Equations du mouvement relatif d'un point matériel

— Proposons-nous de traduire la formule géométrique

F r = Rés (F, — F e , — 2mwv r sin (v r , w))

en fonctions des coordonnées du point matériel rapporté à trois axes Ox, Oy, O» rectangulaires, liés au système de comparaison, de manière à ramener, s'il est possible, à des intégrations la détermination des relations des coordonnées x, y, z du mobile avec le temps. La masse du corps étant m, la force F r a pour projections ou composantes suivant les axes,

d*x &*y dH

88 DYNAMIQUE D'UH POINT XATftBAL. SECT. I, CHAP. m.

Nous représenterons par X, Y, Z les composantes parallèles à ces axes de la force totale absolue F, et par Xe, Y e , Z e les composantes analogues de la force d'entraînement F e , lesquelles dépendent à chaque instant du mouvement du système de comparaison, et de la position du mobile dans ce système. La vitesse v t a pour projections ou composantes parallèles aux axes,

&X du dz

— , —, — - , ou v x , vy, v a . Quant à la cotation instantanée

ût et d t

du système de comparaison, nous ferons usage d'une convention à laquelle nous avons fait allusion au numéro 45, après avoir défini ce que nous appelons Taxe représentatif du moment d'une force autour d'un point.

Sur la droite autour de laquelle un corps tourne, on prend, à partir d'un point O, une distance OA contenant autant d'unités de longueur qu'il y a d'unités abstraites dans la vitesse angulaire w de la rotation. Ainsi, relativement aux unités respectives, OA=w. De plus, le sens allant de O en A est tellement choisi qu'un observateur placé en O et dirigeant ses regards du côté de À verrait la rotation du corps dont il s'agit se faire dans un sens convenu, par exemple dans le sens où nous voyons tourner une aiguille d'horloge (C'est le sens que les astronomes appellent sens direct des rotations, comme celle de la terre, autour d'axes qui, partant de points du système solaire, se dirigent vers la région céleste où se trouve le pôle boréal ; c'est encore le sens de la rotation d'une vis ordinaire qu'on enfonce dans un corps fixe, etc.). Ainsi la droite OA représente tout à la fois trois choses : l'alignement de Taxe de rotation, le sens et la grandeur de la vitesse angulaire. Nous l'appelons Taxe représentatif de la rotation.

Cet axe partant de l'origine O des axes coordonnés sera défini complètement par ses trois projections sur ces axes, quantités positives on négatives que nous désignons par w x , w y et W

Cela étant convenu et appliqué au système de comparaison, nous obtiendrons les projections, sur les trois axes, de la seconde

ÉQUÀTIOHS DU MOUVBHENT RELATIF. 89

force fictive — %nwv T sin (v r , w), à l'aide des deux propositions fort simples qui suivent.

I. Si la vitesse relative v T est la résultante de deux vitesses v' et v" \ la force composée — 2mwv r sin (v r , w), due à v T et à la rotation w, est la résultante de deux forces qui seraient dites de la même manière aux vitesses v' et vP combinées séparément avec la même rotation w.

En effet, soit OW (fig. 45) la direction de Taxe de la rotation w, et soient u, »', u, les projections rectangulaires de v T9 v\ vP, sur un plan mené par le point O perpendiculairement à OW; les trois forces dont il s'agit sont dans ce plan, puisqu'elles sôht perpendiculaires à Taxe de rotation.

La force — 2 www, due à tu et v r , est représentée par une droite telle que OU, faisant avec u un angle droit décrit en sens contraire de la rotation w, dont l'axe représentatif irait de O vers W.

La force — 2muw', due à w et t/, est représentée par OU' perpendiculaire de même à u' ;

La force — 2mW, due à w et /, Test par OU" perpendiculaire à u". Ces trois forces sont proportionnelles à u, u' et m", et font entre elles les mêmes angles; donc, de même que u est la résultante de u! et de m", la première force est la résultante des deux autres.

La même proposition s'étend évidemment à un nombre quelconque de vitesses composantes.

IL Si la rotation w est la résultante de deux rotations w' et uf, c'est-à-dire si Faxe représentatif de la rotation w est la droite résultante de deux droites w' et uV, représentant deux autres rotations, la force — 2mi*;v r sin (w, v r ), due à w et à une vitesse relative v r? est la résultante des deux forces qui seraient dues de la même manière aux rotations w f et t*/', combinées séparément avec la même vitesse v T . Pour le démontrer, considérons deux cas.

Premier cas (Fig. 16). La vitesse v T est perpendiculaire au plan qui contient les axes des trois rotations w, w', u?. Les trois forces dont il s'agit sont alors dans ce plan, puisqu'elles

90 DYNAMIQUE D'mi POWT MATÉRIEL. SBCT. I, CHAP. m.

sont perpendiculaires k v r (11). Pour chaque force le facteur sinus est \ .

La force — 2mv r w, due à v T et w, est représentée par OF perpendiculaire h w, l'angle droit allant de v r à OF en sens opposé de rotation w;

La force —2mv c w' f due à v P et w\ est représentée par OF' perpendiculaire à w';

La force — 2»v r w",due à v r et tiV, Test par OF perpendiculaire à w".

Ces trois forces sont proportionnelles à tu, u/, w" et font entre elles les mômes angles ; donc, de môme que w est la résultante de w' et w\ la première force est la résultante des deux autres*

Deuxième cas (Fig. 17). La vitesse v P est dans le plan qui contient les axes des trois rotations w, tu', W. Les trois forces dont il s'agit sont perpendiculaires à ce plan, puisque chacune est perpendiculaire à v r et à l'un des trois axes (77). Menons dans ce plan une droite perpendiculaire à v ft et soient OB, OB', OB" les projections rectangulaires sur cette droite des trois axes représentatifs des rotations w, w\ w*.

La force — mv r w sin (v r , w) est égale à mv T OB, La force — mv T w' sin (v Ti w') » à mv r OB', La force — mv t u? sin (v r , W) » à mv r OB",

et ces trois forces sont dirigées suivant la perpendiculaire en o en avant du plan de la figure»

Or, de ce que w=Rés (w, w"), il résulte que OB =OB'+OB"; donc la première force est la somme et par conséquent la résultante des deux autres.

Quelle que soit la direction de la vitesse v r , on peut la décomposer en deux v\ v", Tune perpendiculaire, l'autre parallèle au plan des axes des rotations w, w', vf. Chacune de ces vitesses, combinée avec w r et rf, donne, comme on vient de le voir, deux forces ; puis, en groupant ces forces deux à deux, d'après la pro-

ÉQUATIONS DU «OUVKJIINT RSUTJV* 91

position I, on vérifie la proposition II en général. On l'étend ensuite facilement au cas où la rotation w serait la résultante d'un nombre quelconque de rotations concourantes.

Cela posé, revenons à la question énoncée au commencement de cet article. Chacune des rotations w x , w y , w Et doit être combinée avec chacune des vitesses v x , v y , v z . Or w x avec v x , Wj avec v Y , w z avec v 2 ne donnent aucune force composée, parce que le facteur sinus est nul. Il reste six forces à exprimer, suivant les axes coordonnés liés au système de comparaison, et disposés de manière que le sens positif des rotations tourne de Ox vers Oy autour de Oz, qu'il tourne de Oy vers Oz autour de Ox, qu'il tourne enfin de Oz vers Ox autour de Oy.

w z et v y donnent la force + 2mw x v y suivant Ox, w z et v x » la force — 2mw z v x » Oy, w x et v z » la force + 2mw x Vz » Oy, w x et Vj » la force — 2mw x v y » Oz, w y et v x » la force + 2mwyv x » Oz, Wy et v z » la force — 2f»wyv z » Ox,

En réunissant les deux forces partielles qui se rapportent à chaque axe, on obtient la projection ou la composante parallèle à cet axe de la deuxième force apparente ; puis, en écrivant que la projection de F r sur chaque axe est égale à la somme des projections sur le même axe de ses composantes réelles et apparentes , on obtient les trois équations :

m— = X— X e +2m ( Vy w z v zWy ),

m — = Z — Z e +2ro (v x w y — v y w x )

92 DYHAHQUS D'uif POINT MATÉRIEL. SBCT. I, CHIP. m.

ou bien

dï*

= X — X e + 2mw M£ cos (w, «)— — cos (w, y)j

(dz dbc \

— COS (W, m.) — — COS (w,«) I

(dbc dv \

— cos (w f y) — ^ cos (w, x) I

dont chacune se déduit de la précédente par une permutation tournante dans Tordre x, y, », x.