MOUVEMENT RECTILIGNE OSCILLATOIRE
L'équation différentielle du mouvement dont il s'agit est
dv
d'où l'on conclut (29, 5°), en désignant par v i la vitesse du mobile à l'instant où la distance x a la valeur x lf
| m V a - i mv* = - Jj>*** = i Q (*,« - *•),
équation qu'on pouvait écrire immédiatement d'après le théorème du travail (64).
Pour la simplifier, réunissons les constantes et posons
mv* + Qx* t = mv 2 ; il en résulte
rov 2 = mv 2 — Çx 2 ,
de sorte que la constante v est la vitesse du mobile à l'instant où il passe au point O, et est d'ailleurs connue quand on donne
la vitesse v, correspondante à la distance x % ou z l — —. On a
donc, à un instant quelconque,
On en conclut que les valeurs extrêmes de x, qui correspondent à v = 0, sont
"kl*
et par conséquent les valeurs extrêmes de la force Qz, égale à Q x +P, sont
p + v y/rtt.
98 DYNAMIQUE d'0N POINT MATfiUKL. SICT. Il; CBAP. I.
En général, la vitesse i>, dont le maximum est v , est proportionnelle à l'ordonnée MN qui répond à l'abscisse x = OH dans un cercle dont le rayon OB, que nous représenterons par r, est
tn
Il reste à trouver le temps que le mobile met à parcourir la
duc
distance x. A cet effet, on remplace v par — , et l'on a
df = |/™ , a d'où < = |/î?arcsin-.
Ainsi, dans la figure \ 9, on a < = |/?Ë; l'arc L1V
croît donc proportionnellement au temps, et la vitesse — du
point N est constamment r | / 2 ou v ô .
La durée du parcours de OB pour le mobile M, ou de LB pour le point N, est - — = - ic I / ™ ; celle de l'oscii-
. lation B' en B, ou de B en B', est * I / 5 , comme on le
trouve immédiatement en intégrant At entre — r et + r. Cette durée est, chose remarquable, indépendante de l'amplitude 2r de l'oscillation et par conséquent de la vitesse v .
Remarque. Cette théorie est applicable approximativement aux vibrations longitudinales d'une tige verticale dont on néglige la masse, et qui, étant fixée à son extrémité supérieure, porte à l'autre un corps pesant auquel est imprimée une vitesse initiale.
m est la masse de ce corps. P peut être son poids mg, ou bien toute autre force constante, z est rallongement, à la fin
MOUVEMENT DUIf POINT SOUMIS A DEUX ATTRACTIONS, 90
du temps f, de la tige comparée à ce qu'elle était primitivement, sans tension ni pression. Qz est la réaction que la tige allongée exerce sur le corps; et, d'après une loi expérimentale, le facteur <?, tant que la déformation de la tige n'est pas trop considérable est proportionnel à Taire de la section transversale de cette tige et inversement proportionnel à la longueur primitive, Si, par exemple, la tige est en fer forgé, sa longueur primitive l en mètres, Taire de la section w en millimètres quarrés, en désignant par E une quantité dite coefficient ou module d'élasticité, à peu près égale à 20 000 kilogrammes, on a approximative-
Eiù
ment Q = —, pourvu que la tension par millimètre quarré Qz Ez
— ou — ne dépasse pas H kilogrammes, et que par con-
z séquent rallongement - par mètre de longueur primitive
n'excède pas ^-^ ou 0*,0007.
MOUVEMENT D'UN POINT SOUMIS A DEUX ATTRACTIONS INVERSEMENT PROPORTIONNELLES AUX QUARRÉS DE SES DISTANCES
