DYNAMIQUE D*UN POINT MATÉRIEL. SECT. I, CHÀP. IU

sans action d'aucune force, et de la droite — — qui serait dé-

crite si, la force agissant, la vitesse initiale était nulle (49). Cette dernière droite est la déviation due à la force F pendant le temps (50). Ainsi, pour rendre sensible par une image l'emploi que nous allons faire de cette proposition, figurons-nous qu'à l'instant où un projectile s'échappe du point A (fig. 14), avec une vitesse v, on aligne une alidade suivant la direction de cette vitesse, et qu'au bout d'un temps 0, on constate que "le projectile arrive en M ; qu'on porte alors de A en X, suivant la direction de l'alidade, la longueur AN égale à vQ; on aura, de IV en M, la déviation due aux forces qui, pendant ce même temps, auront sollicité le projectile -, et si Ton admet que leur résultante F ait été constante , sa direction aura été toujours parallèle à NM , et son intensité déterminée par l'équation

Venons à la question proposée. A l'instant pour lequel il s'agit d'avoir la relation cherchée, le point matériel dont nous nous occupons passe au point géométrique A avec une vitesse v ; nous le supposons, à partir de cet instant, sollicité par une force totale F que nous pouvons considérer comme constante pendant un temps infiniment petit 0. Au bout de ce temps, le mobile dont la masse est m sera au point M, extré-

F 2 mité de la brisée formée de A1V = vO et de NM = — -*.

Supposons que le mouvement de ce corps soit observé relativement à un système de comparaison lui-même en mouvement : le point A, considéré comme point géométrique lié à ce système, se transporte en un autre point A', avec une vitesse initiale v e qui est la vitesse d'entraînement, de sorte que le déplacement du point géométrique A pendant le temps seserait v e suivant v e , si en ce point le mouvement du système de comparaison était rectiligne et uniforme ; mais en général

le point A aura parcouru un élément parabolique dont la corde sera la résultante de la droite AB = v e Q et de la déviation BA'; et puisqu'on appelle force d'entraînement, désignée 'par F e , la force dont l'effet combiné avec celui de la vitesse v e amènerait le corps de masse m de la position A à la position A' , il s'en-

suit que nous pouvons écrire l'égalité BA' = — - ; et notons

de plus que la direction BA' est parallèle à la force F e et de même sens.

Cela posé, imaginons que, pour calculer la force à laquelle paraîtra due la déviation dans le mouvement relatif, un observateur emporté dans le système de comparaison fasse l'opération géométrique que nous avons indiquée. A l'instant initial du temps 8 il dirige, à partir du point, une alidade suivant la direction de la vitesse relative v r , la seule apparente pour lui. Cette direction est la seconde composante de v, la première composante étant v e - On la trouve donc en achevant le parallélogramme dont AN est la diagonale et AB l'un des côtés ; l'autre côté AR a pour direction celle de la vitesse relative, et sa longueur est égale à v r Q.

Hais pendant le temps Q, la droite ARou, si nous continuons de parler ainsi pour mieux fixer les idées , l'alidade AR s'est déplacée ; son origine A, qui pour l'observateur est immobile, e^t effectivement venue en A', et la question est de savoir quelle direction elle a, à l'instant même où le mobile observé arrive en M.

Si le système de comparaison s'était transporté parallèlement à lui-même, l'alignement de la vitesse initiale apparente ou relative, en d'autres termes l'alignement de l'alidade serait constamment dirigé suivant une parallèle à AR, et puisqu'à la fin du temps 8 il a son origine en A', en faisant A'R' parallèle et égale à AR = v r 6 , l'observateur aurait de R r en M l'espace dû en grandeur et en direction à la force totale apparente F r .

78 DYNAMIQUE D'UN POINT MATfiftlEL. SBCT. 1, CHAF. in.

F G* Ainsi la droite RM serait égale à — — ; et comme on a en

F ga F 6*

même temps 1VR' = BA' = r et 1VM = — — , respec-

tivement parallèles à F e et à F, les trois droites NM, NR' et RM se trouvant parallèles en même sens et proportionnelles aux trois forces F, F e et F r , on en conclurait que la force totale absolue F serait la résultante de la force d'entraînement F e et de la force apparente F r , relation qui n'est au fond qu'une traduction du principe fondamental de la composition des effets des forces (18), et qui est d'ailleurs toute pareille à la relation existante entre les trois vitesses v, v e et v T (lemme I ci-dessus).

Hais le système de comparaison ayant un mouvement composé de la translation commune au point A et d'une rotation w autour d'un axe passant par ce point, pour obtenir la direction de la droite ou alidade AR, à la fin du temps 0, il faut, après avoir transporté le point A dans sa position finale en A', et avoir amené cette droite parallèlement à elle-même en A f R', il faut, disons-nous , la faire tourner autour d'un axe tel que OA f , axe instantané de rotation (lemme II), et lui faire subir un déplacement angulaire w0. L'extrémité de la droite i> r 0, d'abord transportée de R en R', doit donc arriver en IV', qui s'obtient en abaissant sur OA' la perpendiculaire R'C qu'on fait tourner autour de cet axe d'un angle R'CN' égal à w0.

Ainsi, d'une part, à la fin du temps 0, le mobile observé arrive en M, et d'autre part, à ce même instant l'extrémité de la droite représentant aux yeux de l'observateur l'espace v t 9 dû à la seule vitesse apparente v r arrive en IV'; donc la droite allant de 3V' en M est pour cet observateur la déviation due à la force apparente F T : par conséquent cette force est liée à la longueur

N'M par la relation IV'M = — —.

FOftO» ÀPPÀUDITi» DAH« LE MOUVHOUT ULAtlP. 79

Maintenant, en considérant le contour polygonal NR\YM qui, partant de N, arrive à l'extrémité de la droite NM, nous voyons

que cette dernière droite, égale à — —- et due à la force F

agissant pendant le temps sur le corps de masse m, est la résultante des trois droites IVR\ R'X r et N'M (qu'on peut mettre dans Tordre A 'M, KK' et R'N' sans en changer le sens), savoir :

l'espace IV M = -T ^ et dû à la force totale apparente F r ,

l'espace 1VR' = - - et dû à la force totale d'entraînement F Cf

et enfin l'espace R'X' qu'on peut, par analogie, regarder comme dû à une certaine force F* qui agirait, comme les trois autres, sur un point de masse m peudant le temps Q, ce qui établit la re-

lation R'X' = — — . Par conséquent, eu égard au facteur ~—

commun aux quatre distances, la force F est la résultante des trois forces F r , F e et F', ce que nous écrivons ainsi :

F = Rés(F r ,F e ,F').

Il ne reste plus qu'à exprimer F' en fonction des données du problème. Or, l'arc R'N'se confondant avec sa corde, nous avons

R'N' = CR r angle M'CN' == CR'wG,

et la distance CR r est le produit de la longueur A'R r ou vrQ par le sinus de l'angle CA'M' que la vitesse angulaire v r fait avec l'axe de rotation OA'. C'est ce que nous exprimons par une notation abrégée, dans laquelle (v r , w) signifie l'angle de la vitesse v r avec Y axe de la rotation w, savoir :

CR' =: Vr8 sin (v r , w);

ou bien CR' est la projection rectangulaire de v r Q sur un plan