération, véritables quantités q\i\ ont toutes leurs unités et qui peuvent varier indépendamment les unes des autres. 2° Le mouvement en lui-même est l'objet de la cipématique, dans laquelle la notion de la masse liée à celle de la force ne doit pas entrer. 3° Si, renonçant à la signification actuelle du mot mouvement, on voulait l'employer à nommer le produit mv qui est bien une quantité, il faudrait ne pas le faire précéder du mot quantité et dire le mouvement mv, comme on dit la masse, la vitesse, le volume d'un corps, et non la quantité de masse, la quantité de vitesse, etc.
Quelques auteurs étrangers emploient, pour désigner le produit de la masse par la vitesse, le mot latin momentum, que nous ne pouvons pas adopter, parce que le mot moment a dans la langue française une autre signification en mécanique. Un autre terme latin et anglais, employé dans le siècle dernier en mécanique, et tombé en désuétude, me paraîtrait convenable pour remplacer l'expression impropre de quantité de mouvement; c'est le mot impetus, à peu près équivalent à impétuosité. Il est incontestable qu'en effet impétuosité suppose masse et vitesse. Par exemple, une rivière dont la vitesse est de l m ,30 par seconde peut être appelée un courant impétueux, puisque, suivant les expériences de Dubuat, elle entraîne alors des silex anguleux du volume d'un œuf de poule; l'eau qu'elle débite par seconde et par mètre quarré de sa section transversale est de lmc,9, son poids 1300 kilo-
1300.1,30 1690 . . n grammes, sa quantité de mouvement mv= = unîtes. Pour
que le vent ait l'impétuosité d'un ouragan, il faut, suivant les expériences
EFFETS DB L'iMPULSION. 59
D'après cela les équations ci-dessus s'énoncent ainsi :
Théorème de l'impulsion tangentielle. L'accroissement élémentaire ou fini de la quantité de mouvement entre deux instants est égal à F impulsion élémentaire ou finie de la force tangentielle pendant le temps écoulé de l'un à Vautre de ces instants.
62. En multipliant par mût et en intégrant l'équation de l'accélération du mouvement projeté sur un axe quelconque (52), on a les formules et le théorème qui suivent :
m dv x =: S F x «M et mV] — mv oX = S / ^x d '«
Théorème de l'impulsion projetée. L'accroissement élémentaire ou fini de la quantité de mouvement projetée sur un axe, entre deux instants, est égal à la somme des impulsions des forces projetées sur le même axe, dans V intervalle de ces instants.
65. En multipliant par m&t et en intégrant l'équation de la dérivée du moment de la vitesse (59), on a les formules et le théorème que voici :
dVV^mv = £ 31LF4* et iïïimv — 2ïltnv = 21 DKFdf.
Théorème dis moments dbs impulsions. L'accroissement du moment de la quantité de mouvement autour d'un axe fixe quelconque pendant un t*mps élémentaire ou fini est égal tf la somme, des moments des impulsions élémentaires des forces pendant le même temps.
de Sineaton, une vitesse de 36 mètres par seconde, ce qui correspond par
mètre quarré et par seconde à un débit d'air de 36 mètres cubes, pesant
46,8 X 36 1685 36. lk«,3 = 46kg,8 , et à une quantité de mouvement de =
unités. (Test le même nombre trouvé tout à l'heure, et il serait bien admissible de dire que dans ces deux cas l'impétuosité ou Vimpetus ne diffère pas.
60 DYNAMIQUE d'un POINT MATÉRIEL. SEC T. I, CHAP. ni.
La première de ces deux relations peul (59) s'écrire sous Tune ou l'autre des formes suivantes :
autour de Ox
ou m
md ( y £- z $= ï (» z -* y )* 1
applicables aux trois axes par permutation tournante. 64. L'élimination de l'élément du temps entre les équations
es
m dv =zR cos (Jt, as) dt du numéro 61 et v = — donne
d — = R COS (H, &$).às = S F COS (F, és).és
et - mv a — r mv 2
-mv 2 = i «COS(H,d*).di=S I FC0S(F,d*).d*.
Définitions. Suivant la dénomination très-expressive proposée par MM. Coriolis et Poncelet, le produit positif ou négatif F cos (F, &s).&s t (tune des forces qui agissent sur un voint matériel multipliée par le chemin élémentaire que décrit son point d'application, et par le cosinus de l'angle que la direction de la force fait avec celle de Vêlement de chemin prise dans le sens même de son mouvement, s'appelle le travail élémentaire de cette force F (*)$ son intégrale de s à s (c'est-à-dire depuis la position du point à une
(*) Il ne faut pas dire que le chemin ds qui entre comme facteur dans l'expression du travail d'une force soit parcouru en vertu de cette force. L'espace &s décrit dans le temps dt a pour expression vdt; il est par conséquent parcouru en vertu de la vitesse acquise. Bien plus, quand le travail est négatif, il serait vrai de dire que le chemin est décrit malgré la force. En général il est parcouru sous l'action ou pendant l'action des forces appliquées au mobile.
