II. Lorsque le système de comparaison tourne simplement

autour d'un axe fixe , p étant la distance actuelle du mobile à

cet axe, on a F e = mw 2 p centripète. Si le point considéré est en

repos relatif, v r et F r sont nulles, la formule

F = Rés (F r , F e , 2mttm r ) se réduit à F = F e z=i ww a p,

ce qui doit être. Si le point observé est en repos absolu , on a F = 0, et v r = wp perpendiculairement au rayon en sens contraire de la rotation ; ainsi, sin (v r w) = 1 , et l'opposée de la force composée 2mwv r sin {v T , w) a pour valeur absolue 2mtv2p. Quant à sa direction, faisant avec v r un angle droit décrit en sens contraire de la rotation, elle est par conséquent centripète. Enfin — F e , opposée à la force centripète F e , est égale à mw 8 p et centrifuge. Donc, d'après la formule

F r =:Rés(F,— F e ',~ F c ),

F r est la résultante d'une forée 2mw 3 p centripète et d'une force »w 2 p centrifuge. Elle se réduit donc à la force apparente mw a p centripète, comme cela devait être.

80. * Théorèmes généraux ée la dynamique d*un point matériel en mouvement relatif. — Puisque un point matériel

se meut, relativement au système de comparaison, exactement eomme il loferait dans l'espace absolu, si, outre les forces réelles qui le sollicitent, il subissait les deux forces fictives précédemment définies, il s'ensuit que

Tous les théorèmes de la dynamique d'un point matériel en mouvement absolu s'appliquent à un point matériel en mouvement relatif â un système de comparaison mobile, mais de forme invariable, pourvu qu'aux forces réelles qui déterminent le mouvement absolu du mobile , on joigne à chaque instant les deux forces fictives — F e # — 2mwv r sin (t> r w), opposées l'une à la force d'entraînement, t autre à la force composée.

Parmi ces théorèmes, celui du travail (64) mérite une mention particulière : La seconde force fictive étant constamment normale à la vitesse relative, son travail est nul, et par conséquent l'équation du travail se réduit à la relation

~ m (v r 2 — v r 2 ) = SF — SF e .

La seconde force apparente disparaît également quand le point matériel est en repos relatif, puisque la vitesse relative v T est nulle, quoique le point se meuve en réalité dans l'espace. La force relative F r étant également nulle dans ce cas, il en résulte que

Dans le cas de repos relatif, la force réelle est, en grandeur et en direction, identique à la force a" entraînement (*).

8A. Influence de la rotation de la terre sur la pesanteur.

— La révolution annuelle de la terre autour du soleil est due à une vitesse initiale et à l'attraction que cet astre exerce conti-

(•) ta découverte de la théorie des forces apparentes dans les mouvements relatifs, est due à Coriolis qui Ta établie par la transformation analytique des coordonnées du point mobile (Journal de l'Ecole polytechnique, cahiers XXI et XXIV). Je crois être le premier qui en aie donné une démonstration géométrique pour les deux cas simples de la translation et de la rotation du système de comparaison, dans mon cours professé en 1840 à l'Ecole centrale dès arts et manufactures et imprimé en 1847. Avant 1840 cette intéressante et utile théorie ne faisait partie, à ma connaissance, d'aucun enseignement public.

84 DYNAMIQUE D*UN POINT MATÉRIEL. SBCT. I, CHAP. m.

nuellement sur toutes les parties de notre globe. Lorsqu'il s'agit des phénomènes mécaniques ordinaires, et non des grands phénomènes tels que celui des marées, dont l'étude appartient à l'astronomie, on peut considérer cette attraction solaire comme produisant à chaque instant sur tous les points matériels du globe terrestre des forces parallèles et proportionnelles à leurs masses, d'où il suit (18) que Ton peut en faire abstraction sans rien changer aux mouvements relatifs que nous observons. On peut également supprimer par la pensée la vitesse du centre de la terre, laquelle est à peu près constante et d'environ 30 000 mètres par seconde ; car cela revient à composer chacune des vitesses réelles avec cette vitesse de 30 000 mètres prise en sens contraire, ce qui ne change rien au mouvement relatif; dès lors l'axe de la terre qui, en réalité, se meut à trèspeu près parallèlement à lui-même, est considéré comme fixe, et la partie solide du globe forme un système tournant uniformément autour de cet axe.

La durée de chaque révolution accomplie dans ce mouvement de rotation s'appelle jour sidéral et vaut 86 164 secondes, c'est-à-dire qu'elle est de 236 secondes plus courte que le jour moyen solaire. On a donc dans ce cas

2tt 3,1416 A ^^ mt% W =86Ï64=èô8îr°' 000073 -

d'où il suit que, pour les vitesses v r que nous avons l'occasion

d'observer, la force composée, égale à 2mwu r ou à 2— w* r ,

est ordinairement une fraction très-petite du poids p et peut être négligée.

Moyennant cette hypothèse très-approximative, la formule du numéro 78, appliquée à un point matériel en mouvement ou en repos près de la surface de la terre , devient

F r = Rés (F, - F e ).

La force — F e , opposée à la force d'entraînement, est ici (79, II) perpendiculaire à Taxe de rotation, centrifuge et égale à mw*ô, le rayon du parallèle du lieu d'observation étant p.

A l'équateur, par exemple, la force — F e est verticale et ascendante. Quant à sa valeur, on sait qu'on a pour la circonférence de l'équateur terrestre 2«p = 40 072 000 mètres à moins de

1 kilomètre près, ce qui, à cause de w = -, donne

86 lo4

4rc 2 pm 2^.40 072 000m

Fe = mM *p ^wm = " a» *m)> - = °' 034w

approximativement, l'unité de longueur étant le mètre.

Appliquons la formule F r = Rés (F, — F e ) au mouvement d'un corps dans le vide à l'équateur; la force réelle se réduit à la force attractive verticale de la terre, que nous désignerons par A , tandis que la force F t , également verticale et descendante, est le poids p du corps dans le lieu de l'observation, force capable de produire l'accélération apparente g en ce même lieu, de sorte qu'on a F r = p = mg. La formule se réduit donc à

mg = A — m ,034.m

Or, on sait par l'expérience faite à l'aide du pendule (comme il sera expliqué au numéro 104) qu'à l'équateur l'accélération g = 9 m ,780. Nous en concluons

Les trois nombres 9,814; 9,780 et 0,034 sont donc proportionnels A la force A\, qui serait le poids du corps si la rotation de la

terre n'existait pas;

A la force mg ou p, qui est le poids proprement dit du même corps sur l'équateur;

86 DYNAMIQUE D'UN POINT MATÉRIEL. 8ECT. I, CHAF. m.

El à la force F e , qui se retranche de la première pour donner la seconde, de sorte que F« est la perte de poids du corps, due à la rotation.

Cette perte n'est qu'une petite fraction de la force attractive totale, savoir :

A ~~ 9fiîï~ 289 "~ (17)* ;

et comme elle a pour expression tnuPç, il en résulte que, si la rotation de la terre était dix-sept fois plus rapide, la force centrifuge, — F e à Péquateur, serait égale et opposée à la force attractive A , et le poids/? dans cette région serait nul.

Remarque sur la définition du poids d'un corps. En général, la force que nous appelons le poids d'un corps en un lieu déterminé de la terre et que nous définissons en disant que cette force est capable de produire ^accélération g que nous observons en ce lieu, es* la résultante de la force réelle attractive A dirigée vers le centre de la terre et de la force fictive centrifuge —F e perpendiculaire à Taxe de rotation ; et lorsque nous disons qu'un corps

libre dans le vide est abandonné à l'action de son poids et des-

cend de la hauteur - gP dans le temps #, ce n'est qu'une dou-

ble fiction qui répond exactement à l'apparence du phénomène. En réalité, même si Ton admet la fixité de Taxe de la terre, la force qui s'exerce sur le corps est plus grande que son poids, mais aussi il parcourt en tombant un espace plus grand dans le sens vertical que celui que nous observons, puisque pendant la durée de la chute le point de départ, considéré comme point géométrique, entraîné dans la rotation de la terre, descend lui* même d'une certaine quantité au-dessous du plan horizontal primitif. Les deux différences se compensent, pourvu que Tétendue du déplacement du mobile ne soit pas trop grande. Seconde définition du poids d'un corps. On définit aussi exac-

ÉQUATIONS vU MOUVBNHfT RELATIF. 87

tement le poids d'un corps en disant qu'il est égal à la pression que ce corps exerce sur un appui qui le maintient en repos, ou bien q^'il est égal et opposé à la force capable de maintenir, ce corps en repos. Mettons en langage algébrique la démonstration qui prouve que cette définition revient à la précédente. Supposons qu'un corps soit soumis non-seulement à la force attractive A, mais encore à une autre force réelle F. Nous aurons pour la force apparente totale

F r =Rés(^, F, — F e ).

Si l'on fait F = 0, F r devient le poids

p = Rés (A, — F e ) ;

si au contraire F tient le corps en repos, alors

F r = = Rés (A, F, — F c ), par conséquent, comme dans le premier cas,

— F = Rés(^,— F*)=f>>