MOUVEMENT D'UN POINT SOUMIS A DEUX ATTRACTIONS
à plus forte raison, à mesure que x diminue. Au contraire, pour des valeurs de x supérieures à - a, quoique, en faisant a — x
assez petit, on puisse trouver v 2 positif, la dernière formule ne doit pas, par la même raison, être applicable; et en effet la va-
leur de v % ne deviendrait positive au delà de jc = - a, qu'après avoir été négative , comme on le reconnaît par sa dérivée
2vdv
qui est négative si l'on fait en même temps k' < A: et
a — x = jc.
90. Simplifions la question précédente en supposant un centre d'attraction unique A, et faisant pour cela k' — 0; on a alors
&v k kdx
ÏT — ~x 2 ' VdV = "~"xâ"'
et en intégrant depuis x = x et v = 0,
2 \x xj
Pour obtenir le temps t en fonction de x, nous remarquons que, puisque l'accélération est constamment négative, la vitesse, d'abord nulle, est ensuite toujours négative. Nous avons donc,
dx
en remplaçant dans la dernière équation v par — ,
d'où
xàx
102 DYiumQtm d'o* romr mitcaibl. sect. n, ou*, r. et en intégrant depuis t =r et * =s x ,
*» •+• -s? arc cos
On peut remarquer que K* * — * a est l'ordonnée correspondante à l'abscisse AM = jc dans le cercle dont le diamètre est la distance x % du centre d'attraction A au point de
est Tare du même cer-
départ, et que -* arc cos
cle, compris entre le point de départ et la même ordonnée.
Les formules qui viennent d'être obtenues sont applicables à
l'hypothèse d'un corps en mouvement sur la droite passant par
Les centres de deux autres supposés fixes, par exemple la terre
et la lune. Le rapport - serait celui des masses de notre globe
et de son satellite; on aurait de plus k=gr*, en désignant par g l'accélération due à l'attraction de la terre sur un point situé à sa surface et r le rayon du globe supposé sphérique. Mais il est à remarquer que les formules ne s'appliqueraient pas à des valeurs de jc plus petites que r. Si l'on voulait imaginer que le corps en mouvement, étant arrivé à la surface de la terre, continuât de tomber dans un puits vertical d'une longueur indéfinie, la loi du mouvement changerait à partir de cet instant; le corps étant dès lors attiré vers le centre de la terre, en raison directe de la distance , comme nous le démontrons ailleurs (Dyna-
HOtiraBKT D'tilV CORPS FLOTTANT SUR UN LIQUIDE. 403
ndque gidêrale), se trouverait dans le cas traité au paragraphe précédent (88). -
MOUVEMENT D*UN C0ÉPS FLOTTANT SURIjN LIQUIDE.
91. Nous supposerons qu'un corps solide de la forme d'un navire, flottant sur une eau tranquille, reçoive dans le sens de sa longueur un mouvement de translation horizontal, et soit ensuite abandonné. Chaque point du corps flottant se meut alors comme un point dont la masse m serait égale à celle de tout le corps et qui serait soumis à une force horizontale R résultante des forces horizontales exercées par le liquide (*). Cette force, opposée au >sens du mouvement, s'appeBe la résittanee du liquide; et l'expérience apprend que lorsque les dimensions du navire sont petites par rapport à celles du bassin où il se meut, la résistance peut être représentée avec une approximation snffisante par la formule
R=CJlA—, %
dans laquelle C est un coefficient qui dépend de la figure plus ou moins effilée de la carène, et que d'Alembert et Bossut ont trouvé de 0,16; n* le poids d'un mètre cube de liquide; -4,1a surface immergée du maître couple (ou plus grande section transversale de la carène au-dessous de la surface de l'eau) ;
v, la vitesse, et par conséquent — la hauteur due à cette vitesse (28).
O Nous admettons ici par anticipation une proposition presque évidente, qui est très- facilement démontrée au commencement de la dynamique des systèmes matériels.
104 DYNAMIQUE D'UH POINT MATÉRIEL. SEC T. H, CHÀP. I.
Ceci admis comme hypothèse, on demande quelle est la loi du mouvement du navire, à partir de l'instant où il possède une vitesse v .
L'équation différentielle de ce mouvement est
dv
R dv v* m dT — ~T'
l'on pose
CIIA 1
2mg *
On en tire
d'où, en intégrant, t = k ( ) .
\v vj
Tk ix fou , v « d <
De là v = 2 ou dx = k °
d'où, en intégrant à partir de x = et t = 0, on conclut
ou, en mettant pour
-p + i sa valeur — , Ar v
* = -i log -*,
loge ° v 7
formule qu'on aurait obtenue directement en mettant pour àt
dx dv v 2
son expression — dans l'équation — = — - , et en intégrant.
